河北安平中学2020届高三上学期月考数学（理）试题 11页

安平中学2019-2020年上学期高三年级第二次月考 数学试题(理）‎ 命题人 毛艳情 审核人 王会柳 一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求,将正确答案填涂在答题卡上.‎ ‎1.已知集合，，则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知复数，则其共轭复数的虚部为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.若，则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.已知,若角α的终边经过点P（1，），则f（f（cosα））的值为（　　）‎ A． B． C．4 D．﹣4‎ ‎5.两个非零向量满足，则向量与夹角为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.围棋棋盘共行列，个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即，下列数据最接近的是( ) （）‎ A． B． C． D． ‎ ‎7.双曲线的右焦点为，点为的一条渐近线上的点，为坐标原点，若，则的最小值为（ ）‎ A. B. C.1 D.2‎ ‎8.函数的部分图象大致是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9.已知，满足约束条件，若目标函数的最小值为-5，则的最大值为（ ）‎ A. 2 B. ‎3 C.4 D. 5‎ ‎10.已知函数的图像的一条对称轴为直线，且，则的最小值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，M为椭圆上异于长轴端点的一点，的内心为I，直线交x轴于点E，若，则椭圆C的离心率是（　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.已知是函数的导函数，且对任意的实数x都有是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数k的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡上相应位置.‎ ‎13..若为等差数列，是其前n项和，且，则的值为__________．‎ ‎14.已知是函数的一个极值点，则曲线在点处的切线方程为___‎ ‎15.已知抛物线E：（），过其焦点F的直线l交抛物线E于A、B两点（点A 在第一象限），若，则p的值是 _______. ‎ ‎16.在三棱锥中，点到底面的距离为，则三棱锥的外接球的表面积为________.‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.(12分）.已知在锐角中，角A，B，C的对边分别为，，，且．‎ ‎（Ⅰ）求角A的大小；‎ ‎（Ⅱ）已知函数，且方程有解，求实数t的取值范围．‎ ‎18.（12分）如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，AB=2, FA=FC，且．‎ ‎（1）求证：AC⊥平面BDEF；‎ ‎（2）求二面角E-AF-B的余弦值；‎ ‎（3）若M为线段DE上的一点，满足直线AM与平面ABF所成角的正弦值为，求线段DM的长.‎ ‎19..（12分）已知椭圆E：（a＞b＞0）的离心率为，椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为4．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）直线l与椭圆E交于A，B两点，AB的中点M在圆x2+y2=1上，求△AOB（O为坐标原点）面积的最大值．‎ ‎20.（12分）当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进．高中联招对初三毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施．某地区 2018年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳三项测试，三项考试满分为50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分．某学校在初三上学 期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到右边频率分布直方图，且规定计分规则如下表：‎ 每分钟 跳绳个数 ‎[155，165）‎ ‎[165，175）‎ ‎[175，185）‎ ‎[185，+∞）‎ 得分 ‎16‎ ‎17‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎（Ⅰ）现从样本的100名学生中，任意选取2人，求两人得分之和不大于33分的概率；‎ ‎（Ⅱ）若该校初三年级所有学生的跳绳个数X服从正态分布N（μ，σ2），用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差，已知样本方差S2≈169（各组数据用中点值代替）．根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设今年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个，现利用所得正态分布模型：‎ ‎（ⅰ）预估全年级恰好有2000名学生时，正式测试每分钟跳182个以上的人数；（结果四舍五入到整数）‎ ‎（ⅱ）若在全年级所有学生中任意选取3人，记正式测试时每分钟跳195个以上的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和期望．‎ 附：若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）＝0.9974‎ ‎21（12分）.已知函数。‎ ‎(1)讨论了的单调性；‎ ‎(2)试问是否存在，使得对恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ 22. ‎（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ-2ρsinθ+1=0． （Ⅰ）当 α=时，求l的普通方程和C的直角坐标方程； （Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，直线l的倾斜角α∈（0，]，点P为直线l与y轴的交点，求的最小值．‎ ‎ 23.（10分）已知关于的函数 ．‎ ‎（Ⅰ）若对所有的R恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围．‎ ‎ 2019-2020年 高三第二次月考理数答案 ‎ ‎1-5.C A B A A 6-10 B B D D D 11-12 B C ‎13. - 14. y= -x 15. 2 16. 6‎ ‎17.（12分）答案：（Ⅰ） （Ⅱ），），+‎ 解:（Ⅰ）在中，由正弦定理得．‎ 即，又角为三角形内角，，‎ 所以，‎ 又因为为三角形内角，所以．‎ ‎（Ⅱ）的图像关于对称，由，‎ 可得，， ‎ 又为锐角三角形，所以， 且B ‎，，所以．，），+‎ ‎18.（12分）解：（1）设与相交于点，连接，‎ ‎∵四边形为菱形，∴，‎ 且为中点，‎ ‎∵，∴,‎ 又，‎ ‎∴平面. ‎ ‎（2）连接，∵四边形为菱形，且，‎ ‎∴为等边三角形，‎ ‎∵为中点，∴，又，‎ ‎∴平面.∵两两垂直，∴‎ 建立空间直角坐标系，如图所示，‎ ‎∵四边形为菱形，， ，∴. ‎ ‎∵为等边三角形，∴.‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 设平面的法向量为，则 令，得 ‎ 设平面的法向量为，则，‎ 令，得 ‎ 所以 ‎ 又因为二面角为钝角，‎ 所以二面角的余弦值为 ‎ ‎（3）设 所以 ‎ 化简得 ‎ 解得： 所以. ‎ ‎19.（12分）(1) += 1‎ ‎（2）根据题意，直线l与椭圆Γ交于A，B两点，‎ 当直线l的斜率不存在时，‎ 令x=±1，得，，‎ 当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），‎ 由，得（1+4k2）x2+8kmx+‎4m2‎﹣4=0，‎ 则，，‎ 所以，，‎ 将代入x2+y2=1，得，‎ 又因为=，‎ 原点到直线l的距离，‎ 所以 ‎==×‎ ‎==．‎ 当且仅当12k2=1+4k2，即时取等号．‎ 综上所述，△AOB面积的最大值为1．‎ 20. ‎（12分）‎ 解：（Ⅰ）两人得分之和不大于33分，即两人得分均为16分，或两人中1人16分，1人17分，‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）＝160×0.06+170×0.12+180×0.34+190×0.30+200×0.1+210×0.08＝185（个）‎ 又σ2≈169，σ＝13，所以正式测试时，μ＝195 ，σ＝13，∴μ﹣σ＝182．‎ ‎（ⅰ）∴P（ξ＞182）＝1﹣＝0.8413，∴0.8413×2000＝1682.6≈1683．（人） ‎ ‎（ⅱ）由正态分布模型，全年级所有学生中任取1人，每分钟跳绳个数195以上的概率为0.5，‎ 即ξ～B（3，0.5），∴P（ξ＝0）＝，P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝，P（ξ＝3）＝‎ ‎∴ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.125‎ ‎0.375‎ ‎0.375‎ ‎0.125‎ E（ξ）＝3×0.5＝1.5 ‎ 21. ‎（12分） ‎ 解：（1），‎ 当时，，在上单调递增；‎ 当时，在上单调递减，在上单调递增；‎ 当时，在上单调递减，在上单调递增；‎ 当时，在上单调递减，上单调递增.‎ ‎（2）假设存在，使得对恒成立，‎ 则，即，‎ 设，则单调递增，‎ 因为，所以，‎ 当时，在上单调递增，所以，所以，‎ 从而满足题意.‎ 当时，在上单调递减，在上单调递增,‎ 所以，所以，‎ 设，则单调递增，‎ 因为，‎ 所以的零点小于2，从而不等式组的解集为，所以，‎ 综上，存在，使得对恒成立，且a的取值范围为.‎ ‎22.（10分）解：（Ⅰ）直线l的普通方程为x-y+2=0； 曲线C的直角坐标方程为（x+1）2+（y-1）2=1．（Ⅱ）将直线l的参数方程（t为参数），代入圆的方程（x+1）2+（y-1）2=1， 得）tcosα+1）2+（2+tsinα-1）2=1，化简得t2+2（sinα+cosα）t+1=0， 易知P（0，2），设A，B所对应的参数分别为t1，t2， 则|PA|•|PB|=|t1t2|=1，|PA|+|PB|=|t1+t2|=12（sinα+cosα）|， 所以===≥． 当α=时，取得最小值． 23.（10分）.答案：（Ⅰ）（Ⅱ）‎ 解:（Ⅰ），‎ ‎∴或，‎ ‎∴或. ‎ 故m的取值范围为.‎ ‎（Ⅱ）∵的解集非空，∴，‎ ‎∴，‎ ‎①当时，，恒成立，即均符合题意；‎ ‎②当时，，，‎ ‎∴不等式可化为，解之得.‎ 由①②得，实数的取值范围为.‎