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- 2021-06-30 发布
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数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 满分150分. 考试时间120分钟.
第I卷1至2页,第II卷3至6页.
注意事项:答卷前务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,答卷时,考生务必把答案涂写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,答在试卷上的无效.
祝各位考生考试顺利!
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.
1. 设复数满足,则=
A. B. C. D.
2. “”是“”的
A.充分必要条件 B.必要而不充分条件
C. 充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件
3. 已知空间向量,且,则
A. B. C. D.
4. 设等差数列的前n项之和为,已知,则
A. B. C. D.
5. 抛物线的焦点坐标是
A. B. C. D.
6. 数列的前项和为,若,则=
A. B. C. D.
7. 设.若是与的等比中项,则的最小值为
A. B. C. D.
8. 已知双曲线,双曲线的左、右焦点分别为、,双曲线、的离心率相同.若是双曲线一条渐近线上的点,且
(为原点),若,则双曲线的方程为
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
注意事项:1.将答案写在答题卡上 2.本卷共12小题,共110分
二.填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9. 命题:. 则为 .
10. 已知双曲线的对称轴为坐标轴,一条渐近线为,则双曲线的离心率为 _.
11. 已知等比数列中,,则_________.
12. 以下五个命题中:
①若,则的取值范围是;
②不等式,对一切x恒成立,则实数的取值范围为;
③若椭圆的两焦点为、,且弦过点,则的周长为16;
④若常数,,,成等差数列,则,,成等比数列;
⑤数列的前项和为=+2-1,则这个数列一定是等差数列.
所有正确命题的序号是 .
13.《张丘建算经》卷上第题中 “女子织布”问题:某女子善于织布,一天比一天织得快,
而且每天增加的数量相同.已知第一天织布尺,天共织布尺,则该女子织布每天增加
尺.[
14. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点和,若是、的等比中项,是与的等差中项,则椭圆的离心率是 .
三、解答题:本大题共6个小题,共80分. 解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程.
15.(本小题满分13分)
已知递增的等比数列满足且是的等差中项.
(I)求数列的通项公式;
(II)若是数列的前项和,求的值.
.
16.(本小题满分13分)
求关于的不等式:的解集.
17.(本小题满分13分)
已知抛物线的顶点在原点,对称轴为坐标轴,它与双曲线:
交于点,抛物线的准线过双曲线的左焦点.
(I)求抛物线与双曲线的标准方程;
(II)若斜率为的直线过点且与抛物线只有一个公共点,求直线的方程.
18.(本小题满分13分)
在如图所示的几何体中,四边形是菱形,是矩形,平面平面.,, 且点为的中点.
(I) 求证:∥平面;
(II) 求与平面所成角的正弦值;
(III) 在线段上是否存在点,使二面角的大小为?若存在,求出的长;若不存在,请说明理由.
19.(本小题满分14分)
已知数列的前项和为,,,数列中,,满足
.
(I) 求出,的通项公式;
(II)设,数列的前项和为,求使得时,对所有的
恒成立的最大正整数值.
20.(本小题满分14分)
已知椭圆的一个焦点是,且离心率为.
(I) 求椭圆的方程;
(Ⅱ)设经过点的直线交椭圆于两点,线段的垂直平分线交轴于点,求的取值范围.
数学试卷答案
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
B
C
B
A
C
A
D
二.填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9. 10. 或 (只对一个给3分)
11. 12.④ 13. 14.
三、解答题:
15.解: (Ⅰ)
(1)……………………………………….1分
又是的等差中项
……………………………………………………2分
即:(2)
(1)(2)得
解得:或者………………………………………………………..5分
等比数列递增,所以………………………………………6分
由得…………………………………………………………7分
数列{an}的通项公式为…………………………………8分
=…………………………………………9分
(Ⅱ)==……………………………………..10分
…………………………………………………..11分
= =230 ……………………………… 13分
16.解:当时,不等式的解为……………………………2分
当时,分解因式……………………….3分
的根为……………………………..4分
当时,不等式的解为或;……………………………6分
当时,1<,不等式的解为1<x<;……………………………8分
当时,<1,不等式的解为<x<1;………………………………10分
当时,原不等式为 不等式的解为 …………………12分 。
综上:当时,不等式的解集为;
当时,不等式的解集为;
当时,不等式的解集为;
当时,不等式的解集为;
当时,不等式的解集为 …………………………………….13分
17.
解法1:抛物线的准线过双曲线的左焦点.
抛物线的焦点在轴的正半轴
设抛物线的方程为:………………2分
点在抛物线上
……………………………………………….3分
抛物线方程为: …………………………4分
抛物线的准线为
抛物线的准线过双曲线的左焦点
双曲线的焦点为,………………………….5分
…………………………………………….6分
=
解得:……………………………………………………..7分
……………………………..8分
双曲线方程为:……………………………………9分
解法2:抛物线的准线过双曲线的左焦点.
抛物线的焦点在轴的正半轴
设抛物线的方程为:………………2分
点在抛物线上
………………………………………………3分
抛物线方程为: …………………………4分
抛物线的准线为
抛物线的准线过双曲线的左焦点
双曲线的焦点为,………………………….5分
由…………………………………6分
或(舍)…………………………….7分
…………………………….8分
双曲线方程为:……………………………………9分
(Ⅱ)
设直线方程为: 则过点的直线方程为,……………………10分
由方程组消去得.
时,解得即直线与抛物线的对称轴平行,
只有一个公共点;………………………………………………………..11分
当时,直线与抛物线只有一个公共点,则,
, 直线方程为.……………………………………..12分
综上所述,所求直线方程为,或.……………………..13分
18.
(Ⅰ)设与交于,连接
由已知可得四边形是平行四边形,所以是的中点.
因为是的中点,所以∥………1分
又平面, ………2分
平面,………… 3分
所以∥平面
(Ⅱ)是矩形,平面平面,平面平面
平面………4分
如图建立空间直角坐标系,
则,,,,,……..5分(错一个就不给分)
设平面的法向量为
………6分
………7分
………8分
与平面所成角的正弦值………9分
(Ⅲ)设,,
设平面的法向量为
则, 令, ………10分
又平面的法向量
………11分
解得, ………12分
在线段上不存在点,使二面角的大小为.………13分
19.解:
(Ⅰ)当时,得, ……1分
当时,由
两式相减得 即………………………3分
于是数列{an}是首项为1,公比为2的等比数列,
即
∴数列{an}的通项公式为……………………………4分
由累积法得:
……………………………6分
………………………………………7分
(Ⅱ)
Tn=1+2×2+3×22+…+n×2n-1,①
2Tn= 1×2+2×22+3×23+…+n×2n.②
①-②得
-Tn=1+2+22+…+2n-1-n·2n …………..8分
=2n-1-n·2n……….10分
Tn=1+(n-1)·2n………………………...11分
又因为, 恒成立
所以Tn=1+(n-1)·2n……………………………………………….12分
时,对所有的恒成立
化简得:,解得
的最大整数值为………………………………………………14分
20.(Ⅰ)解:设椭圆的半焦距是.依题意,得 . ……………1分
因为椭圆的离心率为,
所以 ,…………………………2分
. ………………3分
故椭圆的方程为 . ………………4分
(Ⅱ)解:当轴时,显然. ………………5分
当与轴不垂直时,可设直线的方程为.
由 消去整理得
. …………7分
设,线段的中点为.
则 . …………8分
所以 ,.
线段的垂直平分线方程为.
在上述方程中令,得. …………10分
当时,;
当时,.
所以,或. ……………13分
综上,的取值范围是. ……………14分