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  • 2021-06-30 发布

湖北省武汉市部分学校2020届高三上学期起点质量监测数学(理)试题

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武汉市部分学校新高三起点质量监测 理科数学 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合,则()‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解一元二次不等式即可得出结果 ‎【详解】由得其在上的补集为,故选D ‎【点睛】本题考查集合的补集,是一道基础题。‎ ‎2.设,则()‎ A. 0 B. 1 C. D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将分母实数化,然后直接求其模。‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】本题考查复数的除法及模的运算,是一道基础题。‎ ‎3.已知双曲线的离心率为,则双曲线的焦距为()‎ A. 4 B. 5 C. 8 D. 10‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过离心率和的值可以求出,进而 可以求出焦距。‎ ‎【详解】有已知可得,又,,焦距,故选:D。‎ ‎【点睛】本题考查双曲线特征量的计算,是一道基础题。‎ ‎4.已知,是两个不重合的平面,直线,,,则是的()‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过面面平行的判定定理以及面面平行的性质,可以得到不能推出,可以推出。‎ ‎【详解】一个面上有两相交直线都和另一个面平行,则这两个面平行,所以不能推出 两个平面平行,其中一个面上的任何一条直线都和另一个平面平行,所以可以推出,所以是的必要不充分条件,故选:B。‎ ‎【点睛】本题考查面面平行的判定定理以及面面平行的性质,是一道基础题。‎ ‎5.已知函数为奇函数,则()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过求出,得到,即可以求出。‎ ‎【详解】是奇函数 ‎,故选:A ‎【点睛】因为函数是奇函数,所以通过特殊值法,快速求出的值,是一道简单题。‎ ‎6.已知曲线,,则下面结论正确的是()‎ A. 把曲线向右平移个长度单位得到曲线 B. 把曲线向左平移个长度单位得到曲线 C. 把曲线向左平移个长度单位得到曲线 D. 把曲线向右平移个长度单位得到曲线 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将通过合一公式化为向右平移就可以得到。‎ ‎【详解】,把曲线向右平移个长度单位得 即为,故选:D。‎ ‎【点睛】本题考查函数的平移变换,是一道基础题。‎ ‎7.已知函数.若没有零点,则实数的取值范围是()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 选择特殊值,当时,函数很明显没有零点,排除BCD。‎ ‎【详解】当时,,令则恒成立,无解,即无零点。故选:A。‎ ‎【点睛】此题时一道选择题,可以代特殊值然后排除,是一道简单题。‎ ‎8.已知三棱锥的四个顶点均在球的球面上,,且,,两两互相垂直,则球的体积为()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 三棱锥的外接球,正好是以,,这三条棱构成的正方体的外接球,直径,即可求出球的体积。‎ ‎【详解】,,,故选:C。‎ ‎【点睛】本题通过,,两两互相垂直,可以构造以,,‎ 为相邻的3条棱的正方体,构造一个正方体,该正方体的外接球和三棱锥的外接球一样,就方便求球的半径了。‎ ‎9.圆周率是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数,它既常用又神秘,古今中外很多数学家曾研究它的计算方法.下面做一个游戏:让大家各自随意写下两个小于1的正数然后请他们各自检查一下,所得的两数与1是否能构成一个锐角三角形的三边,最后把结论告诉你,只需将每个人的结论记录下来就能算出圆周率的近似值.假设有个人说“能”,而有个人说“不能”,那么应用你学过的知识可算得圆周率的近似值为()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把每一个所写两数作为一个点坐标,由题意可得与1不能构成一个锐角三角形是指两个数构成点的坐标在圆内,进一步得到,则答案可求。‎ ‎【详解】总人数为,写出的组数可以看作是个点,满足与1不能构成一个锐角三角形是指两个数构成的坐标在圆内,则,即,故选:C。‎ ‎【点睛】本题是古典概型和几何概型的实际应用,是一道中等难度的题目。‎ ‎10.已知是椭圆上任意一点,,是椭圆上关于坐标原点对称的两点,且直线,的斜率分别为,,若的最小值为1,则实数的值为()‎ A. 1 B. 2 C. 1或16 D. 2或8‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先假设出点,,的坐标,然后表示出两斜率的关系,再由最小值为1‎ 运用基本不等式的知识求最小值,进而可以求出。‎ ‎【详解】设,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ =1,,故选:A。‎ ‎【点睛】本题大胆设点,表示出斜率,运用基本不等式求参数的值,是一道中等难度的题目。‎ ‎11.设同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1,2,3,4的正四面体一次.记事件{第一个四面体向下的一面出现偶数};事件{第二个四面体向下的一面出现奇数};{两个四面体向下的一面或者同时出现奇数或者同时出现偶数}.给出下列说法:‎ ‎①;‎ ‎②;‎ ‎③;‎ ‎④,‎ 其中正确的有()‎ A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题可知,且,可求①②④。然后事件 不可能同时发生,则。‎ ‎【详解】故①④对,‎ 故②对,‎ 事件不可能同时发生,,故③错 故选:D。‎ ‎【点睛】本题考查事件同时发生的概率问题,是一道中等难度的题目。‎ ‎12.已知,,,则,,的大小关系是()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 若对数式的底相同,直接利用对数函数的性质判断即可,若底不同,则根据结构构造函数,利用函数的单调性判断大小。‎ ‎【详解】对于的大小:,,明显;‎ 对于的大小:构造函数,则,‎ 当时,在上单调递增,‎ 当时,在上单调递减,‎ 即 对于的大小:,,,‎ 故选:B。‎ ‎【点睛】将两两变成结构相同的对数形式,然后利用对数函数的性质判断,对于结构类似的,可以通过构造函数来来比较大小,此题是一道中等难度的题目。‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.若的展开式中所有项系数和为81,则展开式的常数项为________.‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在展开式中,令可得所有项系数和,可解得,再由通项公式可得常数项为8‎ ‎【详解】在的二项展开式中,令得所有项的系数和为,解得,所以的二项展开式中的通项为,‎ 令,得,常数项为,故答案为:8.‎ ‎【点睛】本题考查了二项式定理.属中档题。‎ ‎14.已知数列满足,,则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用递推关系可得数列的周期性,进而得出。‎ ‎【详解】,,,‎ 同理可得:,,,,故答案为:。‎ ‎【点睛】本题考查了数列的递推关系、数列的周期性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题。‎ ‎15.已知平面向量,,满足,,,,则的最小值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意不妨设,,,利用求出的解析式,再利用配方法求最值。‎ ‎【详解】由,,,不妨设,,,则,又,,,‎ 不妨取 ‎,所以最小值为 ‎【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算与配方法的应用问题,是道中等难度的题目。‎ ‎16.若直线是曲线的切线,也是曲线的切线,则________.‎ ‎【答案】1或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别设出直线与两曲线的切点坐标,求出导数值,得到两切线方程,由两切线重合得斜率和截距相等,从而求得切线方程的答案。‎ ‎【详解】设与和的切点分别为,由导数的几何意义可得,曲线在在点处的切线方程为,即,曲线在点处的切线方程为,即,则,解得,或,所以或。‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处切线方程,考查计算能力,是中档题。‎ 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知数列的前项和.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)设,求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用求的通项公式;(2)用裂项求和法求的前项和。‎ ‎【详解】解:(1)由,知.‎ 当时,(也成立).‎ ‎∴.‎ ‎(2)由(1)知,‎ ‎∴‎ ‎【点睛】本题考查法求通项公式,裂项求和法求前项和,是一道基础题。‎ ‎18.设的内角,,的对边分别为,,,已知,且.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)若的面积,求的周长.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理以及两角和与差的三角函数转化求解。‎ 通过三角形的面积以及余弦定理转化求解即可。‎ ‎【详解】解:(1)因为,由正弦定理知.‎ 又,所以,‎ 即.‎ ‎∴.∵,∴.‎ ‎(2)由,及余弦定理,得.①‎ 因为,所以.②‎ 由①②解得或 ‎∴的周长.‎ ‎【点睛】(1)利用正弦定理进行边化角,对于式子中同时出现与,我们将变为,并用两角和与差的三角公式展开计算即可。(2)面积公式中有,余弦定理里面也有,两者可联立进行计算。本题是一道中等难度的题目。‎ ‎19.如图,四棱锥的底面为平行四边形,,.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】(1)见解析(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取中点,连接、,由已知可证,,可得平面,可证。‎ 由已知可得是等腰三角形,分别以、、为、、轴建立空间直角坐标系,求出面与面的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值得二面角的余弦值。‎ ‎【详解】解:(1)取中点,连接、.‎ 由,知,,.‎ 又∴平面,‎ 又平面,∴.‎ ‎(2)法一:由题可得,,故,所以.‎ 所以可以为原点,分别以、、为、、轴建立空间直角坐标系.‎ 则,,,,‎ ‎,,,.‎ 设平面的一个法向量为,则 即令得.‎ 同理可得平面的一个法向量为.‎ ‎∴.‎ 又二面角为锐二面角所以二面角的余弦为.‎ 法二:设二面角,的大小分别为,,则 ‎,,‎ ‎∴.‎ 即二面角的余弦为.‎ 而二面角与二面角大小互补、故二面角的余弦为.‎ ‎【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定,考查了利用空间向量求解空间角,考查计算能力,是中档题。‎ ‎20.已知动点到直线的距离比到定点的距离多1.‎ ‎(1)求动点的轨迹的方程 ‎(2)若为(1)中曲线上一点,过点作直线的垂线,垂足为,过坐标原点的直线交曲线于另外一点,证明直线过定点,并求出定点坐标.‎ ‎【答案】(1)(2)证明见解析,定点坐标为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用直接法,求动点的轨迹的方程。‎ 设出直线方程以及,由、、三点共线可得,将直线方程与联立,可得,利用韦达定理,可得,所以,得出直线过定点。‎ ‎【详解】解:(1)设点,则.‎ 当时,,即,‎ 整理得.‎ 当时,,即,‎ 整理得,由知,矛盾,舍去.‎ ‎∴所求轨迹方程为.‎ ‎(2)设,,,则.‎ 由、、三点共线知,即.‎ 所以.①‎ 由得,‎ 所以②‎ 由①②得,即,此表达式对任意恒成立,‎ ‎∴.即直线过定点,定点坐标为.‎ ‎【点睛】直接法是求轨迹方程的重要方法。‎ 当式子里面出现,则设出直线联立方程,利用韦达定理代入计算,本题是一道中等难度的综合体。‎ ‎21.武汉又称江城,是湖北省省会城市,被誉为中部地区中心城市,它不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化,更有着众多名胜古迹与旅游景点,每年来武汉参观旅游的人数不胜数,其中黄鹤楼与东湖被称为两张名片为合理配置旅游资源,现对已游览黄鹤楼景点的游客进行随机问卷调查,若不游玩东湖记1分,若继续游玩东湖记2分,每位游客选择是否游览东湖景点的概率均为,游客之间选择意愿相互独立.‎ ‎(1)从游客中随机抽取3人,记总得分为随机变量,求的分布列与数学期望;‎ ‎(2)(i)若从游客中随机抽取人,记总分恰为分的概率为,求数列的前10项和;‎ ‎(ⅱ)在对所有游客进行随机问卷调查过程中,记已调查过的累计得分恰为分的概率为 ‎,探讨与之间的关系,并求数列的通项公式.‎ ‎【答案】(1)见解析(2)(i)(ⅱ),‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)判断出可能取值为3,4,5,6,分别求出概率,进而求出其数学期望。‎ ‎(2)(i)由题可得首项为,公比为的等比数列,并求其前10项和。(ⅱ)根据与之间的关系,用待定系数法得,进一步就可求出的通项公式。‎ ‎【详解】解:(1)可能取值为3,4,5,6.‎ ‎,,,.‎ ‎∴的分布列为 ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎∴‎ ‎(2)(i)总分恰为分的概率为,‎ ‎∴数列是首项为,公比为的等比数列,‎ 前10项和.‎ ‎(ⅱ)已调查过累计得分恰为分的概率为,得不到分的情况只有先得分,再得2‎ 分,概率为,.‎ 所以,即 ‎∴.‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题是一道数列与概率的综合问题,对于递推式,可通过待定系数法求的通项公式,是一道中等难度的题目。‎ ‎22.已知函数,是的导函数.‎ ‎(1)证明:当时,上有唯一零点;‎ ‎(2)若存在,且时,,证明:.‎ ‎【答案】(1)见解析(2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求出,当时,单调递增,利用和判断出上有唯一零点。当时,的最小值大于零,则在 上没有零点.(2)令,,将转化为,再构造函数利用导数证明最小值小于0.‎ ‎【详解】(1)证明:当时,,.‎ 当时,为增函数,且,,‎ ‎∴在上有唯一零点;‎ 当时,,‎ ‎∴在上没有零点.‎ 综上知,在上有唯一零点.‎ ‎(2)证明:不妨设,由得,‎ ‎∴.‎ 设,则,故在为增函数,‎ ‎∴,从而,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ 下面证明:.‎ 令,则,即证明,只要证明.(*)‎ 设,则,∴在单调递减.‎ 当时,,从而(*)得证,即.‎ ‎∴,即.‎ ‎【点睛】(1)零点问题可利用函数单调性和零点存在性定理来解决。‎ ‎(2)通过换元将两个变量转化为一个变量,构造函数,利用导数来证明不等式。‎ 本题是一道综合性的难题。‎ ‎ ‎