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- 2021-06-30 发布
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理科数学
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,则()
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
解一元二次不等式即可得出结果
【详解】由得其在上的补集为,故选D
【点睛】本题考查集合的补集,是一道基础题。
2.设,则()
A. 0 B. 1 C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】
先将分母实数化,然后直接求其模。
【详解】
【点睛】本题考查复数的除法及模的运算,是一道基础题。
3.已知双曲线的离心率为,则双曲线的焦距为()
A. 4 B. 5 C. 8 D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】
通过离心率和的值可以求出,进而 可以求出焦距。
【详解】有已知可得,又,,焦距,故选:D。
【点睛】本题考查双曲线特征量的计算,是一道基础题。
4.已知,是两个不重合的平面,直线,,,则是的()
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
通过面面平行的判定定理以及面面平行的性质,可以得到不能推出,可以推出。
【详解】一个面上有两相交直线都和另一个面平行,则这两个面平行,所以不能推出
两个平面平行,其中一个面上的任何一条直线都和另一个平面平行,所以可以推出,所以是的必要不充分条件,故选:B。
【点睛】本题考查面面平行的判定定理以及面面平行的性质,是一道基础题。
5.已知函数为奇函数,则()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
通过求出,得到,即可以求出。
【详解】是奇函数
,故选:A
【点睛】因为函数是奇函数,所以通过特殊值法,快速求出的值,是一道简单题。
6.已知曲线,,则下面结论正确的是()
A. 把曲线向右平移个长度单位得到曲线
B. 把曲线向左平移个长度单位得到曲线
C. 把曲线向左平移个长度单位得到曲线
D. 把曲线向右平移个长度单位得到曲线
【答案】D
【解析】
【分析】
将通过合一公式化为向右平移就可以得到。
【详解】,把曲线向右平移个长度单位得
即为,故选:D。
【点睛】本题考查函数的平移变换,是一道基础题。
7.已知函数.若没有零点,则实数的取值范围是()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
选择特殊值,当时,函数很明显没有零点,排除BCD。
【详解】当时,,令则恒成立,无解,即无零点。故选:A。
【点睛】此题时一道选择题,可以代特殊值然后排除,是一道简单题。
8.已知三棱锥的四个顶点均在球的球面上,,且,,两两互相垂直,则球的体积为()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
三棱锥的外接球,正好是以,,这三条棱构成的正方体的外接球,直径,即可求出球的体积。
【详解】,,,故选:C。
【点睛】本题通过,,两两互相垂直,可以构造以,,
为相邻的3条棱的正方体,构造一个正方体,该正方体的外接球和三棱锥的外接球一样,就方便求球的半径了。
9.圆周率是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数,它既常用又神秘,古今中外很多数学家曾研究它的计算方法.下面做一个游戏:让大家各自随意写下两个小于1的正数然后请他们各自检查一下,所得的两数与1是否能构成一个锐角三角形的三边,最后把结论告诉你,只需将每个人的结论记录下来就能算出圆周率的近似值.假设有个人说“能”,而有个人说“不能”,那么应用你学过的知识可算得圆周率的近似值为()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
把每一个所写两数作为一个点坐标,由题意可得与1不能构成一个锐角三角形是指两个数构成点的坐标在圆内,进一步得到,则答案可求。
【详解】总人数为,写出的组数可以看作是个点,满足与1不能构成一个锐角三角形是指两个数构成的坐标在圆内,则,即,故选:C。
【点睛】本题是古典概型和几何概型的实际应用,是一道中等难度的题目。
10.已知是椭圆上任意一点,,是椭圆上关于坐标原点对称的两点,且直线,的斜率分别为,,若的最小值为1,则实数的值为()
A. 1 B. 2 C. 1或16 D. 2或8
【答案】A
【解析】
【分析】
先假设出点,,的坐标,然后表示出两斜率的关系,再由最小值为1
运用基本不等式的知识求最小值,进而可以求出。
【详解】设,
=1,,故选:A。
【点睛】本题大胆设点,表示出斜率,运用基本不等式求参数的值,是一道中等难度的题目。
11.设同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1,2,3,4的正四面体一次.记事件{第一个四面体向下的一面出现偶数};事件{第二个四面体向下的一面出现奇数};{两个四面体向下的一面或者同时出现奇数或者同时出现偶数}.给出下列说法:
①;
②;
③;
④,
其中正确的有()
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【答案】D
【解析】
【分析】
由题可知,且,可求①②④。然后事件
不可能同时发生,则。
【详解】故①④对,
故②对,
事件不可能同时发生,,故③错
故选:D。
【点睛】本题考查事件同时发生的概率问题,是一道中等难度的题目。
12.已知,,,则,,的大小关系是()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
若对数式的底相同,直接利用对数函数的性质判断即可,若底不同,则根据结构构造函数,利用函数的单调性判断大小。
【详解】对于的大小:,,明显;
对于的大小:构造函数,则,
当时,在上单调递增,
当时,在上单调递减,
即
对于的大小:,,,
故选:B。
【点睛】将两两变成结构相同的对数形式,然后利用对数函数的性质判断,对于结构类似的,可以通过构造函数来来比较大小,此题是一道中等难度的题目。
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.若的展开式中所有项系数和为81,则展开式的常数项为________.
【答案】8
【解析】
【分析】
在展开式中,令可得所有项系数和,可解得,再由通项公式可得常数项为8
【详解】在的二项展开式中,令得所有项的系数和为,解得,所以的二项展开式中的通项为,
令,得,常数项为,故答案为:8.
【点睛】本题考查了二项式定理.属中档题。
14.已知数列满足,,则________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用递推关系可得数列的周期性,进而得出。
【详解】,,,
同理可得:,,,,故答案为:。
【点睛】本题考查了数列的递推关系、数列的周期性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题。
15.已知平面向量,,满足,,,,则的最小值为________.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意不妨设,,,利用求出的解析式,再利用配方法求最值。
【详解】由,,,不妨设,,,则,又,,,
不妨取
,所以最小值为
【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算与配方法的应用问题,是道中等难度的题目。
16.若直线是曲线的切线,也是曲线的切线,则________.
【答案】1或
【解析】
【分析】
分别设出直线与两曲线的切点坐标,求出导数值,得到两切线方程,由两切线重合得斜率和截距相等,从而求得切线方程的答案。
【详解】设与和的切点分别为,由导数的几何意义可得,曲线在在点处的切线方程为,即,曲线在点处的切线方程为,即,则,解得,或,所以或。
【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处切线方程,考查计算能力,是中档题。
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知数列的前项和.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
【答案】(1)(2)
【解析】
【分析】
(1)利用求的通项公式;(2)用裂项求和法求的前项和。
【详解】解:(1)由,知.
当时,(也成立).
∴.
(2)由(1)知,
∴
【点睛】本题考查法求通项公式,裂项求和法求前项和,是一道基础题。
18.设的内角,,的对边分别为,,,已知,且.
(1)求;
(2)若的面积,求的周长.
【答案】(1)(2)
【解析】
【分析】
利用正弦定理以及两角和与差的三角函数转化求解。
通过三角形的面积以及余弦定理转化求解即可。
【详解】解:(1)因为,由正弦定理知.
又,所以,
即.
∴.∵,∴.
(2)由,及余弦定理,得.①
因为,所以.②
由①②解得或
∴的周长.
【点睛】(1)利用正弦定理进行边化角,对于式子中同时出现与,我们将变为,并用两角和与差的三角公式展开计算即可。(2)面积公式中有,余弦定理里面也有,两者可联立进行计算。本题是一道中等难度的题目。
19.如图,四棱锥的底面为平行四边形,,.
(1)求证:;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
【分析】
取中点,连接、,由已知可证,,可得平面,可证。
由已知可得是等腰三角形,分别以、、为、、轴建立空间直角坐标系,求出面与面的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值得二面角的余弦值。
【详解】解:(1)取中点,连接、.
由,知,,.
又∴平面,
又平面,∴.
(2)法一:由题可得,,故,所以.
所以可以为原点,分别以、、为、、轴建立空间直角坐标系.
则,,,,
,,,.
设平面的一个法向量为,则
即令得.
同理可得平面的一个法向量为.
∴.
又二面角为锐二面角所以二面角的余弦为.
法二:设二面角,的大小分别为,,则
,,
∴.
即二面角的余弦为.
而二面角与二面角大小互补、故二面角的余弦为.
【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定,考查了利用空间向量求解空间角,考查计算能力,是中档题。
20.已知动点到直线的距离比到定点的距离多1.
(1)求动点的轨迹的方程
(2)若为(1)中曲线上一点,过点作直线的垂线,垂足为,过坐标原点的直线交曲线于另外一点,证明直线过定点,并求出定点坐标.
【答案】(1)(2)证明见解析,定点坐标为
【解析】
【分析】
利用直接法,求动点的轨迹的方程。
设出直线方程以及,由、、三点共线可得,将直线方程与联立,可得,利用韦达定理,可得,所以,得出直线过定点。
【详解】解:(1)设点,则.
当时,,即,
整理得.
当时,,即,
整理得,由知,矛盾,舍去.
∴所求轨迹方程为.
(2)设,,,则.
由、、三点共线知,即.
所以.①
由得,
所以②
由①②得,即,此表达式对任意恒成立,
∴.即直线过定点,定点坐标为.
【点睛】直接法是求轨迹方程的重要方法。
当式子里面出现,则设出直线联立方程,利用韦达定理代入计算,本题是一道中等难度的综合体。
21.武汉又称江城,是湖北省省会城市,被誉为中部地区中心城市,它不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化,更有着众多名胜古迹与旅游景点,每年来武汉参观旅游的人数不胜数,其中黄鹤楼与东湖被称为两张名片为合理配置旅游资源,现对已游览黄鹤楼景点的游客进行随机问卷调查,若不游玩东湖记1分,若继续游玩东湖记2分,每位游客选择是否游览东湖景点的概率均为,游客之间选择意愿相互独立.
(1)从游客中随机抽取3人,记总得分为随机变量,求的分布列与数学期望;
(2)(i)若从游客中随机抽取人,记总分恰为分的概率为,求数列的前10项和;
(ⅱ)在对所有游客进行随机问卷调查过程中,记已调查过的累计得分恰为分的概率为
,探讨与之间的关系,并求数列的通项公式.
【答案】(1)见解析(2)(i)(ⅱ),
【解析】
【分析】
(1)判断出可能取值为3,4,5,6,分别求出概率,进而求出其数学期望。
(2)(i)由题可得首项为,公比为的等比数列,并求其前10项和。(ⅱ)根据与之间的关系,用待定系数法得,进一步就可求出的通项公式。
【详解】解:(1)可能取值为3,4,5,6.
,,,.
∴的分布列为
3
4
5
6
∴
(2)(i)总分恰为分的概率为,
∴数列是首项为,公比为的等比数列,
前10项和.
(ⅱ)已调查过累计得分恰为分的概率为,得不到分的情况只有先得分,再得2
分,概率为,.
所以,即
∴.
∴,
∴.
【点睛】本题是一道数列与概率的综合问题,对于递推式,可通过待定系数法求的通项公式,是一道中等难度的题目。
22.已知函数,是的导函数.
(1)证明:当时,上有唯一零点;
(2)若存在,且时,,证明:.
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】
【分析】
(1)求出,当时,单调递增,利用和判断出上有唯一零点。当时,的最小值大于零,则在
上没有零点.(2)令,,将转化为,再构造函数利用导数证明最小值小于0.
【详解】(1)证明:当时,,.
当时,为增函数,且,,
∴在上有唯一零点;
当时,,
∴在上没有零点.
综上知,在上有唯一零点.
(2)证明:不妨设,由得,
∴.
设,则,故在为增函数,
∴,从而,
∴,
∴,
下面证明:.
令,则,即证明,只要证明.(*)
设,则,∴在单调递减.
当时,,从而(*)得证,即.
∴,即.
【点睛】(1)零点问题可利用函数单调性和零点存在性定理来解决。
(2)通过换元将两个变量转化为一个变量,构造函数,利用导数来证明不等式。
本题是一道综合性的难题。