2019届二轮复习规范答题示例9　导数与不等式的恒成立问题课件（15张）（全国通用） 15页

板块三　专题突破核心考点 导数与不等式的恒成立问题 规范答题 示例 9 　 典例 9 　 (12 分 )(2017· 全国 Ⅲ ) 已知函数 f ( x ) ＝ ln x ＋ ax 2 ＋ (2 a ＋ 1) x . (1) 讨论 f ( x ) 的单调性； 规 范 解 答 · 分 步 得 分 (1) 解 　 f ( x ) 的定义域为 (0 ，＋ ∞ ) ， 若 a ≥ 0 ，则当 x ∈ (0 ，＋ ∞ ) 时， f ′ ( x )>0 ， 故 f ( x ) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上单调递增 . 4 分 设 g ( x ) ＝ ln x － x ＋ 1 ， 当 x ∈ (0,1) 时， g ′ ( x )>0 ；当 x ∈ (1 ，＋ ∞ ) 时， g ′ ( x )<0. 所以 g ( x ) 在 (0,1) 上单调递增，在 (1 ，＋ ∞ ) 上单调递减 . 故当 x ＝ 1 时， g ( x ) 取得最大值，最大值为 g (1) ＝ 0. 11 分 所以当 x >0 时， g ( x ) ≤ 0. 构 建 答 题 模 板 第一步 求导数： 一般先确定函数的定义域，再求 f ′ ( x ). 第二步 定区间： 根据 f ′ ( x ) 的符号确定函数的单调性 . 第三步 寻条件： 一般将恒成立问题转化为函数的最值问题 . 第四步 写步骤： 通过函数单调性探求函数最值，对于最值可能在两点取到的恒成立问题，可转化为不等式组恒成立问题 . 第五步 再反思： 查看是否注意定义域、区间的写法、最值点的探求是否合理等 . 评分细则 　第 (1) 问得分点说明： ① 正确求出 f ′ ( x ) 得 2 分； ② 求出 a ≥ 0 时，函数的单调性得 2 分； ③ 求出 a <0 时，函数的单调性得 2 分． 第 (2) 问得分点说明： ① 正确求出 f ( x ) 的最大值得 2 分； ② 转化为关于 a 的不等式得 1 分； ③ 构造函数并正确求出函数的最大值得 2 分； ④ 正确写出结论得 1 分． 解答 跟踪演练 9 　 (2018· 全国 Ⅰ ) 已知函数 f ( x ) ＝ － x ＋ a ln x . (1) 讨论 f ( x ) 的单调性 ； 解　 f ( x ) 的定义域为 (0 ，＋ ∞ ) ， ① 若 a ≤ 2 ，则 f ′ ( x ) ≤ 0 ， 当且仅当 a ＝ 2 ， x ＝ 1 时， f ′ ( x ) ＝ 0 ， 所以 f ( x ) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上单调递减． ② 若 a >2 ，令 f ′ ( x ) ＝ 0 ，得 证明 证明 　由 (1) 知， f ( x ) 存在两个极值点当且仅当 a >2. 由于 f ( x ) 的两个极值点 x 1 ， x 2 满足 x 2 － ax ＋ 1 ＝ 0 ， 所以 x 1 x 2 ＝ 1 ，不妨设 0< x 1 < x 2 ，则 x 2 >1. 由 (1) 知， g ( x ) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上单调递减． 又 g (1) ＝ 0 ，从而当 x ∈ (1 ，＋ ∞ ) 时， g ( x )<0.