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- 2021-06-30 发布
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河南省信阳市商城县上石桥高中 2019-2020 学年
高二下学期期中考试数学（文）试卷
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的)
1.复数 i－1
i
3
的虚部是( )
A.－8 B.－8i
C.8 D.0
2.下面 4 个散点图中，不适合线性回归模型拟合的两个变量是( )
3.设1
a<1
b<0，则在①a2>b2；②a＋b>2 ab；③ab|a|＋|b|.这 4 个不等式中，恒成
立的不等式的个数为( )
A.0 个 B.1 个
C.2 个 D.3 个
4.上一个 n 层台阶，若每次可上一层或两层，设所有不同的上法的总数为 f(n)，则下列猜想
正确的是( )
A.f(n)＝n B.f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)
C.f(n)＝f(n－1)×f(n－2) D.f(n)＝ n，n＝1，2，
f（n－1）＋f（n－2），n≥3
5.某一算法流程图如图，输入 x＝1 得结果为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
6.某市为了缓解交通压力，实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，
周末(周六和周日)不限行.某公司有 A，B，C，D，E 五辆车，每天至少有四辆车可以上路
行驶.已知 E 车周四限行，B 车昨天限行，从今天算起，A，C 两车连续四天都能上路行驶，
E 车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是( )
A.今天是周四 B.今天是周六
C.A 车周三限行 D.C 车周五限行
7.下列四个命题中，正确的个数为( )
①满足 z＝1
z
的复数，只有±1；
②若 a，b∈R，且 a＝b，则(a－b)＋(a＋b)i 是纯虚数；
③若复数 z1，z2 满足 z1z2∈R，则 z1＝ z－
2；
④在复平面内，复数m＋i
m－i
对应的点位于第一象限，则实数 m 的取值范围是(1，＋∞)
A.0 个 B.1 个
C.2 个 D.3 个
8.若 x，y 是正数，则 x＋ 1
2y
2
＋ y＋ 1
2x
2
的最小值是( )
A.3 B.7
2
C.4 D.9
2
9.在回归分析中，代表了数据点和它在回归直线上相应位置的差异的是( )
A.总偏差平方和 B.残差平方和
C.回归平方和 D.相关指数 R2
10.如果根据性别与是否爱好运动的列联表得到 K2≈3.852>3.841，所以判断性别与运动有
关，那么这种判断犯错的可能性不超过( )
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
A.2.5% B.0.5%
C.1% D.5%
11．(2018·北京西城联考)设 14.
参考答案
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的)
1.复数 i－1
i
3
的虚部是( )
A.－8 B.－8i
C.8 D.0
答案 A
解析 i－1
i
3
＝ i－ i
i2
3
＝(2i)3＝－8i.故选 A.
2.下面 4 个散点图中，不适合线性回归模型拟合的两个变量是( )
答案 A
解析 由散点图可以看出 C，D 的样本点分布在一条直线附近，B 的样本点分布在一条抛物
线的附近，可以转化为线性回归模型.而 A 的样本点则是散落的分布，没有集中的趋势.故
选 A.
3.设1
a<1
b<0，则在①a2>b2；②a＋b>2 ab；③ab|a|＋|b|.这 4 个不等式中，恒成
立的不等式的个数为( )
A.0 个 B.1 个
C.2 个 D.3 个
答案 B
解析 因为1
a<1
b<0，所以 b0，故②错；ab3.841，所以判断性别与运动有
关，那么这种判断犯错的可能性不超过( )
A.2.5% B.0.5%
C.1% D.5%
答案 D
解析 ∵P(K2≥3.841)≈0.05，故“判断性别与运动有关”出错的可能性为 5%.
11.“所以 9 的倍数(m)都是 3 的倍数(p)，某奇数(s)是 9 的倍数(m)，故某奇数(s)是 3 的倍数(p).”
上述推理得( )
A.小前提错 B.结论错
C.正确 D.大前提错
答案 C
解析 前提和结论都是正确的.故选 C.
12.将 1，2，3，…，9 这 9 个数填在如图的 9 个空格中，要求每一行从左到右，第一列从上
到下依次增大，当 3，4 固定在图中位置时，填写空格的方法种数为( )
3
4
A.6 种 B.12 种
C.18 种 D.24 种
答案 A
解析 3，4 固定， 则 1，2，9 也固定，
1 3 x
2 4 m
y n 9
当 x＝5 时，①m 为 6，则 y，n 也定为 7，8，有 1 种；②y 为 6，m，n 可互换有 2 种.
同理当 y 为 5 时，也有 1＋2＝3 种.
∴有 2×(1＋2)＝6 种.故选 A.
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在题中横线上)
13.已知 i 为虚数单位，复数a＋3i
2i
的实部与虚部相等，则实数 a＝________.
答案 －3
解析 a＋3i
2i
＝（a＋3i）i
－2
＝3
2
－ai
2
，由题意知3
2
＝－a
2
，解得 a＝－3.
14.(高考真题·湖北卷)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果 i＝________.
答案 5
解析 从程序框图知，a＝10，i＝1；a＝5，i＝2；a＝16，i＝3；a＝8，i＝4；a＝4，i＝5.
故输出 i＝5.
15.许多因素都会影响贫穷，教育也许是其中之一.在研究这两个因素的关系时，收集了美国
50 个州的成年人受过 9 年或更少教育的百分比(x)和收入低于官方规定的贫困线的人数占本
州人数的百分比(y)的数据，建立的回归直线方程如下：y＝0.8x＋4.6，估计值 0.8 说明
______________________，成年人受过 9 年或更少教育的百分比(x)和收入低于官方规定的
贫困线人数占本州人数的百分比(y)之间的相关系数 r________(填“大于 0”或“小于 0”).
答案 一个地区受过 9 年或更少教育的百分比每增加 1%，收入低于官方规定的贫困线的人
数占本州人数的百分比将增加 0.8%左右 大于 0
解析 由回归分析可知.
16.已知两个圆：x2＋y2＝1①与 x2＋(y－3)2＝1②，则由①式减去②式可得上述两圆的对称
轴方程，将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已
知命题应成为所推广命题的一个特例，推广的命题为：_____________________________
________________________________________________________________________.
答案 设两圆方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，(x－c)2＋(y－d)2＝r2(a≠c 或 b≠d)，则由两方程相
减得两圆的对称轴方程为 2(c－a)x＋2(d－b)y＋a2＋b2－c2－d2＝0
解析 这是一个类比推理题，由两相交圆将方程相减可以得到相交弦方程知，只需将两同半
径的一般圆方程相减消去二次项即可.但要注意得出的结论必须是正确的.
三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10 分)设复数 z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，试求实数 m 为何值时，z 对应的点位
于复平面的第二象限？
解析 要使 z 对应的点位于复平面内的第二象限，
则
m2－2m－2>0，
lg（m2－2m－2）<0，
m2＋3m＋2>0.
解得－17.879，所以有 99.5%的把握说抽样员工对待企业改革的态度与工作积极性是有
关的，可以认为企业的全体员工对待企业改革的态度与其工作积极性是有关的.
20.(12 分)已知 a，b，c 表示△ABC 的边长，m>0，求证： a
a＋m
＋ b
b＋m> c
c＋m.
证明 设 f(x)＝ x
x＋m(x>0)，且 00，00，m＋x2>0，x2－x1>0.
∴f(x2)－f(x1)>0，即 f(x2)>f(x1).
∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数.
在△ABC 中，a＋b>c，则 a＋b
a＋b＋m
> c
c＋m
.
∴ c
c＋m
< a
a＋b＋m
＋ b
a＋b＋m
< a
a＋m
＋ b
b＋m
.
∴原不等式成立.
21.(12 分)一种计算装置，有一个数据输入口 A 和一个运算结果输出口 B，执行的运算程序
是：①当从 A 口输入自然数 1 时，从 B 口输出实数1
3
，记为 f(1)＝1
3
；
②当从 A 口输入自然数 n(n≥2)时，在 B 口得到的结果 f(n)是前一结果 f(n－1)的2n－3
2n＋1
倍.
(1)求 f(2)，f(3)的值；
(2)归纳猜想 f(n)的表达式，并证明；
(3)求 ∑
n
i＝1f(i).
解析 (1)由题可知 f(n)＝2n－3
2n＋1
f(n－1)，n≥2.
∴f(2)＝2×2－3
2×2＋1
×1
3
＝ 1
15
，同理得 f(3)＝ 1
35.
(2)由 f(1)＝1
3
＝ 1
1×3
，f(2)＝ 1
15
＝ 1
3×5
，
f(3)＝ 1
35
＝ 1
5×7.
归纳猜想：f(n)＝ 1
（2n－1）（2n＋1）.
∵ f（n）
f（n－1）
＝2n－3
2n＋1
，
∴f（2）
f（1）·f（3）
f（2）·f（4）
f（3）·…· f（n）
f（n－1）
＝1
5·3
7·5
9·…·2n－3
2n＋1
，从而f（n）
f（1）
＝ 3
（2n－1）（2n＋1）.
∴f(n)＝ 1
（2n－1）（2n＋1）.
(3)∑
n
i＝1f(i)＝ 1
1×3
＋ 1
3×5
＋ 1
5×7
＋…＋ 1
（2n－1）×（2n＋1）
＝1
2
1－1
3 ＋
1
3
－1
5 ＋
1
5
－1
7 ＋…
＋
1
2n－1
－ 1
2n＋1 ＝1
2
1－ 1
2n＋1 ＝ n
2n＋1
.
22.(12 分)电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了 100
名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方
图：
将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有 10 名女
性.
(1)根据已知条件完成下面的 2×2 列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？
非体育迷 体育迷 合计
男
女 10 55
合计
(2)将日均收看该体育节目不低于 50 分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有
2 名女性.若从“超级体育迷”中任意选取 2 人，求至少有 1 名女性观众的概率.
附：k2＝ n（ad－bc）2
（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）.
P(k2≥k0) 0.05 0.01
k0 3.841 6.635
解析 (1)由频率分布直方图可知，在抽取的 100 人中，“体育迷”有 25 人，从而 2×2 列联表
如下：
非体育迷 体育迷 合计
男 30 15 45
女 45 10 55
合计 75 25 100
将 2×2 列联表中的数据代入公式计算，得
k2＝ n（ad－bc）2
（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）
＝100×（30×10－45×15）2
75×25×45×55
＝100
33
≈3.030.
因为 3.030<3.841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关.
(2)由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为 5 人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间
为
Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，
(b1，b2)}.
其中 ai 表示男性，i＝1，2，3.bj 表示女性，j＝1，2.
Ω由 10 个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的.
用 A 表示“任选 2 人中，至少有 1 人是女性”这一事件，则
A＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，
事件 A 由 7 个基本事件组成，因而 P(A)＝ 7
10.
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