河北辛集中学2019届高三模拟考试（四）数学（文）试卷 13页

文科数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合2，，，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎2．复数的共轭复数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知数列满足．若，且，则（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎4．某班级在一次数学竞赛中为全班学生设置了一等奖、二等奖、三等奖以及参与奖，各个奖品的单价分别为：一等奖元、二等奖元、三等奖元、参与奖元，获奖人数的分配情况如图，则以下说法不正确的是（ ）.‎ A．获得参与奖的人数最多 B．各个奖项中参与奖的总费用最高 C．购买每件奖品费用的平均数为元 D．购买的三等奖的奖品件数是一、二等奖的奖品件数和的二倍 ‎5．分别是双曲线的左、右焦点， 为双曲线右支上一点，且，则（ ）‎ A．4 B．3 C． D．2‎ ‎6．某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为，则该几何体的体积为（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎7．相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调。“三分损益”包含“三分损一”和“三分益一”，用现代数学的方法解释如下，“三分损一”是在原来的长度减去一分，即变为原来的三分之二；“三分益一”是在原来的长度增加一分，即变为原来的三分之四，如图的程序是与“三分损益”结合的计算过程，若输入的的值为，输出的的值为（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知由射线逆时针旋转到射线≤0)的位置，两条射线所成的角为，则（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知实数满足不等式组，则的最大值为（ ）‎ A．0 B．3 C．9 D．11‎ ‎10．已知数列的前项和为，将该数列按下列格式（第行有个数）排成一个数阵，则该数阵第行从左向右第个数字为（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知（其中，的最小值为，将的图像向左平移个单位得，则的单调递减区间是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎12．已知函数则函数的零点个数为（ ）.‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题 ‎13．已知平面向量，之间的夹角为，若，，则__________．‎ ‎14．函数的图象在原点处的切线方程为__________．‎ ‎15．已知直线，抛物线，若过点与直线垂直的直线与抛物线交于，两点，则__________．‎ ‎16．已知三棱锥的各顶点都在球面上，,平面,，,若该球的体积为，则三棱锥的表面积为__________．‎ 三、解答题 ‎17．已知在中，内角，，的对边分别为，，，边上的高为，．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若的周长为，求边的长。‎ ‎18．已知四棱锥中，四边形为梯形，,平面平面，为线段的中点，.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若，求点到平面的距离.‎ ‎19．某汽车公司推出了共享汽车“Warmcar”，有一款车型为“众泰云”新能源共享汽车，其中一种租用方式“分时计费”规则为：元/分钟元/公里.已知小李家离上班地点为公里，每天租用该款汽车上、下班各一次，由于堵车及红绿灯等原因每次路上开车花费的时间(分钟）是一个随机变量，现统计了次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布情况如下表所示：‎ 时间（分钟）‎ 频数 ‎（1）写出小李上班一次租车费用（元）与用车时间(分钟）的函数关系式；‎ ‎（2）根据上面表格估计小李平均每次租车费用；‎ ‎（3）“众秦云”新能源汽车还有一种租用方式为“按月计费”，规则为每个月收取租金元，若小李每个月上班时间平均按天计算，在不计电费的情况下，请你为小李选择一种省钱的租车方式.‎ ‎20．已知椭圆的左顶点为，离心率为，点在椭圆上.‎ ‎（1)求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线与椭圆交于，两点，直线，分别与轴交于点，‎ ‎，求证：在轴上存在点，使得无论非零实数怎样变化，总有为直角，并求出点的坐标.‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（1）若，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）求函数的极值点个数.‎ ‎22．已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数，）.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线经过点且与曲线交于，两点，求.‎ ‎23．已知函数.‎ ‎（1）若，求不等式的解集；‎ ‎（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围.‎ 文科数学试题 参考答案 ‎1．C ‎，，则，选.‎ ‎2．C 先把复数的分母实数化，，根据共轭复数的概念易得答案C。‎ ‎3．D 由数列满足，根据等差中项公式，可得数列为等差数列，‎ 故，即，又，所以，‎ 则，故选D.‎ ‎4．B 由题意，设全班人数为，由扇形统计图可知，一等奖占，二等奖占，三等奖占，‎ 参与奖占.获得参与奖的人数最多，故A正确；各奖项的费用：一等奖，二等奖，三等奖占，参与奖占，‎ 可知各个奖项中三等奖的总费用最高，故B错误；‎ 平均费用元，故C正确；‎ 一等奖奖品数为，二等奖奖品数为，三等奖奖品数为，故D正确.‎ 故选B.‎ ‎5．A ‎【解析】由双曲线的定义可知， ‎ 本题选择A选项.‎ ‎6．B 由题意，根据给定的三视图可知，该几何体是棱长为2的正方体挖出两个圆锥体，‎ 如图所示.‎ 由图中知圆锥的半径为，高为，‎ 该几何体的体积为，故选B.‎ ‎7．B 由题意，执行循环结构的程序框图，可得：‎ 第1次循环：，不满足判断条件；‎ 第2次循环：，不满足判断条件；‎ 第3次循环：，满足判断条件，输出结果，‎ 故选B．‎ ‎8．A 由题意，设的倾斜角为，则，，‎ 射线的倾斜角为，，，‎ 所以 ，‎ 故选A.‎ ‎9．C ‎【解析】‎ 的最大值为 故选 ‎10．B 由题意，知，‎ 当时，，当，所以，‎ 又由数阵知，每一行的项数依次构成的数列，，，，，构成首项为，公比为的等比数列，‎ 由等比数列的前项和公式知，该数阵第行从左到右第个数为数列的第项，所以该数为，故选B.‎ ‎11．A ‎∵f（x）＝sin（ωx+θ），其中ω＞0，θ∈（0，），f'（x1）＝f'（x2）＝0，|x2﹣x1|min，‎ ‎∴•T，‎ ‎∴ω＝2，‎ ‎∴f（x）＝sin（2x+θ）．‎ 又f（x）＝f（x），‎ ‎∴f（x）的图象的对称轴为x，‎ ‎∴2•θ＝kπ，k∈Z，又，‎ ‎∴θ，f（x）＝sin（2x）．‎ 将f（x）的图象向左平移 个单位得G（x）＝sin（2x）＝cos2x 的图象，‎ 令2kπ≤2x≤2kπ+π，求得kπ≤x≤kπ，则G（x）＝cos2x 的单调递减区间是[kπ，kπ]，‎ ‎12．B由题意，令，得，‎ 令,由，得或，‎ 作出函数的图象，如图所示，‎ 结合函数的图象可知，有个解，有个解，故的零点个数为 ‎，故选B.‎ ‎13．8‎ 由题意，平面向量，之间的夹角为，若，，‎ 所以．‎ 故答案为：8.‎ ‎14．‎ 由题意，函数的导数为，则在原点处的切线斜率为，‎ 所以在原点处的切线方程为，即为，‎ 故答案为：．‎ ‎15．‎ 依题意，设直线的方程为，‎ 将点代入，解得，故直线，‎ 联立，整理得，‎ 所以 ‎ ‎.‎ 故答案为：‎ ‎16．27.如图所示，因为平面，所以，，，‎ 因为，，所以平面，所以，‎ 设的中点为，则，所以为三棱锥外接球的球心，‎ 由题知，解得，所以，在中，,，所以 ‎，‎ 在中，，在中，，‎ 所以三棱锥的表面积为 .‎ 故答案为：27.‎ ‎17．（1）；（2）‎ ‎(1)由题意，根据三角形的面积公式，可得，解得，‎ 即，又，．‎ ‎(2）由余弦定理可得，即， ‎ 又，，则，解得.‎ ‎18．（1）见解析；（2）‎ ‎（1)由题意知，,且，‎ 所以四边形是正方形，连接，所以，‎ 又因为，，所以四边形是平行四边形，‎ 所以，则.‎ 因为平面平面，，平面平面，故平面.所以，所以，‎ 又因为，则平面.‎ ‎（2），，的面积为，‎ 又由（1）知平面，，‎ 又在中，，，，‎ 由（1）知，的面积为，‎ 设点到平面的距离为，则，即.‎ ‎19．(1) （元）(2)元(3) 分时计费 解：(1) （元）‎ ‎ (2) 平均每次用车时间为：（分钟）‎ 平均一次租车费用（元）‎ ‎(3) 租用方式为“分时计费”一个月总费用为元 因为<元 所以，对小李租车仅用于上下班的情况，采用“分时计费”更省钱．‎ ‎20．（1）；（2）见解析 ‎（1)依题意，，所以 ①，‎ 又因为点在椭圆上，所以 ②，‎ 由①②解得，，所以椭圆方程为.‎ ‎（2）设，，则，不妨令.‎ 由可得，解得，，‎ ‎，所以所在直线方程为，‎ 所在直线方程为，‎ 可得，同理可得，‎ 所以，，‎ 所以，，所以或，‎ 所以存在点且坐标为或．‎ 使得无论非零实数怎么变化，总有为直角.‎ ‎21．（1）；（2）见解析 ‎（1）依题意，，故，‎ 又，故所求切线方程为.‎ ‎（2）依题意.‎ 令，则，且当时，当时，，‎ 所以函数在单调递减，在单调递增，，‎ 当时，恒成立，.‎ 函数在区间单调递增，无极值点； ‎ 当时，，‎ 故存在和，使得，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 当时，，所以函数在单调递减，在和单调递增，所以为函数的极大值点，为函数的极小值点.‎ 综上所述，当时，无极值点；当时，有个极值点.‎ ‎22．（1）；（2）8‎ ‎（1)由题意，曲线，可化为，‎ 又由，可得曲线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）根据条件直线经过两定点和，所以直线的方程为，‎ 由，消去并整理得，‎ 令点，，则，‎ 所以 .‎ ‎23．（1）或；（2）‎ ‎（1）由题意，不等式，可得，‎ 可转化为不等式组，解得或，‎ 所以不等式的解集为或．‎ ‎（2）因为，所以，‎ 所以不等式恒成立，即在上恒成立，‎ 所以，即， ‎ 又因为在是增函数，‎ 所以，所以.‎