2018届二轮复习9-3圆的方程课件（全国通用） 33页

9 . 3 　 圆的方程 - 2 - - 3 - 知识梳理 考点自测 1 . 圆的定义及方程 2 . 点与圆的位置关系 圆的标准方程 ( x-a ) 2 + ( y-b ) 2 =r 2 , 点 M ( x 0 , y 0 ), (1)( x 0 -a ) 2 + ( y 0 -b ) 2 　　　 r 2 ⇔ 点在圆上 ;   (2)( x 0 -a ) 2 + ( y 0 -b ) 2 　　　 r 2 ⇔ 点在圆外 ;   (3)( x 0 -a ) 2 + ( y 0 -b ) 2 　　　 r 2 ⇔ 点在圆内 .   定点 定长 ( a , b ) r = > < - 4 - 知识梳理 考点自测 1 . 圆心在过切点且垂直于切线的直线上 . 2 . 圆心在任一弦的垂直平分线上 . 3 . 两圆相切时 , 切点与两圆心三点共线 . 4 . 以 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) 为直径的两端点的圆的方程是 ( x-x 1 )( x-x 2 ) + ( y-y 1 )( y-y 2 ) = 0( 公式推导 : 设圆上任一点 P ( x , y ), 则有 k PA · k PB =- 1, 由斜率公式代入整理即可 ) - 5 - 知识梳理 考点自测 1 . 判断下列结论是否正确 , 正确的画 “ √ ”, 错误的画 “ × ” . (1) 已知圆的方程为 x 2 +y 2 - 2 y= 0, 过点 A (1,2) 作该圆的切线只有一条 . ( 　　 ) (2) 方程 ( x+a ) 2 + ( y+b ) 2 =t 2 ( t ∈ R ) 表示圆心为 ( a , b ), 半径为 t 的一个圆 . ( 　　 ) (4) 已知点 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), 则以 AB 为直径的圆的方程是 ( x-x 1 )( x-x 2 ) + ( y-y 1 )( y-y 2 ) = 0 . ( 　　 ) (5) 方程 x 2 +Bxy+y 2 +Dx+Ey+F= 0 表示圆的充要条件是 B= 0, D 2 +E 2 - 4 F> 0 . ( 　　 ) × × × √ √ - 6 - 知识梳理 考点自测 2 . 圆心在 y 轴上 , 半径为 1, 且过点 (1,2) 的圆的方程为 ( 　　 ) A. x 2 + ( y- 2) 2 = 1 B. x 2 + ( y+ 2) 2 = 1 C.( x- 1) 2 + ( y- 3) 2 = 1 D. x 2 + ( y- 3) 2 = 1 A - 7 - 知识梳理 考点自测 B - 8 - 知识梳理 考点自测 4 . 若曲线 C : x 2 +y 2 + 2 ax- 4 ay+ 5 a 2 - 4 = 0 上所有的点均在第二象限内 , 则 a 的取值范围为 ( 　　 ) A.( -∞ , - 2) B.( -∞ , - 1) C.(1, +∞ ) D.(2, +∞ ) D 解析 : 曲线 C 的方程可以化为 ( x+a ) 2 + ( y- 2 a ) 2 = 4, 则该方程表示圆心为 ( -a ,2 a ), 半径等于 2 的圆 . 因为圆上的点均在第二象限 , 所以 a> 2 . 5 . (2017 湖南邵阳一模 , 文 14) 已知 A ( - 1,4), B (3, - 2), 以 AB 为直径的圆的标准方程为 　 .   ( x- 1) 2 + ( y- 1) 2 = 13 解析 : 以 AB 为直径的圆的方程为 ( x+ 1)( x- 3) + ( y- 4)( y+ 2) = 0, 整理得 ( x- 1) 2 + ( y- 1) 2 = 13 . - 9 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 求圆的方程 例 1 (1) 已知圆 C 与直线 x-y= 0 及 x-y- 4 = 0 都相切 , 圆心在直线 x+y= 0 上 , 则圆 C 的方程为 ( 　　 ) A.( x+ 1) 2 + ( y- 1) 2 = 2 B.( x- 1) 2 + ( y+ 1) 2 = 2 C.( x- 1) 2 + ( y- 1) 2 = 2 D.( x+ 1) 2 + ( y+ 1) 2 = 2 (2) 过三点 A (1,3), B (4,2), C (1, - 7) 的圆交 y 轴于 M , N 两点 , 则 |MN|= ( 　　 ) B C - 10 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 - 11 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 - 12 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 思考 求圆的方程有哪些常见方法 ? 解题心得 求圆的方程时 , 应根据条件选用合适的圆的方程 . 一般来说 , 求圆的方程有两种方法 :(1) 几何法 , 通过研究圆的性质进而求出圆的基本量 . 确定圆的方程时 , 常用到的圆的三个性质 : ① 圆心在过切点且垂直切线的直线上 ; ② 圆心在任一弦的垂直平分线上 ; ③ 两圆内切或外切时 , 切点与两圆圆心共线 ;(2) 代数法 , 即设出圆的方程 , 用待定系数法求解 . - 13 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 对点训练 1 (1) 过点 A (4,1) 的圆 C 与直线 x-y- 1 = 0 相切于点 B (2,1), 则圆 C 的方程为 　　　　　　　　 .   (2)(2017 河南百校联盟 ) 经过点 A (5,2), B (3, - 2), 且圆心在直线 2 x-y- 3 = 0 上的圆的方程为 　 .   ( x- 3) 2 +y 2 = 2 ( x- 2) 2 + ( y- 1) 2 = 10 - 14 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 - 15 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 - 16 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 与圆有关的轨迹问题 例 2 已知圆 x 2 +y 2 = 4 上一定点 A (2,0), B (1,1) 为圆内一点 , P , Q 为圆上的动点 . (1) 求线段 AP 中点的轨迹方程 ; (2) 若 ∠ PBQ= 90 ° , 求线段 PQ 中点的轨迹方程 . - 17 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 解 (1) 设 AP 的中点为 M ( x , y ), 由中点坐标公式可知 , 点 P 的坐标为 (2 x- 2,2 y ) . 因为点 P 在圆 x 2 +y 2 = 4 上 , 所以 (2 x- 2) 2 + (2 y ) 2 = 4, 即 ( x- 1) 2 +y 2 = 1 . 故线段 AP 中点的轨迹方程为 ( x- 1) 2 +y 2 = 1 . (2) 设 PQ 的中点为 N ( x , y ) . 在 Rt △ PBQ 中 , |PN|=|BN|. 设 O 为坐标原点 , 连接 ON , 则 ON ⊥ PQ , 所以 |OP| 2 =|ON| 2 +|PN| 2 =|ON| 2 +|BN| 2 , 所以 x 2 +y 2 + ( x- 1) 2 + ( y- 1) 2 = 4 . 故线段 PQ 中点的轨迹方程为 x 2 +y 2 -x-y- 1 = 0 . - 18 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 思考 求与圆有关的轨迹方程都有哪些常用方法 ? 解题心得 1 . 求与圆有关的轨迹问题时 , 根据题设条件的不同常采用以下方法 :(1) 直接法 , 直接根据题目提供的条件列出方程 ;(2) 定义法 , 根据圆、直线等定义列方程 ;(3) 几何法 , 利用圆的几何性质列方程 ;(4) 代入法 , 找到要求点与已知点的关系 , 代入已知点满足的关系式等 . 2 . 求与圆有关的轨迹问题时 , 题目的设问有两种常见形式 , 作答也应不同 . 若求轨迹方程 , 则把方程求出化简即可 ; 若求轨迹 , 则必须根据轨迹方程 , 指出轨迹是什么曲线 . - 19 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 对点训练 2 已知点 A ( - 1,0), 点 B (2,0), 动点 C 满足 |AC|=|AB| , 则点 C 与点 P (1,4) 所连线段的中点 M 的轨迹方程为 　　　　　　　　　　 .   - 20 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 与圆有关的最值问题 ( 多考向 ) 考向 1 　 斜率型最值问题 例 3 已知实数 x , y 满足方程 x 2 +y 2 - 4 x+ 1 = 0, 求 的最大值和最小值 . - 21 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考向 2 　 截距型最值问题 例 4 在例 3 的条件下求 y-x 的最大值和最小值 . 思考 如何求解形如 ax+by 的最值问题 ? - 22 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考向 3 　 距离型最值问题 例 5 在例 3 的条件下求 x 2 +y 2 的最大值和最小值 . 解 如图所示 , x 2 +y 2 表示圆上的一点与原点距离的平方 , 由平面几何知识知 , 在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值 . - 23 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 思考 如何求解形如 ( x-a ) 2 + ( y-b ) 2 的最值问题 ? - 24 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考向 4 　 建立目标函数求最值问题 例 6 设圆 x 2 +y 2 = 2 的切线 l 与 x 轴正半轴、 y 轴正半轴分别交于点 A , B , 当 |AB| 取最小值时 , 切线 l 的方程为 　　　　　 .   x+y- 2 = 0 - 25 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 思考 如何借助圆的几何性质求有关线段长的最值 ? 解题心得 求解与圆有关的最值问题的两大规律 : (1) 借助几何性质求最值 ① 形如 的最值问题 , 可转化为定点 ( a , b ) 与圆上的动点 ( x , y ) 的斜率的最值问题 ; ② 形如 t=ax+by 的最值问题 , 可转化为动直线的截距的最值问题 ; ③ 形如 u= ( x-a ) 2 + ( y-b ) 2 的最值问题 , 可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题 . (2) 建立函数关系式求最值 根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式 , 然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等求解 , 其中利用基本不等式求最值是比较常用的方法 . - 26 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 0 - 27 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 - 28 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 - 29 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 求半径常有以下方法 : (1) 若已知直线与圆相切 , 则圆心到切点 ( 或切线 ) 的距离等于半径 ; (2) 若已知弦长、弦心距、半径 , 则可利用弦长的一半、弦心距、半径三者满足勾股定理的关系求得 . - 30 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 - 31 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 易错警示 —— 轨迹问题易忘记特殊点的检验而致误 典例 设定点 M ( - 3,4), 动点 N 在圆 x 2 +y 2 = 4 上运动 , 以 OM , ON 为邻边作平行四边形 MONP , 求点 P 的轨迹 . - 32 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 - 33 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 反思提升 1 . 本题易忘记四边形 MONP 为平行四边形 , 导致忘记除去两个特殊点 . 2 . 本题也容易把求点 P 的轨迹理解成只求点 P 的轨迹方程 , 要知道 , 求一动点满足的轨迹除了要求出轨迹方程 , 还要说明方程对应的是什么曲线 .