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  • 2021-06-30 发布

高中数学必修5:5_备课资料(3_3_2 简单线性规划问题)

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备课资料 备用习题 ‎1.某糖果厂生产A、B两种糖果,A种糖果每箱获利润40元,B种糖果每箱获利润50元,其生产过程分为混合、烹调、包装三道工序,下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间:(单位:分钟) 混合 烹调 包装 A ‎1‎ ‎5‎ ‎3‎ B ‎2‎ ‎4‎ ‎1‎ 每种糖果的生产过程中,混合的设备至多能用12小时,烹调的设备至多只能用30小时,包装的设备只能用15小时,试求每种糖果各生产多少箱可获得最大利润? 分析:找约束条件,建立目标函数. 解:设生产A种糖果x箱,B种糖果y箱,可获得利润z元,则此问题的数学模式在约束条件下,求目标函数z=40x+50y的最大值,作出可行域,其边界OA:y=0,AB:3x+y-900=0,BC:5x+4y-1 800=0,CD:x+2y-720=0,DO:x=0. 由z=40x+50y,得,它表示斜率为,截距为z[]50的平行直线系,越大,z越大,从而可知过C点时截距最大,z取得了最大值. 解方程组C(120,300). ‎∴z max=40×120+50×300=19 800,即生产A种糖果120箱,生产B种糖果300箱,可得最大利润19 800元. 点评:由于生产A种糖果120箱,生产B种糖果300箱,就使得两种糖果共计使用的混合时间为120+2×300=720(分),烹调时间5×120+4×300=1 800(分),包装时间3×120+300=660(分),这说明该计划已完全利用了混合设备与烹调设备的可用时间,但对包装设备却有240分钟的包装时间未加利用,这种“过剩”问题构成了该问题的“松弛”部分,有待于改进研究. ‎2.甲、乙、丙三种食物的维生素A、B含量及成本如下表:‎ 甲 乙 丙 维生素A(单位/千克)‎ ‎600‎ ‎700‎ ‎400‎ 维生素B(单位/千克)‎ ‎800‎ ‎400‎ ‎500‎ 成本(元/千克)‎ ‎11‎ ‎9‎ ‎4‎ 某食物营养研究所想用x千克甲种食物,y千克乙种食物,z千克丙种食物配成100千克的混合食物,并使混合食物至少含56 000单位维生素A和63 000单位维生素B.(1)用x、y表示混合食物成本C;(2)确定x、y、z的值,使成本最低. 分析:找到线性约束条件及目标函数,用平行线移动法求最优解. 解:(1)依题意x、y、z满足x+y+z=100z=100-x-y. ‎∴成本C=11x+9y+4z=7x+5y+400(元). ‎(2)依题意 ‎∵z=100-x-y, ‎∴‎ 作出不等式组所对应的可行域,如右图所示. 联立交点A(50,20). 作直线7x+5y+400=C,则易知该直线截距越小,C越小,所以该直线过A(50,20)时,直线在y轴截距最小,从而C最小,此时7×50+5×20+400=C=850元. ‎∴x=50千克,z=30千克时成本最低.‎