【数学】2020年高考真题——天津卷（精校版） 12页

绝密★启用前 ‎2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）‎ 数 学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．‎ 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 祝各位考生考试顺利！‎ 第I卷 注意事项：‎ ‎1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．‎ ‎2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．‎ 参考公式：‎ ‎·如果事件与事件互斥，那么．‎ ‎·如果事件与事件相互独立，那么．‎ ‎·球的表面积公式，其中表示球的半径．‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设全集，集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．设，则“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．函数的图象大致为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎4．从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：），将所得数据分为9组：，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间内的个数为（ ）‎ A．10 B．18 C．20 D．36‎ ‎5．若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．设，则的大小关系为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知函数．给出下列结论：‎ ‎①的最小正周期为；‎ ‎②是的最大值；‎ ‎③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．‎ 其中所有正确结论的序号是 A．① B．①③ C．②③ D．①②③‎ ‎9．已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ 第Ⅱ卷 注意事项：‎ ‎1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．‎ ‎2．本卷共11小题，共105分．‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．‎ ‎10．是虚数单位，复数_________．‎ ‎11．在的展开式中，的系数是_________．‎ ‎12．已知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________．‎ ‎13．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．‎ ‎14．已知，且，则的最小值为_________．‎ ‎15．如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．‎ 三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ 在中，角所对的边分别为．已知．‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）求的值；‎ ‎（Ⅲ）求的值．‎ ‎17．（本小题满分15分）‎ 如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎18．（本小题满分15分）‎ 已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知点满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程．‎ ‎19．（本小题满分15分）‎ 已知为等差数列，为等比数列，．‎ ‎（Ⅰ）求和的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）记的前项和为，求证：；‎ ‎（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．‎ ‎20．（本小题满分16分）‎ 已知函数，为的导函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，‎ ‎（i）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（ii）求函数的单调区间和极值；‎ ‎（Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有．‎ ‎【参考答案】‎ 一、选择题：每小题5分，满分45分．‎ ‎1．C 2．A 3．A 4．B 5．C 6．D 7．D 8．B 9．D 二、填空题：每小题5分，满分30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．‎ ‎10． 11．10 12．5 13．； 14．4 15．；‎ 三、解答题 ‎16．（Ⅰ）解：在中，由余弦定理及，‎ 有．又因为，所以．‎ ‎（Ⅱ）解：在中，由正弦定理及，‎ 可得．‎ ‎（Ⅲ）解；由及，可得，‎ 进而．‎ 所以，．‎ ‎17．解：依题意，以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得，，．‎ ‎（Ⅰ）证明：依题意，，，‎ 从而，所以．‎ ‎（Ⅱ）解：依题意，是平面的一个法向量，，．设为平面的法向量，则即不妨设，可得．‎ 因此有，于是．‎ 所以，二面角的正弦值为．‎ ‎（Ⅲ）解：依题意，．‎ 由（Ⅱ）知为平面的一个法向量，于是．‎ 所以，直线与平面所成角的正弦值为．‎ ‎18．（Ⅰ）解：由已知可得．记半焦距为，由可得．‎ 又由，可得．所以，椭圆的方程为．‎ ‎（Ⅱ）解：因为直线与以为圆心的圆相切于点，所以．依题意，直线和直线的斜率均存在．设直线的方程为．由方程组消去，可得，解得，或．‎ 依题意，可得点的坐标．因为为线段的中点，‎ 点的坐标为，所以点的坐标为．‎ 由，得点的坐标为，故直线的斜率为，‎ 即．又因为，所以，‎ 整理得，解得，或．‎ 所以，直线的方程为，或．‎ ‎19．（Ⅰ）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为．由，，可得，从而的通项公式为．‎ 由，又，可得，解得，‎ 从而的通项公式为．‎ ‎（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得，故，，从而，‎ 所以．‎ ‎（Ⅲ）解：当为奇数时，；‎ 当为偶数时，．‎ 对任意的正整数，有 ‎，‎ 和． ①‎ 由①得． ②‎ 由①②得，‎ 从而得．‎ 因此，．‎ 所以，数列的前项和为．‎ ‎20．（Ⅰ）（i）解：当时，，故．可得，，所以曲线在点处的切线方程为，‎ 即．‎ ‎（ii）解：依题意，．从而可得，整理可得．令，‎ 解得．‎ 当变化时，的变化情况如下表：‎ ‎1‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；‎ 的极小值为，无极大值．‎ ‎（Ⅱ）证明：由，得．‎ 对任意的，且，令，‎ 则 ‎． ①‎ 令．当时，，‎ 由此可得在单调递增，所以当时，，即．‎ 因为，‎ ‎，‎ 所以，‎ ‎． ②‎ 由（Ⅰ）（ii）可知，当时，，即，‎ 故． ③‎ 由①②③可得．‎ 所以，当时，对任意的，且，‎ 有．‎