【数学】2019届文科一轮复习人教A版7-2空间几何体的表面积与体教案 11页

第二节　空间几何体的表面积与体积 ‎[考纲传真]　(教师用书独具)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．‎ ‎(对应学生用书第94页)‎ ‎ [基础知识填充]‎ ‎1．多面体的表(侧)面积 ‎ 因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．‎ ‎2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面 展开图　‎ 侧面 积公式　‎ S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝‎ π(r1＋r2)l ‎3. 柱、锥、台和球的表面积和体积 ‎　　　　名称 几何体　　　‎ 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱)‎ S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体(棱锥和圆锥)‎ S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 台体(棱台和圆台)‎ S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2‎ V＝πR3‎ ‎[知识拓展]‎ ‎1．正四面体的表面积与体积 ‎ 棱长为a的正四面体，其表面积为a2，体积为a3.‎ ‎2．几个与球有关的切、接常用结论 ‎ (1)正方体的棱长为a，球的半径为R，‎ ‎ ①若球为正方体的外接球，则2R＝a；‎ ‎ ②若球为正方体的内切球，则2R＝A．‎ ‎ ③若球与正方体的各棱相切，则2R＝A．‎ ‎ (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.‎ ‎ (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1，棱长为a的正四面体，其内切球半径R内＝a，外接球半径R外＝A．‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎ (1)锥体的体积等于底面面积与高之积．(　　)‎ ‎ (2)球的体积之比等于半径比的平方．(　　)‎ ‎ (3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．(　　)‎ ‎ (4)已知球O的半径为R，其内接正方体的边长为a，则R＝A．(　　)‎ ‎ [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√‎ ‎2．(教材改编)已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为(　　)‎ ‎ A．‎1 cm　　　 B．‎2 cm　　　‎ ‎ C．‎3 cm　　　 D. cm ‎ B　[S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，‎ ‎ ∴r＝2(cm)．]‎ ‎3．(2015·全国卷Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图721，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有(　　)‎ 图721‎ ‎ A．14斛 B．22斛 ‎ ‎ C．36斛 D．66斛 ‎ B　[设米堆的底面半径为r尺，则r＝8，所以r＝，所以米堆的体积为V＝×π·r2·5＝×2×5≈(立方尺)．故堆放的米约有÷1.62≈22(斛)．故选B．]‎ ‎4．(2017·全国卷Ⅱ)长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为________．‎ ‎ 14π　[∵长方体的顶点都在球O的球面上，‎ ‎ ∴长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径．‎ ‎ 设球的半径为R，‎ ‎ 则2R＝＝.‎ ‎ ∴球O的表面积为S＝4πR2＝4π×2＝14π.]‎ ‎5．(2017·郑州质检)某几何体的三视图如图722所示(单位：cm)，则该几何体的体积是________cm3. 【导学号：79170233】‎ 图722‎ ‎ 　[由三视图可知该几何体是由棱长为‎2 cm的正方体与底面为边长为‎2 cm的正方形、高为‎2 cm的四棱锥组成，V＝V正方体＋V四棱锥＝‎8 cm3＋ cm3＝ cm3.]‎ ‎(对应学生用书第95页)‎ 空间几何体的表面积 ‎　(1)某几何体的三视图如图723所示，则该几何体的表面积等于(　　)‎ 图723‎ ‎ A．8＋2　 B．11＋2 ‎ C．14＋2 D．15‎ ‎ (2)(2018·江西七校联考)若某空间几何体的三视图如图724所示，则该几何体的表面积是(　　) 【导学号：79170234】‎ 图724‎ ‎ A．48＋π B．48－π ‎ C．48＋2π D．48－2π ‎ (1)B　(2)A　[(1)由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示．‎ ‎ 直角梯形斜腰长为＝，所以底面周长为4＋，侧面积为4＋2＋2＋2＝8＋2，两底面的面积和为2××1×(1＋2)＝3.‎ ‎ 所以该几何体的表面积为8＋2＋3＝11＋2.‎ ‎ (2)该几何体是正四棱柱挖去了一个半球，正四棱柱的底面是正方形(边长为2)，高为5，半球的半径是1，那么该几何体的表面积为S＝2×2×2＋2×4×5－π×12＋2π×12＝48＋π，故选A．‎ ‎ [规律方法]　　1.(1)多面体与旋转体的表面积等于侧面面积与底面面积之和．(2)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的处理．‎ ‎ 2．若以三视图的形式给出，解题的关键是对给出的三视图进行分析，从中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，得到几何体的直观图，然后根据条件求解．‎ ‎[变式训练1]　(1)(2016·全国卷Ⅲ)如图725，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为(　　)‎ 图725‎ ‎ A．18＋36 B．54＋18 ‎ C．90 D．81‎ ‎ (2)(2016·全国卷Ⅰ)‎ 如图726，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是 ‎(　　)‎ ‎ A．17π B．18π ‎ C．20π D．28π 图726‎ ‎ (1)B　(2)A　[(1)由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(3×3＋3×6＋3×3)×2＝54＋18.故选B．‎ ‎ (2)由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的，得到的几何体如图．设球的半径为R，则πR3－×πR3＝π，解得R＝2.因此它的表面积为×4πR2＋πR2＝17π.故选A．]‎ 空间几何体的体积 ‎(1)在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(　　)‎ ‎ A．　　　　 B． ‎ ‎ C．　　　　 D．2π ‎ (2)(2017·全国卷Ⅱ)‎ 如图727，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为(　　)‎ 图727‎ ‎ A．90π B．63π ‎ C．42π D．36π ‎ (1)C　(2)B　[(1)过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥而得到的，如图所示．‎ ‎ 由于V圆柱＝π·AB2·BC＝π×12×2＝2π，‎ ‎ V圆锥＝π·CE2·DE＝π·12×(2－1)＝，‎ ‎ 所以该几何体的体积V＝V圆柱－V圆锥＝2π－＝.‎ ‎ (2)法一：(割补法)如图所示，由几何体的三视图，可知该几何体是一个圆柱被截去上面虚线部分所得．‎ ‎ 将圆柱补全，并将圆柱体从点A处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的，所以该几何体的体积 V＝π×32×4＋π×32×6×＝63π.‎ ‎ 故选B．‎ ‎ 法二：(估值法)由题意，知V圆柱＜V几何体＜V圆柱．又V圆柱＝π×32×10＝90π，∴45π＜V几何体＜90π.观察选项可知只有63π符合．‎ ‎ 故选B．]‎ ‎ [规律方法]　　1.若所给定的几何体是柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．‎ ‎ 2．若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法(转换的原则是使底面面积和高易求)、分割法、补形法等方法进行求解．‎ ‎ 3．若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．‎ ‎[变式训练2]　(1)(2018·唐山模拟)一个几何体的三视图如图728所示，则其体积为(　　)‎ 图728‎ ‎ A．π＋2 B．2π＋4‎ ‎ C．π＋4 D．2π＋2‎ ‎ (2)(2016·天津高考)已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图729所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为________m3. ‎ ‎【导学号：79170235】‎ 图729‎ ‎ (1)A　(2)2　[(1)该几何体为组合体，左边为三棱柱，右边为半圆柱，其体积V＝×2×1×2＋π×12×2＝2＋π.故选A．‎ ‎ (2)由三视图知，四棱锥的高为3，底面平行四边形的一边长为2，对应高为1，所以其体积V＝Sh＝×2×1×3＝2.]‎ 多面体与球的切、接问题 ‎　(2016·全国卷Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABCA1B‎1C1内有一个体积为V的球．‎ ‎ 若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是(　　)‎ ‎ A．4π　　　　 B．　　　　‎ ‎ C．6π　　　　 D. ‎ B　[由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10，要使球的体积V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC的内切圆的半径为r.则×6×8＝×(6＋8＋10)·r，则r＝2.‎ ‎ 此时2r＝4＞3，不合题意．‎ ‎ 因此球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R最大．‎ ‎ 由2R＝3，即R＝.‎ ‎ 故球的最大体积V＝πR3＝π.]‎ ‎[母题探究1]　若本例中的条件变为“直三棱柱ABCA1B‎1C1的6个顶点都在球O的球面上”，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，求球O的表面积．‎ ‎ [解]　将直三棱柱补形为长方体ABECA1B1E‎1C1，‎ ‎ 则球O是长方体ABECA1B1E‎1C1的外接球，‎ ‎ 所以体对角线BC1的长为球O的直径．‎ ‎ 因此2R＝＝13，‎ ‎ 故S球＝4πR2＝169π.‎ ‎[母题探究2]　若本例中的条件变为“正四棱锥的顶点都在球O的球面上”，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的体积．‎ ‎ [解]　如图，设球心为O，半径为r，‎ ‎ 则在Rt△AFO中，(4－r)2＋()2＝r2，解得r＝，‎ ‎ 则球O的体积V球＝πr3＝π×3＝.‎ ‎ [规律方法]　　1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．‎ ‎ 2．若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．‎ ‎[变式训练3]　(1)(2015·全国卷Ⅱ)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为(　　)‎ ‎ A．36π B．64π ‎ ‎ C．144π D．256π ‎ (2)(2017·全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(　　) 【导学号：79170236】‎ ‎ A．π B． ‎ C． D． ‎ (1)C　(2)B　[(1)如图，设球的半径为R，∵∠AOB＝90°，‎ ‎ ∴S△AOB＝R2.‎ ‎ ∵VOABC＝VCAOB，而△AOB面积为定值，‎ ‎ ∴当点C到平面AOB的距离最大时，VOABC最大，‎ ‎ ∴当C为与球的大圆面AOB垂直的直径的端点时，体积VOABC最大为×R2×R＝36，‎ ‎ ∴R＝6，∴球O的表面积为4πR2＝4π×62＝144π.‎ ‎ 故选C．‎ ‎ (2)设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，且R＝1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r，R及圆柱的高的一半构成直角三角形．‎ ‎ ∴r＝＝.‎ ‎ ∴圆柱的体积为V＝πr2h＝π×1＝.‎ ‎ 故选B．]‎