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- 2021-06-30 发布
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2018-2019 学年吉林省实验中学高一下学期期末考试数学(文科)试题
第Ⅰ卷(满分 60 分)
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分;在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的)
1.若直线经过 (1,0), (2, 3)A B 两点,则直线 AB 的倾斜角是 ( )
A.135 B.120 C. 60 D. 45
2.在等差数列 na 中,若 1 2a , 3 5 10a a ,则 7a ( )
A.5 B.8 C.10 D.14
3.圆 2 2 2 0x y x 和圆 2 2 4 0x y y 的公切线个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.若圆锥的高扩大为原来的 3 倍,底面半径缩短为原来的 1
2
,则圆锥的体积( )
A.缩小为原来的 3
4
B.缩小为原来的 2
3
C.扩大为原来的 2 倍 D.不变
5.一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的侧面积为
A.48 B.64 C.80 D.120
6.若函数 f(x)=x+ 1
x-2
(x>2)在 x=a 处取最小值,则 a 等于
A.3 B.1+ 3 C.1+ 2 D.4
7.下列判断中, ,m n 表示两条不同的直线, , , 表示三个不同的平面.
①若 , / /m n ,则 m n ; ②若 , ,则 / / ;
③若 / / , / /m n ,则 / /m n ; ④若 / / , / / ,m ,则 m .
其中正确的判断是 ( )
A.①③ B.②③ C.①④ D.②④
8.在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中,E 为棱 1CC 的中点,则异面直线 AE 与CD 所成角的余
弦值为 ( )
A. 3
2
B. 5
3
C. 1
2
D. 2
3
9.在公比 q为整数的等比数列{ }na 中, nS 是数列{ }na 的前 n 项和,若 1 4 32a a ,
2 3 12a a ,则下列说法错误的是 ( )
A. 2q = B.数列 2nS 是等比数列
C. 8 510S D.数列{lg }na 是公差为 2 的等差数列
10.若 x>0,y>0,且2
x
+1
y
=1,x+2y>m2+7m 恒成立,则实数 m 的取值范围是( )
A.(-8,1) B.(-∞,-8)∪(1,+∞)
C.(-∞,-1)∪(8,+∞) D.(-1,8)
11.已知点 ( 5,0), ( 1, 3)A B ,点 P 是圆 2 2: ( 1) 1C x y 上任意一点,则 PAB 面积
的最大值是 ( )
A.11 B. 23
2
C.13 D. 27
2
12.在平面直角坐标系中,点 ( , )P x y 的坐标满足方程 2 22 0x x y ,点 ( , )Q a b 的坐标
满足方程 2 2 6 8 24 0a b a b ,则 y b
x a
的取值范围是 ( )
A.[ 2,2] B. 4 7 4 7,3 3
C. 13, 3
D. 6 7 6 7,3 3
第Ⅱ卷(满分 90 分)
二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分)
13.已知 ,x y 满足约束条件
5 0
5 0
3
x y
x y
x
,则 3 6z x y 的最大值为 .
14.圆 2 2 5x y 的一条经过点 (1, 2) 的切线方程为 .
15.已知数列 na 的前 n 项和为 nS , 1 1a , 12 1n nS a ,则 nS .
16.在三棱锥 P ABC 中, PA 平面 ABC , ABC 是边长为 2 的正三角形, 4PA ,
则三棱锥 P ABC 的外接球的表面积为 .
三、解答题:(本大题共 6 小题,其中 17 小题 10 分,18-22 小题每小题 12 分;解答应写出
文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分 10 分)直线 l1:ax+2y+6=0 和直线 l2:x+(a-1)y+a2-1=0.
(1)当 l1∥l2 时,求 a 的值;
(2)当 l1⊥l2 时,求 a 的值.
18.(本小题满分 12 分)
(1)已知圆 M 经过 2, 3A 和 2, 5B 两点,若圆心在直线 2 3 0x y 上,求圆 M
的方程;
(2)求过点 1,0A , 3,0B 和 0,1C 的圆 N 的方程.
19.(本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P ABCD 中, PA 平面 ABCD ,底面是棱长
为1的菱形, 60ADC , 2PA , M 是 PB 的中点.
(1)求证: PD //平面 ACM ;
(2)求直线CM 与平面 ABCD 所成角的正切值.
20.(本小题满分 12 分)已知正项等比数列 na 中, 4 81a ,且 2 3,a a 的等差中项为
1 2
3
2 a a .
(1)求数列 na 的通项公式;
(2)若 3 2 1logn nb a ,数列 nb 的前 n 项和为 nS , 数 列
nc 满足 1
4 1n
n
c S
, nT 为数列 nc 的前 n 项 和 , 求
nT .
21.(本小题满分 12 分)建筑公司用8000 万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋
至少12 层、每层 4000 平方米的楼房.初步估计得知,如果将楼房建为 12x x 层,则每
平方米的平均建筑费用为 3000 50Q x x (单位:元).
(1)求楼房每平方米的平均综合费用 f x 的解析式;
(2)为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?每平方米的平均综
合费用最小值是多少?
= + = 购地总费用注:平均综合费用 平均建筑费用 平均购地费用,平均购地费用 建筑总面积.
22.(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系中,已知 ( 1,0)A , (2,0)B ,动点 ( , )M x y 满
足 1
2
MA
MB
,设动点 M 的轨迹为曲线C .
(1)求动点 M 的轨迹方程,并说明曲线C 是什么图形;
(2)过点 (1,2) 的直线 l 与曲线C 交于 ,E F 两点,若 4 5
5EF ,求直线 l 的方程;
(3)设 P 是直线 8 0x y 上的点,过 P 点作曲线C 的切线 ,PG PH ,切点为 ,G H ,
设 ( 2,0)C ,求证:过 , ,G P C 三点的圆必过定点,并求出所有定点的坐标.
吉林省实验中学 2018---2019 学年度下学期
高一年级数学(文科)学科期末考试参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分;在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的.)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B B A C A C D D A B B
第Ⅱ卷
二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分.)
13. 14. 15. 16.
三、解答题:(本大题共 6 小题,其中 17 小题 10 分,18~22 小题每小题 12 分;解答应写出
文字说明,证明过程或演算步骤.)
17.解:
(1)法一:①当 a=1 时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1 与 l2 不平行,故不成立;
②当 a≠1 时,l1:y=-a2x-3,l2:y= 11-ax-(a+1),
由 ,得 或 当 时, 与 重合
法二:A1B2=A2B1,得 a(a-1)=1×2,
由 A1C2≠A2C1,得 a(a2-1)≠1×6,
可得 a=-1,
故当 a=-1 时,l1∥l2
(2)法一:①当 a=1 时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1 与 l2 不垂直,故不成立;
②当 a≠1 时,
l1:y=-a2x-3,l2:y= 11-ax-(a+1),由 · 11-a=-1,得 a=23.
法二:由 A1A2+B1B2=0,得 a+2(a-1)=0,可得 a=23.
18.解:
(1)由点 和点 可得,线段 的中垂线方程为 .
∵圆经过 和 两点,圆心在直线 上,
∴ ,解得 ,即所求圆的圆心 ,
∴半径 ,所求圆 的方程为 ;
(2)设圆 的方程为 ,
∵圆 过点 , 和 ,
∴列方程组得 解得 ,
∴圆 的方程为 .
19.解:
(1) 连接 ,交 于点 ,连接 ,由底面 是棱形,知 是 的中点,
又 是 的中点, // .
又 平面 , 平面
//平面 .
(2)取 中点 ,连接 ,
分别为 的中点,
//
平面 平面
直线 与平面 所成角为
,
.
20.解:
(1)设等比数列 的公比为 ,由题意得 ,解得
,所以 .
(2)由(1)得 , ,
∴ ,
∴ .
21.解:
(1)依题意得,
(2) .
当且仅当 ,即 时上式取“=”.
因此,当 时, 取得最小值 (元).
所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为 层,每平方米的平均综合费
用最小值为 元.
22.解:
(1)由题意得 ,化简可得: ,
所以动点 M 的轨迹方程为 .
曲线 是以 为圆心, 为半径的圆.
(2)①当直线 斜率不存在时, ,不成立;
②当直线 的斜率存在时,设 ,即 ,
圆心 到 的距离为
, 即 ,
解得 或 ,
的方程为 或 .
(3)证明: 在直线 上,则设
为曲线 的圆心,由圆的切线的性质可得 ,
经过 的三点的圆是以 为直径的圆,
则方程为 ,
整理可得 ,
令 ,且 ,
解得 或
则有经过 三点的圆必过定点,所有定点的坐标为 , .