【数学】2021届一轮复习人教A版函数与极限学案 41页

函数与极限 教学目的：‎ 1、 理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。‎ 2、 了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。‎ 3、 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。‎ 4、 掌握基本初等函数的性质及其图形。‎ 5、 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。‎ 6、 掌握极限的性质及四则运算法则。‎ 7、 了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。‎ 8、 理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。‎ 9、 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。‎ ‎10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。‎ 教学重点：‎ 1、 复合函数及分段函数的概念；‎ 2、 基本初等函数的性质及其图形；‎ 3、 极限的概念极限的性质及四则运算法则；‎ 4、 两个重要极限；‎ 5、 无穷小及无穷小的比较；‎ 6、 函数连续性及初等函数的连续性；‎ 7、 区间上连续函数的性质。‎ 教学难点：‎ 1、 分段函数的建立与性质；‎ 2、 左极限与右极限概念及应用；‎ 3、 极限存在的两个准则的应用；‎ 4、 间断点及其分类；‎ 5、 闭区间上连续函数性质的应用。‎ ‎§1. 1 映射与函数 ‎ 一、集合 ‎ 1. 集合概念 ‎ 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. ‎ ‎ 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为aÎM. ‎ ‎ 集合的表示: ‎ ‎ 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. ‎ ‎ 例如A={a, b, c, d, e, f, g}. ‎ ‎ 描述法: 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为 ‎ A={a1, a2, × × ×, an}, ‎ ‎ M={x | x具有性质P }. ‎ ‎ 例如M={(x, y)| x, y为实数, x2+y2=1}. ‎ ‎ 几个数集: ‎ ‎ N表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集. ‎ ‎ N={0, 1, 2, × × ×, n, × × ×}. N+={1, 2, × × ×, n, × × ×}.‎ ‎ R表示所有实数构成的集合, 称为实数集. ‎ ‎ Z表示所有整数构成的集合, 称为整数集. ‎ ‎ Z={× × ×, -n, × × ×, -2, -1, 0, 1, 2, × × ×, n, × × ×}. ‎ ‎ Q表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集. ‎ ‎ ‎ ‎ 子集: 若xÎA, 则必有xÎB, 则称A是B的子集, 记为AÌB(读作A包含于B)或BÉA . ‎ ‎ 如果集合A与集合B互为子集, AÌB且BÌA, 则称集合A与集合B相等, 记作A=B. ‎ ‎ 若AÌB且A¹B, 则称A是B的真子集, 记作AB . 例如, NZQR . ‎ ‎ 不含任何元素的集合称为空集, 记作Æ. 规定空集是任何集合的子集. ‎ ‎ 2. 集合的运算 ‎ 设A、B是两个集合, 由所有属于A或者属于B的元素组成的集合称为A与B的并集(简称并), 记作AÈB, 即 ‎ AÈB={x|xÎA或xÎB}. ‎ ‎ 设A、B是两个集合, 由所有既属于A又属于B的元素组成的集合称为A与B的交集(简称交), 记作AÇB, 即 ‎ AÇB={x|xÎA且xÎB}. ‎ ‎ 设A、B是两个集合, 由所有属于A而不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集(简称差), 记作AB, 即 ‎ AB={x|xÎA且xÏB}. ‎ ‎ 如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I中进行, 所研究的其他集合A都是I的子集. 此时, 我们称集合I为全集或基本集. 称IA为A的余集或补集, 记作AC. ‎ ‎ 集合运算的法则: ‎ ‎ 设A、B、C为任意三个集合, 则 ‎ (1)交换律AÈB=BÈA, AÇB=BÇA; ‎ ‎ (2)结合律 (AÈB)ÈC=AÈ(BÈC), (AÇB)ÇC=AÇ(BÇC); ‎ ‎ (3)分配律 (AÈB)ÇC=(AÇC)È(BÇC), (AÇB)ÈC=(AÈC)Ç(BÈC); ‎ ‎ (4)对偶律 (AÈB)C=AC ÇBC, (AÇB)C=AC ÈBC. ‎ ‎ (AÈB)C=AC ÇBC的证明: ‎ ‎ xÎ(AÈB)CÛxÏAÈBÛxÏA且xÏBÛxÎA C且xÎBC ÛxÎAC ÇBC, 所以(AÈB)C=AC ÇBC. ‎ ‎ 直积(笛卡儿乘积): ‎ ‎ 设A、B是任意两个集合, 在集合A中任意取一个元素x, 在集合B中任意取一个元素y, 组成一个有序对(x, y), 把这样的有序对作为新元素, 它们全体组成的集合称为集合A与集合B的直积, 记为A´B, 即 ‎ A´B={(x, y)|xÎA且yÎB}. ‎ ‎ 例如, R´R={(x, y)| xÎR且yÎR }即为xOy面上全体点的集合, R´R常记作R2. ‎ ‎ 3. 区间和邻域 ‎ ‎ 有限区间: ‎ ‎ 设a1时, y=1+x. ‎ ‎ 例如; ; f(3)=1+3=4. ‎ ‎ 2. 函数的几种特性 ‎ (1)函数的有界性 ‎ 设函数f(x)的定义域为D, 数集XÌD. 如果存在数K1, 使对任一xÎX, 有f(x)£K1, 则称函数f(x)在X上有上界, 而称K1为函数f(x)在X上的一个上界. 图形特点是y=f(x)的图形在直线y=K1的下方. ‎ ‎ 如果存在数K2, 使对任一xÎX, 有f(x)³ K2, 则称函数f(x)在X上有下界, 而称K2为函数f(x)在X上的一个下界. 图形特点是, 函数y=f(x)的图形在直线y=K2的上方. ‎ ‎ 如果存在正数M, 使对任一xÎX, 有| f(x) |£M, 则称函数f(x)在X上有界; 如果这样的M不存在, 则称函数f(x)在X上无界. 图形特点是, 函数y=f(x)的图形在直线y= - M和y = M的之间. ‎ ‎ 函数f(x)无界, 就是说对任何M, 总存在x1ÎX, 使| f(x) | > M. ‎ ‎ 例如 ‎ (1)f(x)=sin x在(-¥, +¥)上是有界的: |sin x|£1. ‎ ‎ (2)函数在开区间(0, 1)内是无上界的. 或者说它在(0, 1)内有下界, 无上界. ‎ ‎ 这是因为, 对于任一M>1, 总有x1: , 使 ‎ , ‎ 所以函数无上界. ‎ ‎ 函数在(1, 2)内是有界的. ‎ ‎ (2)函数的单调性 ‎ 设函数y = f(x)的定义域为D, 区间I ÌD. 如果对于区间I上任意两点x1及x2, 当x1 f(x2), ‎ 则称函数f(x)在区间I上是单调减少的. ‎ ‎ 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数. ‎ ‎ 函数单调性举例: ‎ ‎ 函数y = x2在区间(-¥, 0]上是单调增加的, 在区间[0, +¥)上是单调减少的, 在（-¥, +¥）上不是单调的. ‎ ‎ (3)函数的奇偶性 ‎ 设函数f(x)的定义域D关于原点对称(即若xÎD, 则-xÎD). 如果对于任一xÎD, 有 f(-x) = f(x), ‎ 则称f(x)为偶函数. ‎ ‎ 如果对于任一xÎD, 有 f(-x) = -f(x), ‎ 则称f(x)为奇函数. ‎ ‎ 偶函数的图形关于y轴对称, 奇函数的图形关于原点对称, ‎ ‎ 奇偶函数举例: ‎ ‎ y=x2, y=cos x 都是偶函数. y=x3, y=sin x都是奇函数, y=sin x+cos x是非奇非偶函数. ‎ ‎ (4)函数的周期性 ‎ 设函数f(x)的定义域为D. 如果存在一个正数l , 使得对于任一xÎD有(x±l)ÎD, 且 ‎ f(x+l) = f(x)‎ 则称f(x)为周期函数, l 称为f(x)的周期. ‎ ‎ 周期函数的图形特点: 在函数的定义域内, 每个长度为l 的区间上, 函数的图形有相同的形状. ‎ ‎ 3．反函数与复合函数 反函数: ‎ ‎ 设函数f : D®f(D)是单射, 则它存在逆映射f -1: f(D)®D, 称此映射f -1为函数f的反函数. ‎ ‎ 按此定义, 对每个yÎf(D), 有唯一的xÎD, 使得f(x)=y, 于是有 ‎ f -1(y)=x. ‎ 这就是说, 反函数f -1的对应法则是完全由函数f的对应法则所确定的. ‎ ‎ 一般地, y=f(x), xÎD的反函数记成y=f -1(x), xÎf(D). ‎ ‎ 若f是定义在D上的单调函数, 则f : D®f(D)是单射, 于是f的反函数f -1必定存在, 而且容易证明f -1也是f(D)上的单调函数. ‎ ‎ 相对于反函数y=f -1(x)来说, 原来的函数y=f(x)称为直接函数. 把函数y=f(x)和它的反函数 y=f -1(x)的图形画在同一坐标平面上, 这两个图形关于直线y=x是对称的. 这是因为如果P(a, b)是y=f(x)图形上的点, 则有b=f(a). 按反函数的定义, 有a=f -1(b), 故Q(b, a)是y=f -1(x)图形上的点; 反之, 若Q(b, a)是y=f -1(x)图形上的点, 则P(a, b)是y=f(x)图形上的点. 而P(a, b)与Q(b, a)是关于直线y=x对称的. ‎ ‎ 复合函数: ‎ ‎ 复合函数是复合映射的一种特例, 按照通常函数的记号, 复合函数的概念可如下表述. ‎ ‎ 设函数y=f(u)的定义域为D 1, 函数u=g(x)在D上有定义且g(D)Ì D 1, 则由下式确定的函数 ‎ ‎ y=f[g(x)], xÎD 称为由函数u=g(x)和函数y=f(u)构成的复合函数, 它的定义域为D, 变量u称为中间变量. ‎ ‎ 函数g与函数f构成的复合函数通常记为, 即 ‎ ()=f[g(x)]. ‎ ‎ 与复合映射一样, g与f构成的复合函数的条件是: 是函数g在D上的值域g(D)必须含在f的定义域D f内, 即g(D)ÌD f. 否则, 不能构成复合函数. ‎ ‎ 例如, y=f(u)=arcsin u, 的定义域为[-1, 1], 在上有定义, 且g(D)Ì[-1, 1], 则g与f可构成复合函数 ‎ , xÎD; ‎ 但函数y=arcsin u和函数u=2+x2不能构成复合函数, 这是因为对任xÎR, u=2+x2均不在y=arcsin u的定义域[-1, 1]内. ‎ ‎ 多个函数的复合: ‎ ‎ 4. 函数的运算 ‎ 设函数f(x), g(x)的定义域依次为D 1, D 2, D=D 1ÇD 2¹Æ, 则我们可以定义这两个函数的下列运算: ‎ ‎ 和(差)f ±g : (f ±g)(x)=f(x)±g(x), xÎD; ‎ ‎ 积f ×g : (f ×g)(x)=f(x)×g(x), xÎD;‎ ‎ 商: , xÎD{x|g(x)=0}. ‎ ‎ 例11设函数f(x)的定义域为(-l, l), 证明必存在(-l, l)上的偶函数g(x)及奇函数h(x), 使得 ‎ f(x)=g(x)+h(x). ‎ ‎ 分析 如果f(x)=g(x)+h(x), 则f(-x)=g(x)-h(x), 于是 ‎ , . ‎ ‎ 证 作, , 则 f(x)=g(x)+h(x), ‎ 且 , ‎ ‎ . ‎ ‎ 5. 初等函数 ‎ 基本初等函数: ‎ ‎ 幂函数: y=x m (mÎR是常数); ‎ ‎ 指数函数: y=a x(a>0且a¹1); ‎ ‎ 对数函数: y=loga x (a>0且a¹1, 特别当a=e时, 记为y=ln x);‎ ‎ 三角函数: y=sin x, y=cos x, y=tan x, y=cot x, y=sec x, y=csc x; ‎ ‎ 反三角函数: y=arcsin x, y=arccos x, y=arctan x, y=arccot x . ‎ ‎ 初等函数: ‎ ‎ 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数, 称为初等函数. 例如 ‎ , y=sin2x, ‎ 等都是初等函数. ‎ ‎ 双曲函数: ‎ ‎ 双曲正弦: ; ‎ ‎ 双曲余弦: ; ‎ ‎ 双曲正切: . ‎ ‎ 双曲函数的性质: ‎ ‎ sh(x+y)=sh x×ch y±ch x×sh y; ‎ ‎ ch(x±y)=ch x×ch y±sh x×sh y. ‎ ‎ ch2x-sh2x=1; ‎ ‎ sh2x=2sh x×ch x; ‎ ‎ ch2x=ch2x+sh2x . ‎ ‎ 下面证明 sh(x+y)=sh x×ch y+ch x×sh y: ‎ ‎ ‎ ‎ . ‎ ‎ 反双曲函数: ‎ ‎ 双曲函数y=sh x, y=ch x(x³0), y=th x的反函数依次为 ‎ 反双曲正弦: y=arsh x; ‎ ‎ 反双曲余弦: y=arch x; ‎ ‎ 反双曲正切: y=arth x . ‎ ‎ 反双曲函数的表示达式: ‎ ‎ y=arsh x是x=sh y的反函数, 因此, 从 ‎ ‎ 中解出y来便是arsh x . 令u=e y, 则由上式有 ‎ u 2-2x u-1=0. ‎ 这是关于u的一个二次方程, 它的根为 ‎ . ‎ 因为u=e y>0, 故上式根号前应取正号, 于是 ‎ . ‎ 由于y=ln u, 故得 ‎ . ‎ ‎ 函数y=arsh x的定义域为(-¥, +¥), 它是奇函数, 在区间(-¥, +¥)内为单调增加的. ‎ ‎ 类似地可得 ‎ , . ‎ ‎ ‎ ‎§1. 2 数列的极限 ‎ 一个实际问题:‎ ‎ 如可用渐近的方程法求圆的面积？ ‎ ‎ 设有一圆, 首先作内接正四边形, 它的面积记为A1；再作内接正八边形, 它的面积记为A2；再作内接正十六边形, 它的面积记为A3；如此下去, 每次边数加倍, 一般把内接正8×2n-1边形的面积记为An . 这样就得到一系列内接正多边形的面积:‎ ‎ A1, A2, A3, × × × × × × , An, × × ×‎ 设想n 无限增大（记为n®¥, 读作n 趋于穷大）, 即内接正多边形的边数无限增加, 在这个过程中, 内接正多边形无限接近于圆, 同时An 也无限接近于某一确定的数值, 这个确定的数值就理解为圆的面积. 这个确定的数值在数学上称为上面有次序的数（数列） A1, A2, A3, × × × , An, × × ×当n ®¥时的极限. ‎ ‎ 数列的概念:如果按照某一法则, 使得对任何一个正整数n 有一个确定的数xn , 则得到一列有次序的数 ‎ x1, x2, x3, × × × , xn , × × ×‎ 这一列有次序的数就叫做数列, 记为{xn}, 其中第n 项xn 叫做数列的一般项. ‎ ‎ 数列的例子:‎ ‎ {}: , , , × × × , × × ×; ‎ ‎ {2n}: 2, 4, 8, × × × , 2n , × × ×; ‎ ‎ {}: , , , × × × , , × × × ; ‎ ‎ {(-1)n+1}: 1, -1, 1, × × × , (-1)n+1, × × × ; ‎ ‎ {}: 2, , , × × × , , × × × . ‎ 它们的一般项依次为 , 2n, , (-1)n+1, . ‎ ‎ 数列的几何意义:数列{xn}可以看作数轴上的一个动点, 它依次取数轴上的点x1, x2, x3, × × × , xn , × × ×. ‎ ‎ 数列与函数:数列{xn}可以看作自变量为正整数n 的函数:‎ ‎ xn=f (n), ‎ 它的定义域是全体正整数. ‎ ‎ 数列的极限:‎ ‎ 数列的极限的通俗定义：对于数列{xn}, 如果当n 无限增大时, 数列的一般项xn无限地接近于某一确定的数值a, 则称常数a 是数列{xn}的极限, 或称数列{xn}收敛a . 记为. 如果数列没有极限, 就说数列是发散的. ‎ ‎ 例如 ‎ ,, ; ‎ 而{2n}, { (-1)n+1}, 是发散的. ‎ ‎ 对无限接近的刻划:‎ ‎ xn无限接近于a 等价于|xn-a |无限接近于0, ‎ ‎ 极限的精确定义:‎ ‎ 定义 如果数列{xn}与常a 有下列关系:对于任意给定的正数e (不论它多么小), 总存在正整数N , 使得对于n >N 时的一切xn, 不等式 ‎ |xn-a |0, $NÎN+, 当n>N时, 有|xn-a|0, 要使|xn-1|0, $ÎN+, 当n>N时, 有 ‎ |xn-1|=, ‎ 所以. ‎ ‎ 例2. 证明. ‎ ‎ 分析: |xn-0|.‎ ‎ 对于"e >0, 要使|xn-0|0, $ÎN+, 当n>N时, 有 ‎|xn-0|=,‎ 所以. ‎ ‎ 例3. 设|q |<1, 证明等比数列 ‎ 1, q , q2, × × × , qn-1, × × ×‎ 的极限是0. ‎ ‎ 分析: 对于任意给定的e >0, 要使 ‎ |x n-0|=| qn-1-0|=|q| n-1log|q|e +1就可以了, ‎ 故可取N=[log|q|e +1]。‎ 证明: 因为对于任意给定的e >0, 存在N=[ log|q|e +1], ‎ 当n>N时, 有 ‎ | qn-1-0|=|q| n-10, 存在充分大的正整数N, ‎ 使当n>N时, 同时有 ‎|xn-a|< 及|xn-b|<, ‎ 因此同时有 ‎ 及,‎ 这是不可能的. 所以只能有a=b. ‎ 数列的有界性: ‎ ‎ 对于数列{xn}，如果存在着正数M，使得对一切xn都满足 不等式 ‎ |xn|£M,‎ 则称数列{xn}是有界的; 如果这样的正数M不存在，就说数列 ‎{xn}是无界的 ‎ 定理2(收敛数列的有界性) 如果数列{xn}收敛, 那么数列{xn}一定有界. ‎ ‎ 证明: 设数列{xn}收敛, 且收敛于a, 根据数列极限的定义, 对于e =1, 存在正整数N, 使对于n>N 时的一切xn , 不等式 ‎|xn-a|N时, ‎ ‎ |xn|=|(xn -a)+a| £| xn-a|+|a|<1+|a|.‎ 取M=max{|x 1|, |x 2|, × × ×, |x N |, 1+| a |}, 那么数列{xn}中的一切xn都满足不等式|xn|£ M.‎ 这就证明了数列{xn}是有界的. ‎ ‎ 定理3收敛数列的保号性) 如果数列{xn}收敛于a, 且a>0(或a<0), 那么存在正整数N, 当n>N时, 有xn>0(或xn<0).‎ ‎ 证 就a>0的情形证明. 由数列极限的定义, 对, $NÎN+, 当n>N时, 有 ‎,‎ 从而 ‎.‎ ‎ 推论 如果数列{xn}从某项起有xn³0(或xn£0), 且数列{xn}收敛于a, 那么a³0(或a£0).‎ ‎ 证明 就xn³0情形证明. 设数列{xn}从N1项起, 即当n>N 1时有xn³0. 现在用反证法证明, 或a<0, 则由定理3知, $N 2ÎN+, 当n> N 2时, 有xn<0. 取N=max{ N 1, N 2 }, 当n>N时, 按假定有x n ³0, 按定理3有x n<0, 这引起矛盾. 所以必有a ³0. ‎ ‎ 子数列: 在数列{xn}中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序, 这样得到的一个数列称为原数列{xn}的子数列.‎ ‎ 例如, 数列{xn}: 1, -1, 1, -1, × × ×, (-1)n+1× × ×的一子数列为{x2n}: -1, -1, -1, × × ×, (-1)2n+1× × × 定理3(收敛数列与其子数列间的关系) 如果数列{xn}收敛于a, 那么它的任一子数列也收敛, 且极限也是a . ‎ ‎ 证明: 设数列是数列{xn}的任一子数列. ‎ ‎ 因为数列 ‎{xn}收敛于a, 所以" e >0, $NÎ N+, ‎ 当n>N 时, 有|xn-a|K时, nk³k>K=N. 于是|-a|N时, 有|xn-a|0, $d>0, 当0<|x-x0|0, 可任取 d>0 , ‎ 当0<|x-x0|0, 要使|f(x)-A|0, $d =e , 当0<|x-x0|0, 要使|f(x)-A|0, $d=e /2, 当0<|x-1|0, 要使|f(x)-A|0, $d=e , 当0<|x-1|0, $d >0, "x: x0-d0, $d >0, "x: x0X时, 对应的函数数值f(x)都满足不等式 ‎|f(x)-A|0, $X>0, 当|x|>X时, 有|f(x)-A|0, 要使|f(x)-A|0, $, 当|x|>X时, 有, ‎ 所以.‎ ‎ 直线y=0 是函数的水平渐近线. ‎ ‎ 一般地, 如果, 则直线y=c称为函数y=f(x)的图形的水平渐近线. ‎ ‎ 二、函数极限的性质 ‎ 定理1(函数极限的唯一性)‎ ‎ 如果极限存在, 那么这极限唯一. ‎ ‎ 定理2(函数极限的局部有界性) ‎ ‎ 如果f(x)®A(x®x0), 那么存在常数M>0和d, 使得当0<|x-x0|0, 当0<|x-x0|0(或A<0), 那么存在常数d>0, 使当0<|x-x0|0(或f(x)<0). ‎ ‎ 证明: 就A>0的情形证明. ‎ ‎ 因为, 所以对于, $d >0, 当0<|x-x0|0. ‎ ‎ 定理3¢ ‎ ‎ 如果f(x)®A(x®x0)(A¹0), 那么存在点x0的某一去心邻域, 在该邻域内, 有. ‎ ‎ 推论 如果在x0的某一去心邻域内f(x)³0(或f(x)£0), 而且f(x)®A(x®x0), 那么A³0(或A£0). ‎ ‎ 证明: 设f(x)³0. 假设上述论断不成立, 即设A<0, 那么由定理1就有x0的某一去心邻域, 在该邻域内 f(x)<0, 这与f(x)³0的假定矛盾. 所以A³0. ‎ ‎ 定理4(函数极限与数列极限的关系) ‎ ‎ 如果当x®x0时f(x)的极限存在, {xn}为f(x)的定义域内任一收敛于x0的数列, 且满足xn ¹x0(nÎN+), 那么相应的函数值数列{f(x n)}必收敛, 且 ‎ . ‎ ‎ 证明 设f(x)®A(x®x0), 则"e >0, $d >0, 当0<|x-x0|0, $NÎN+, 当n>N时, 有|xn-x0|N时, 0<|x n-x 0|0 , $ d >0, 使当0<|x-x0|0 , $ d >0, 使当0<|x-x0|0 , $ d >0, 使当0<|x-x0|0 , $ d >0, 使当0<|x-x0|0, $d >0, 当0<|x-|M.‎ ‎ 正无穷大与负无穷大:‎ ‎ , .‎ ‎ 例2 证明. ‎ ‎ 证 因为"M>0, $, 当0<|x-1|0, 当0<|x-|0,当0<|x-|0, $d >0, ‎ 当0<|x- x0|0, $d >0,当0<|x- x0|M, 即, 所以f(x)®0(x®x0).‎ ‎ §1. 6 极限运算法则 ‎ 定理1 有限个无穷小的和也是无穷小. ‎ ‎ 例如, 当x®0时, x与sin x都是无穷小, x+sin x也是无穷小.‎ ‎ 简要证明: 设a及b是当x®x0时的两个无穷小, 则"e >0, $d1>0及d2>0, 使当0<|x-x0|0. 因为a 是当x®x0时的无穷小, 对于>0存在着d1>0, 当0<|x-x0|0存在着d2>0, 当0<|x-x0|0, 使当0<|x-x0|0. 存在d2 >0, 使当0<|x-x0|0, $d>0, 当0<|x-x0|0, $h>0, 当0<|u-u0|0, $d1>0, 当0<|x-x0|0, $N 1>0, 当n>N 1时, 有 ‎|y n-a|0, 当n>N 2时, 有|z n-a|N 时, 有 ‎|y n-a|N 时, 有 a-e0, $N >0, 当n>N 时, 有 ‎ |y n-a|M时有定义, ‎ 准则I 及准则I¢ 称为夹逼准则. ‎ ‎ 下面根据准则I¢证明第一个重要极限: . ‎ ‎ 证明 首先注意到, 函数对于一切x¹0都有定义. 参看附图: 图中的圆为单位圆, BC^OA, DA^OA. 圆心角ÐAOB=x (00, $d>0, 当0<|x-x0|0, $h>0, 当|u-u0|0, $d>0, 当0<|x-x0|0, a ¹1)对于一切实数x都有定义,且在区间(-¥, +¥)内是单调的和连续的, 它的值域为(0, +¥).‎ ‎ 由定理4, 对数函数log ax (a>0, a ¹1)作为指数函数ax的反函数在区间(0, +¥)内单调且连续.‎ ‎ 幂函数y=xm 的定义域随m的值而异, 但无论m为何值, 在区间(0, +¥)内幂函数总是有定义的.可以证明, 在区间(0, +¥)内幂函数是连续的. 事实上, 设x>0, 则 y=xm=, 因此, 幂函数xm可看作是由y=au, u=mlogax 复合而成的, 由此, 根据定理6, 它在(0, +¥)内是连续的.如果对于m取各种不同值加以分别讨论, 可以证明幂函数在它的定义域内是连续的.‎ ‎ 结论: 基本初等函数在它们的定义域内都是连续的.‎ ‎ 最后, 根据初等函数的定义, 由基本初等函数的连续性以及本节有关定理可得下列重要结论:一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 所谓定义区间, 就是包含在定义域内的区间.‎ ‎ 初等函数的连续性在求函数极限中的应用:‎ ‎ 如果f(x)是初等函数, 且x0是f(x)的定义区间内的点,‎ 则f(x)=f(x0).‎ ‎ 例5. 求. ‎ ‎ 解: 初等函数f(x)=在点是有定义的, ‎ 所以 .‎ ‎ 例6. 求. ‎ ‎ 解: 初等函数f(x)=ln sin x在点是有定义的, ‎ 所以 .‎ ‎ 例7. 求.‎ ‎ 解: ‎ ‎ .‎ ‎ 例8. 求.‎ ‎ 解: .‎ ‎ 例9. 求.‎ ‎ 解: 令a x -1=t, 则x=log a (1+t), x ®0时t ®0, 于是 ‎ =.‎ ‎ §1. 10 闭区间上连续函数的性质 ‎ 一、最大值与最小值 ‎ ‎ 最大值与最小值: 对于在区间I上有定义的函数f(x), 如果有x0ÎI, 使得对于任一xÎI都有 f(x)£f(x0 ) (f(x)³f(x0 )), ‎ 则称f(x0 )是函数f(x)在区间I上的最大值（最小值）. ‎ ‎ 例如, 函数f(x)=1+sin x在区间[0, 2p]上有最大值2和最小值0. 又如, 函数f(x)=sgn x 在区间(-¥, +¥)内有最大值 1和最小值-1. 在开区间(0, +¥)内, sgn x的最大值和最小值都是1. 但函数f(x)=x在开区间(a, b)内既无最大值又无最小值. ‎ ‎ 定理1（最大值和最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值. ‎ ‎ 定理1说明, 如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续, 那么至少有一点x1Î[a, b], 使f(x1)是f(x)在[a, b]上的最大值, 又至少有一点x 2Î[a, b], 使f(x 2)是f(x)在[a, b]上的最小值. ‎ ‎ 注意: 如果函数在开区间内连续, 或函数在闭区间上有间断点, 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值. ‎ ‎ 例: 在开区间(a, b) 考察函数y=x. ‎ ‎ 又如, 如图所示的函数在闭区间[0, 2]上无最大值和最小值.‎ . ‎ ‎ 定理2（有界性定理）在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界. ‎ ‎ 证明: ‎ ‎ 二、介值定理 ‎ 零点: 如果x0 使f(x0 )=0, 则x0 称为函数f(x)的零点. ‎ ‎ 定理3（零点定理）设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续, 且f(a)与f(b)异号, 那么在开区间(a, b)内至少有一点x 使f(x)=0.‎ ‎ 定理4（介值定理）设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续, 且在这区间的端点取不同的函数值 f(a)=A及f(b)=B,‎ 那么, 对于A与B之间的任意一个数C, 在开区间(a, b)内至少有一点x , 使得 f(x)=C .‎ ‎ 定理4¢（介值定理）设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续, 且f(a)¹f(b), 那么, 对于f(a)与f(b)之间的任意一个数C, 在开区间(a, b)内至少有一点x , 使得 f(x)=C .‎ ‎ 证: 设j(x)=f(x)-C, 则j(x)在闭区间[a, b]上连续, 且j(a)=A-C与j(b)=B-C异号. 根据零点定理, 在开区间(a, b)内至少有一点x 使得 j(x)=0 (a0, f(1)=-2<0. ‎ 根据零点定理, 在(0, 1)内至少有一点x , 使得f(x)=0, 即 x 3-4x 2+1=0 (0