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- 2021-06-30 发布
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高考数学热点难点突破技巧第04讲:
导数中不等式的证明问题的处理
【知识要点】
导数中不等式的证明,是历年高考的热点、重点和难点,但是还是有章可循的.常用的方法有:直接求函数的最值、构造函数求函数的最值、构造函数不等式、比较两边函数最值等.
【方法讲评】
方法一
直接求函数的最值
使用情景
恒成立或恒成立
解题步骤
一般先求函数最小(大)值,再证明或.
【例1】已知函数.
(Ⅰ)讨论函数的极值点的个数;
(Ⅱ)若有两个极值点,证明:.
(ⅰ)时, ,
所以取得极小值, 是的一个极小值点.
(ⅱ)时,即时,令,得
显然,,所以
在取得极小值,有一个极小值点.
(ⅲ)时,时,即时,,在是减函数,无极值点.
当时,,令,得
当和时,时,,所以在取得极小值,在取得极大值,所以有两个极值点.
综上可知:(ⅰ)时,仅有一个极值点; (ⅱ) 当时,无极值点;(ⅲ)当时,有两个极值点.
设 ,
所以时,是减函数,,则
所以得证.
【点评】本题的第(2)问就是证明,所以要构造函
,,再利用导数求函数的单调性和最小值即可.学、 ‘’
【例2】(2016年全国Ⅱ高考)
(Ⅰ)讨论函数的单调性,并证明当时,;
(Ⅱ)证明:当时,函数有最小值.设的最小值为,求函数的值域.
【解析】⑴证明:
∵当时,
∴在上单调递增 ∴时,
∴
∴.
【点评】(1)本题第一问证明不等式,要证明函数,不是很方便.要注意观察,当时,,所以可以把不等式的两边同时除以,得,即证明函数.(2)我们在解答题目时,要注意观察题目,寻找它们之间的内部联系,从而找到解题途径.
【反馈检测1】【2017课标3,文21】已知函数
(1)讨论的单调性;(2)当a﹤0时,证明.
【反馈检测2】(2016年全国高考III卷)设函数.
(I)讨论的单调性;(II)证明当时,;
(III)设,证明当时,.
方法二 :Z,xx,k.Com]
构造函数求最值
使用情景
恒成立或恒成立
解题步骤
转化成证明
【例3】已知是自然对数的底数,.
(1)求曲线在点处的切线方程;(2)当时, 求证:.
(2)设,则.设,
则在内单调递增,
当时,. 即,时,.
当时, 在内单调递增. 当,时,, 即
【点评】(1)本题第2问证明,不能理解为左边函数的最小值不大于右边函数的最大值,因为不等式两边的自变量都是,所以它表示当两个函数取相同的自变量时,总是有.(2)这种问题,只好构造函数,求函数的单调性,求函数的最小值,再证明. (3)在本质上,这种方法和第一种方法是一样的,都是转化成函数的最值.学 -
【反馈检测3】已知函数,其中为常数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若存在两个极值点,求证:无论实数取什么值都有
.
【反馈检测4】已知函数 .
(Ⅰ)讨论的单调性;(Ⅱ)设,证明:当时, ;
(Ⅲ)设是的两个零点,证明 .
方法三
构造函数不等式
使用情景
一般与数列求和和数列不等式证明有关.
解题步骤
一般先观察证明的不等式和已知或前面的结论,构造一个函数不等式,再给赋值,得到一个与有关的不等式,再把这个不等式作为通项,对不等式求和,再分析解答.
【例4】已知函数.
(1)讨论的单调性与极值点;(2)若,证明:当时, 的图象恒在的图象上方;(3)证明:.
【解析】(1),
当时,在上恒成立,
所以在单调递增,此时无极值点.
当时,,在上的变化情况如下表:
1
+
-
+
递增
极大值
递减
极小值
递增
由此表可知在和上单调递增,在上单调递减.
为极大值点,为极小值点.
(3)由(2)知,即,∵,∴,
令,则,∴
∴
∴不等式成立.
【点评】(1)本题如果利用第二种方法,构造函数求最值,比较困难,不是很适宜,因为这个函数很复杂. (2)注意观察左边函数是数列的求和,只能把左边数列的通项先进行放缩,才能求和. 怎么放缩,只能利用前面的条件构造一个恰当的不等式,再给赋值把数列的通项进行放缩,再对不等式求和,从而达到解题目标.学
【反馈检测5】设,曲线在点处的切线与直线垂
直.
(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若对于任意的,恒成立,求的取值范围;
(Ⅲ)求证:.
【反馈检测6】已知函数
(1)当时,求的单调递减区间;(2)若当时,恒成立,求的取值范围;
(3)求证:
方法四
比较两边函数的最值
使用情景
或,但是不宜按照方法二构造函数求最值.
解题步骤
证明
【例5】已知函数.
(1)判断函数的单调性; (2)求证:当时,.
【解析】(1)由题得,.
令,则.
当时,,在区间上单调递增;
当时,,在区间上单调递减.
∴在处取得唯一的极小值,即为最小值.即,∴,
∵,∴.∴,即在区间上是减函数.
∴时,.
∴,即.
【点评】本题就是证明,因为证明比较困难.到底选方法二还是方法四,需要大家自己去观察分析,熟练生巧.
【反馈检测7】已知.
(Ⅰ)对一切恒成立,求实数的取值范围;
(Ⅱ)当时,求函数在区间上的最值;
(Ⅲ)证明:对一切,都有成立.
高考数学热点难点突破技巧第04讲:
导数中不等式的证明问题的处理参考答案
【反馈检测1答案】(1)当时,在单调递增;当时,在单调递增,在单调递减;(2)详见解析.
(2)由(1)知,当a<0时,在取得最大值,最大值为.
所以等价于,即
设,则
当x∈(0,1)时,;当x∈(1,+)时,.所以在(0,1)单调递增,在(1,+)单调递减.故当x=1时,取得最大值,最大值为g(1)=0.所以当x>0时,≤0,.从而当a<0时,,即.学// -+
【反馈检测2答案】(I)见解析;(2)见解析;(3)见解析.
【反馈检测2详细解析】(1)由题设,的定义域为,令
当时,,单调递增;当时,,单调递减.
(2)由(1)知,在处取得最大值,最大值为. 所以当时,.
故当
(3)由题设,设,则.
当时,,单调递增;当时,,单调递减.
由(2)知,,故,又,故当时,.
所以当时,.
【反馈检测3详细解析】(1)函数的定义域为.
记,判别式.
①当即时,恒成立,,所以在区间上单调递增.
②当时,方程有两个不同的实数根,记,,显然.学 ·
(ⅰ)若,图象的对称轴,.
两根在区间上,可知当时函数单调递增,,所以,所以在区间上递增.
(ⅱ)若,则图象的对称轴,.,所以,当时,,所以,所以在上单调递减.当
或时,,所以,所以在上单调递增.
综上,当时,在区间上单调递增;当时,在上单调递减,在,上单调递增.
(2)由(1)知当时,没有极值点,当时,有两个极值点,且
,
记
所以在时单调递增,
所以,所以.
【反馈检测4详细解析】(Ⅰ)的定义域为 ,
求导数,得,
若 ,则,此时在上单调递增,
若,则由得,当时, ,当时, ,
此时在上单调递减,在上单调递增.
(Ⅱ)令,则
.
求导数,得 ,
当时,,在上是减函数. 而,
,
故当时,
由(Ⅱ)得,从而,于是,
由(Ⅰ)知, .学
【反馈检测5答案】(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)详见解析.
【反馈检测5详细解析】
(Ⅰ)
由题设,∴ .
(Ⅱ),,,即
设,即.
①若,,这与题设矛盾
②若当,单调递增,,与题设矛盾.
③若当,单调递减,,即不等式成立
综上所述, .
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当时, 时, 成立.
不妨令所以,
…………
累加可得
【反馈检测6答案】(1), (2)(3)详见解析.
(3)由(2)知,
取得,即
即.
【反馈检测7答案】(Ⅰ);(Ⅱ)时,,当时,
;(Ⅲ)证明见解析. :学 ]
【反馈检测7详细解析】
(Ⅰ)对一切恒成立,即恒成立. 也就是在上恒成立.令,则
. 时,,时,. 因此在处取极小值,也是最小值,即,所以.学
当时,,因此在上单调递增,故,.
(Ⅲ)问题等价于证明,. 由(Ⅱ)知时,的最小值是,当且仅当时取等号. 设,则,易知,当且仅当时取到. 从而可知对一切,都有.