【数学】河北省武邑中学2020届高三下学期线上期中考试（理） 19页

河北省武邑中学2020届高三下学期线上期中考试（理）‎ 注意事项：‎ ‎1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和II卷（非选择题）两部分，满分分，考试时间分钟。‎ ‎2．答题前请仔细阅读答题卡（纸）上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题。‎ ‎3．选择题答案涂在答题卡上，非选择题答案写在答题卡上相应位置，在试卷和草稿纸上作答无效。‎ 第Ⅰ卷 选择题（共60分）‎ 一.选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求,将正确答案填涂在答题卡上。‎ ‎1．已知集合，．若，则实数 A． B． C． D．‎ ‎2．设复数满足（为虚数单位），在复平面内对应的点为（，），则 A. B. C. D. ‎ ‎3．已知两个单位向量，若，则的夹角为 A． B． C． D．‎ ‎4．某学校拟从甲、乙等5位同学中随机选派3人去参加国防教育活动，则甲、乙均被选中的概率为 A. B. C. D. ‎5．已知点满足不等式，点是函数的图像上任意一点，则两点P，Q之间距离的最小值为 A． B． C．4 D．‎ ‎6．若，则 A． B． C． D．‎ ‎7．若，则 A． B． C．或 D．或 ‎8. 若函数的图象向右平移个单位得到的图象对应的函数为，则下列说法正确的是 A. 的图象关于对称 ‎ B. 在上有2个零点 C. 在区间上单调递减 ‎ D. 在上的值域为 ‎9. “角谷定理”的内容为对于每一个正整数.如果它是奇数.则对它乘3再加1,如果它是偶数.则对它除以2,如此循环,最终都能够得到1.右图为研究角谷定理的一个程序框图.若输入n的值为10.则输出i的值为 A.5 B‎.6 ‎ C.7 D.8‎ ‎10．已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，点P为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，I为的内心，且，若椭圆的离心率为e，则 A. B. C.e D.‎ ‎11．已知双曲线的一条渐近线方程为，是上关于原点对称的两点，是上异于的动点，直线的斜率分别为，若，则的取值范围为 A． B． C． D．‎ ‎12．若函数有极值点，则实数的取值范围是 A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷 非选择题（共90分）‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡上相应位置。‎ ‎13．已知函数f(x)=ae+x+b,若函数f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y=2x+3,则ab的值为______.‎ ‎14．展开式中x的系数为______.‎ ‎15．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线，它是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．如图中的两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率为______．‎ ‎16．平行四边形中，是腰长为2的等腰直角三角形，，现将沿 折起，使二面角大小为，若A，B，C，D四点在同一球面上，则该球的表面积为______.‎ 三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（本小题满分12分）数列 ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）若数列 ‎18．（本小题满分12分）如图，三棱锥 P - ABC 中，平面 PAB ^ 平面 ABC ， PA = PB ，‎ ÐAPB = ÐACB = 90o ，点 E, F 分别是棱 AB, PB 的中点，点G 是△ BCE 的重心．‎ ‎（1）证明： GF / / 平面 PAC ；‎ ‎（2）若GF 与平面 ABC 所成的角为60o ，求二面角B-AP-C的余弦值.‎ ‎19．（本小题满分12分）已知点P到直线y＝﹣3的距离比点P到点A（0，1）的距离多2．‎ ‎（1）求点P的轨迹方程；‎ ‎（2）经过点Q（0，2）的动直线l与点P的轨迹交于M，N两点，是否存在定点R使得∠MRQ＝∠NRQ？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎20．（本小题满分12分）华北“一票通”景区旅游年卡，是由衡水市旅游局策划，由市某旅游公司推出的一项惠民工程.持有旅游年卡一年内可不限次畅游华北19家签约景区.为了解市民每年旅游消费支出情况（单位：百元），相关部门对已游览某签约景区的游客进行随机问卷调查，并把得到的数据列成如下所示的频数分布表：‎ 组别 频数 ‎10‎ ‎390‎ ‎400‎ ‎188‎ ‎12‎ ‎（1）求所得样本的中位数（精确到百元）；‎ ‎（2）根据样本数据，可近似地认为市民的旅游费用支出服从正态分布.若该市总人口为450万人，试估计有多少市民每年旅游费用支出在7500元以上；‎ ‎（3）若年旅游消费支出在40（百元）以上的游客一年内会继续来该景点游玩.现从游客中随机抽取3人，一年内继续来该景点游玩记2分，不来该景点游玩记1分.将上述调查所得的频率视为概率，且游客之间的选择意愿相互独立.记总得分为随机变量X，求X的分布列与数学期望.‎ 附：若，则，‎ ‎，‎ ‎21．（本小题满分12分）已知函数.‎ ‎（1）求的最大值；‎ ‎（2）若恒成立，求实数b的取值范围.‎ 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。‎ ‎22．(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程 已知直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点为上的任意一点，求到距离的取值范围．‎ ‎23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数（），不等式的解集为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，，，且，求的最大值.‎ 参考答案 第Ⅰ卷 选择题（共60分）‎ 一. 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只 有一项符合题目要求,将正确答案填涂在答题卡上。‎ ‎1．已知集合，．若，则实数 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C．‎ ‎【解析】因为，所以直线与直线平行，所以.故选C.‎ ‎2．设复数满足（为虚数单位），在复平面内对应的点为（，），则（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设，∵，∴，‎ 即，化简得．‎ 故选：B.‎ ‎3．已知两个单位向量，若，则的夹角为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B．‎ ‎【解析】因为，所以，所以，‎ 所以，又因为，所以，故选B.‎ ‎4．某学校拟从甲、乙等5位同学中随机选派3人去参加国防教育活动，则甲、乙均被选中的概率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D　‎ ‎【解析】所求概率为＝，故选D.‎ ‎5．已知点满足不等式，点是函数的图像上任意一点，则两点P，Q之间距离的最小值为（ ）‎ A． B． C．4 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图所示，点P在平面区域内任一点P，点Q在半圆上，‎ 过点O作直线的垂线，垂足为P，交半圆于Q，此时取最小值，‎ 求得.‎ ‎6．若，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B．‎ ‎【解析】，，‎ 所以，，故.故选B.‎ ‎7．若，则 A． B． C．或 D．或 ‎【答案】D．‎ ‎【解析】由得,所以,‎ 所以或,故或.故选D.‎ ‎8. 若函数的图象向右平移个单位得到的图象对应的函数为，则下列说法正确的是（ ）‎ A. 的图象关于对称 B. 在上有2个零点 C. 在区间上单调递减 D. 在上的值域为 ‎【答案】B ‎【解析】由题意，‎ 不是函数的最值，不是对称轴，A错；‎ 由，，，其中是上的零点，B正确；‎ 由得，，‎ 因此在是递减，在上递增，C错；‎ 时，，，D错．‎ 故选：B．‎ ‎9.‎ ‎ “角谷定理”的内容为对于每一个正整数.如果它是奇数.则对它乘3再加1,如果它是偶数.则对它除以2,如此循环,最终都能够得到1.右图为研究角谷定理的一个程序框图.若输入n的值为10.则输出i的值为 A.5 B‎.6 ‎ C.7 D.8‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎10．已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，点P为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，I为的内心，且，若椭圆的离心率为e，则（ ）‎ A. B. C.e D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】设内切圆的半径为r 则，，.‎ ‎，‎ 整理得，∵P为椭圆上的点，，解得.‎ 故选：A ‎11．已知双曲线的一条渐近线方程为，是上关于原点对称的两点，是上异于的动点，直线的斜率分别为，若，则的取值范围为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A．‎ ‎【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为，∴，‎ 则双曲线的方程为：,‎ 设，，则,所以 ‎，‎ 即，∵，∴.故选A.‎ ‎12．若函数有极值点，则实数的取值范围是 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 第Ⅱ卷 非选择题（共90分）‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡上相应位置。‎ ‎13．已知函数f(x)=ae+x+b,若函数f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y=2x+3,则ab的值为______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎14．展开式中x的系数为______.‎ ‎【答案】56‎ ‎【解析】‎ ‎15．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线，它是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．如图中的两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率为______．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】设图中的小的勒洛三角形所对应的等边三角形的边长为，则小勒洛三角形的面积为，因为大小两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为，所以大勒洛三角形的面积为，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率为．‎ ‎16．平行四边形中，是腰长为2的等腰直角三角形，，现将沿 折起，使二面角大小为，若A，B，C，D四点在同一球面上，则该球的表面积为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，取，的中点分别为，，‎ 过作面的垂线与过作面的垂线，‎ 两垂线交点O即为所求外接球的球心，‎ 取中点E，连结，，‎ 则即为二面角的平面角，‎ 又由，连接，‎ 在中，则，在中，，得，‎ 即球半径为，所以球面积为 ‎.‎ 三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（本小题满分12分）数列 ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）若数列 ‎【解】‎ ‎6分 ‎ ………………………7分 ‎9分 ‎……………10分 ‎………………………12分 ‎18．（本小题满分12分）如图，三棱锥 P - ABC 中，平面 PAB ^ 平面 ABC ， PA = PB ，ÐAPB = ÐACB = 90o ，点 E, F 分别是棱 AB, PB 的中点，点G 是△ BCE 的重心．‎ ‎（1）证明： GF / / 平面 PAC ；‎ ‎（2）若GF 与平面 ABC 所成的角为60o ，求二面角B-AP-C的余弦值.‎ ‎20．（本小题满分12分）华北“一票通”景区旅游年卡，是由衡水市旅游局策划，由市某旅游公司推出的一项惠民工程.持有旅游年卡一年内可不限次畅游华北19家签约景区.为了解市民每年旅游消费支出情况（单位：百元），相关部门对已游览某签约景区的游客进行随机问卷调查，并把得到的数据列成如下所示的频数分布表：‎ 组别 频数 ‎10‎ ‎390‎ ‎400‎ ‎188‎ ‎12‎ ‎（1）求所得样本的中位数（精确到百元）；‎ ‎（2）根据样本数据，可近似地认为市民的旅游费用支出服从正态分布.若该市总人口为450万人，试估计有多少市民每年旅游费用支出在7500元以上；‎ ‎（3）若年旅游消费支出在40（百元）以上的游客一年内会继续来该景点游玩.现从游客中随机抽取3人，一年内继续来该景点游玩记2分，不来该景点游玩记1分.将上述调查所得的频率视为概率，且游客之间的选择意愿相互独立.记总得分为随机变量X，求X的分布列与数学期望.‎ 附：若，则，‎ ‎，‎ ‎【解】（1）设样本的中位数为x，则，‎ 解得，所得样本中位数为（百元）.…………2分 ‎（2），，，‎ 旅游费用支出在7500元以上的概率为 ‎，‎ ‎，‎ 估计有10.26万市民旅游费用支出在7500元以上.…………6分 ‎（3）由表格知一年内游客继续来该景点游玩的概率为，X可能取值为3，4，5，6‎ ‎， ，‎ ‎， ，‎ 故其分布列为 X ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P ‎.………12分 ‎21．（本小题满分12分）已知函数.‎ ‎（1）求的最大值；‎ ‎（2）若恒成立，求实数b的取值范围.‎ ‎【解】(1)，定义域，‎ ‎，‎ 由，在增，在减，‎ ‎(2) ‎ 令，‎ 令，在单调递增，，‎ 在存在零点，‎ 即 ‎，‎ 由于在单调递增，故即 在减，在增，‎ 所以.‎ 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。‎ ‎22．(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程 已知直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点为上的任意一点，求到距离的取值范围．‎ ‎【解】（1）的普通方程为，即． 2分 的直角坐标方程为，即． 5分 ‎（2）由（1）知，是以为圆心，半径的圆，‎ 圆心到的距离， 7分 所以直线与圆相离，‎ 到距离的最小值为； 8分 最大值为， 9分 所以到距离的取值范围为． 10分 ‎23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数（），不等式的解集为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，，，且，求的最大值.‎ ‎【解】（1）∵，‎ ‎，‎ 所以不等式的解集为,‎ 即为不等式的解集为，‎ ‎∴的解集为,‎ 即不等式的解集为，‎ 化简可得,不等式的解集为，‎ 所以,即.‎ ‎（2）∵，∴.‎ 又∵，，，‎ ‎∴‎ ‎，‎ 当且仅当,等号成立,‎ 即，，时，等号成立，‎ ‎∴的最大值为32.‎