• 294.00 KB
  • 2021-06-30 发布

【数学】2019届一轮复习人教B版(文)第2章第10节变化率与导数、导数的运算学案

  • 16页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
第十节变化率与导数、导数的运算 ‎1.导数的概念 ‎(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数:‎ 函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率 = 为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f′(x0)‎ 或y′,即 f′(x0)= = .‎ ‎(2)导数的几何意义:‎ 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点P(x0,y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数).相应地,切线方程为y-y0=f′(x0)(x-x0).‎ ‎(3)函数f(x)的导函数:‎ 称函数f′(x)= 为f(x)的导函数.‎ ‎2.基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)=xn(n∈Q*)‎ f′(x)=n·xn-1‎ f(x)=sin x f′(x)=cos_x f(x)=cos x f′(x)=-sin_x f(x)=ax(a>0)‎ f′(x)=axln_a f(x)=ex f′(x)= f(x)=logax(a>0,且a≠1)‎ f′(x)= f(x)=ln x f′(x)= ‎3.导数的运算法则 ‎(1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x);‎ ‎(2)[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);‎ ‎(3)′=(g(x)≠0).‎ ‎1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同.(  )‎ ‎(2)f′(x0)是导函数f′(x)在x=x0处的函数值.(  )‎ ‎(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.(  )‎ ‎(4)因为(ln x)′=,所以′=ln x.(  )‎ 答案:(1)× (2)√ (3)√ (4)× ‎ ‎2.已知f(x)=xln x,若f′(x0)=2,则x0等于(  )‎ A.e2          B.e C. D.ln 2‎ 解析:选B f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=ln x+1,由f′(x0)=2,即ln x0+1=2,解得x0=e.‎ ‎3.下列求导运算正确的是(  )‎ A.′=1+ B.(log2x)′= C.(3x)′=3xlog3e D.(x2cos x)′=-2sin x 解析:选B ′=x′+′=1-;(3x)′=3xln 3;(x2cos x)′=(x2)′cos x+x2(cos x)′=2xcos x-x2sin x.‎ ‎4.曲线y=1-在点(-1,-1)处的切线方程为(  )‎ A.y=2x+1 B.y=2x-1‎ C.y=-2x-3 D.y=-2x-2‎ 解析:选A 因为y=1-=,‎ 所以y′==,y′|x=-1=2,‎ 所以曲线在点(-1,-1)处的切线斜率为2,‎ 所以所求切线方程为y+1=2(x+1),即y=2x+1.‎ ‎5.(2017·全国卷Ⅰ)曲线y=x2+在点(1,2)处的切线方程为________.‎ 解析:因为y′=2x-,所以在点(1,2)处的切线方程的斜率为y′|x=1=2×1-=1,所以切线方程为y-2=x-1,即x-y+1=0.‎ 答案:x-y+1=0‎ ‎6.已知直线y=-x+1是函数f(x)=-·ex图象的切线,则实数a=________.‎ 解析:设切点为(x0,y0),则f′(x0)=-·ex0=-1,‎ ‎∴ex0=a,又-·ex0=-x0+1,‎ ‎∴x0=2,a=e2.‎ 答案:e2‎      ‎[考什么·怎么考]‎ 导数的运算是所有导数问题的基础,高考中直接考查导数运算的题目较少,但凡是涉及导数的问题不用计算导数的也极其罕见.因此,必须牢牢掌握导数的运算法则.‎ ‎1.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2xf′(1)+ln x,则f′(1)=(  )‎ A.-e         B.-1‎ C.1 D.e 解析:选B 由f(x)=2xf′(1)+ln x,‎ 得f′(x)=‎2f′(1)+.‎ 所以f′(1)=‎2f′(1)+1,则f′(1)=-1.‎ ‎2.求下列函数的导数.‎ ‎(1)y=x2sin x;‎ ‎(2)y=ln x+;‎ ‎(3)y=;‎ 解:(1)y′=(x2)′sin x+x2(sin x)′‎ ‎=2xsin x+x2cos x.‎ ‎(2)y′=′=(ln x)′+′=-.‎ ‎(3)y′=′==-.‎ ‎ [怎样快解·准解]‎ ‎1.谨记1个原则 先化简解析式,使之变成能用求导公式求导的函数的和、差、积、商,再求导.‎ ‎2.熟记求导函数的5种形式及解法 ‎(1)连乘积形式:先展开化为多项式的形式,再求导;‎ ‎(2)分式形式:观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导;‎ ‎(3)对数形式:先化为和、差的形式,再求导;‎ ‎(4)根式形式:先化为分数指数幂的形式,再求导;‎ ‎(5)三角形式:先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导.‎      导数的几何意义是每年高考的必考内容,考查题型既有选择题、填空题,也常出现在解答题的第(1)问中,难度较小,属中低档题.,常见的命题角度有:‎ (1)求曲线的切线方程;‎ (2)求切点坐标;‎ (3)求参数的值(范围).‎ ‎[题点全练]‎ 角度(一) 求曲线的切线方程 ‎1.已知函数f(x)=ln x-,则函数f(x)的图象在处的切线方程为________.‎ 解析:由f(x)=ln x-,得f′(x)=-,‎ 则f′(1)=1-=1-=-,‎ 故所求切线方程为y-=-(x-1),‎ 即5x+4y+9=0.‎ 答案:5x+4y+9=0‎ 角度(二) 求切点坐标 ‎2.曲线f(x)=x3-x+3在点P处的切线平行于直线y=2x-1,则P点的坐标为(  )‎ A.(1,3)         B.(-1,3)‎ C.(1,3)和(-1,3) D.(1,-3)‎ 解析:选C f′(x)=3x2-1,令f′(x)=2,则3x2-1=2,解得x=1或x=-1,∴P(1,3)或(-1,3),经检验,点(1,3),(-1,3)均不在直线y=2x-1上,故选C.‎ 角度(三) 求参数的值(范围)‎ ‎3.(2018·成都诊断)若曲线y=f(x)=ln x+ax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线,则实数a的取值范围是(  )‎ A. B. C.(0,+∞) D.[0,+∞)‎ 解析:选D f′(x)=+2ax=(x>0),根据题意有f′(x)≥0(x>0)恒成立,所以2ax2+1≥0(x>0)恒成立,即‎2a≥-(x>0)恒成立,所以a≥0,故实数a的取值范围为[0,+∞).‎ ‎[题“根”探求]‎ 看个性 角度(一)是求曲线的切线方程,其关键是理解导数的几何意义,并能准确求导;‎ 角度(二)是求切点坐标,其思路是先求函数的导数,然后让导数值等于切线的斜率,从而得出切线方程或求出切点坐标;‎ 角度(三)是求参数的值(范围),其关键是列出函数的导数等于切线斜率的方程 找共性 解决此类问题的先决条件是应先正确求导,再根据其他条件求解,求曲线的切线应注意:‎ ‎(1)“过点A的曲线的切线方程”与“在点A处的切线方程”是不相同的,后者A必为切点,前者未必是切点;‎ ‎(2)曲线在某点处的切线若有则只有一条,曲线过某点的切线往往不止一条;切线与曲线的公共点不一定只有一个 ‎ [冲关演练]‎ ‎1.曲线y=sin x+ex在点(0,1)处的切线方程是(  )‎ A.x-3y+3=0 B.x-2y+2=0‎ C.2x-y+1=0 D.3x-y+1=0‎ 解析:选C 因为y=sin x+ex,‎ 所以y′=cos x+ex,‎ 所以y′|x=0=cos 0+e0=2,‎ 所以曲线y=sin x+ex在点(0,1)处的切线方程为y-1=2(x-0),即2x-y+1=0.‎ ‎2.(2017·天津高考)已知a∈R,设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1,f(1))处的切线为l,则l在y轴上的截距为________.‎ 解析:因为f′(x)=a-,所以f′(1)=a-1.又f(1)=a,所以切线l的方程为y-a=(a-1)(x-1).令x=0,得y=1.‎ 答案:1‎ ‎3.(2018·云南一检)已知函数f(x)=axln x+b(a,b∈R),若f(x)的图象在x=1处的切线方程为2x-y=0,则a+b=________.‎ 解析:由题意,得f′(x)=aln x+a,所以f′(1)=a,因为函数f(x)的图象在x=1处的切线方程为2x-y=0,所以a=2,又f(1)=b,则2×1-b=0,所以b=2,故a+b=4.‎ 答案:4‎ ‎(一)普通高中适用 ‎ A级——基础小题练熟练快 ‎1.已知函数f(x)=(x2+2)(ax2+b),且f′(1)=2,则f′(-1)=(  )‎ A.-1          B.-2‎ C.2 D.0‎ 解析:选B f(x)=(x2+2)(ax2+b)=ax4+(‎2a+b)x2+2b,f′(x)=4ax3+2(‎2a+b)x为奇函数,所以f′(-1)=-f′(1)=-2.‎ ‎2.已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1),若f′(1)=-1,则a=(  )‎ A.e B. C. D. 解析:选B 因为f′(x)=,所以f′(1)==-1,所以ln a=-1,所以a=.‎ ‎3.曲线y=ex-ln x在点(1,e)处的切线方程为(  )‎ A.(1-e)x-y+1=0 B.(1-e)x-y-1=0‎ C.(e-1)x-y+1=0 D.(e-1)x-y-1=0‎ 解析:选C 由于y′=e-,所以y′|x=1=e-1,故曲线y=ex-ln x在点(1,e)处的切线方程为y-e=(e-1)(x-1),即(e-1)x-y+1=0.‎ ‎4.曲线f(x)=2x-ex与y轴的交点为P,则曲线在点P处的切线方程为(  )‎ A.x-y+1=0 B.x+y+1=0‎ C.x-y-1=0 D.x+y-1=0‎ 解析:选C 曲线f(x)=2x-ex与y轴的交点为(0,-1).‎ 且f′(x)=2-ex,所以f′(0)=1.‎ 所以所求切线方程为y+1=x,即x-y-1=0.‎ ‎5.函数g(x)=x3+x2+3ln x+b(b∈R)在x=1处的切线过点(0,-5),则b的值为(  )‎ A. B. C. D. 解析:选B 当x=1时,g(1)=1++b=+b,‎ 又g′(x)=3x2+5x+,‎ 所以切线斜率k=g′(1)=3+5+3=11,‎ 从而切线方程为y=11x-5,‎ 由于点在切线上,‎ 所以+b=11-5,‎ 解得b=.故选B.‎ ‎6.如图,y=f(x)是可导函数,直线l:y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),g′(x)是g(x)的导函数,则g′(3)=(  )‎ A.-1 B.0‎ C.2 D.4‎ 解析:选B 由题图可知曲线y=f(x)在x=3处的切线的斜率为-,即f′(3)=-,又g(x)=xf(x),g′(x)=f(x)+xf′(x),g′(3)=f(3)+‎3f′(3),由题图可知f(3)=1,所以g′(3)=1+3×=0.‎ ‎7.已知函数f(x)=cos x,则f(π)+f′=________.‎ 解析:∵f′(x)=-cos x-sin x,‎ ‎∴f(π)+f′=--=-.‎ 答案:- ‎8.(2018·东北四市联考)函数f(x)=exsin x的图象在点(0,f(0))处的切线方程是________.‎ 解析:由f(x)=exsin x,得f′(x)=exsin x+excos x,所以f(0)=0且f′(0)=1,则切线的斜率为1,切点坐标为(0,0),所以切线方程为y=x.‎ 答案:y=x ‎9.若函数f(x)在R上可导,f(x)=exln x+x‎3f′(1),则f′(1)=________.‎ 解析:由已知可得f′(x)=ex+3x‎2f′(1),‎ 故f′(1)=e+‎3f′(1),解得f′(1)=-.‎ 答案:- ‎10.设曲线y=在点处的切线与直线x-ay+1=0平行,则实数a=________.‎ 解析:因为y′=,‎ 所以y′x==-1,由条件知=-1,‎ 所以a=-1.‎ 答案:-1‎ B级——中档题目练通抓牢 ‎1.已知曲线y=ln x的切线过原点,则此切线的斜率为(  )‎ A.e B.-e C. D.- 解析:选C y=ln x的定义域为(0,+∞),设切点为(x0,y0),则k=y′|x=x0=,所以切线方程为y-y0=(x-x0),又切线过点(0,0),代入切线方程得y0=1,则x0=e,所以k=y′|x=x0==.‎ ‎2.已知函数f(x)=aln x+bx2的图象在点P(1,1)处的切线与直线x-y+1=0垂直,则a的值为(  )‎ A.-1 B.1‎ C.3 D.-3‎ 解析:选D 由已知可得P(1,1)在函数f(x)的图象上,‎ 所以f(1)=1,即aln 1+b×12=1,解得b=1,‎ 所以f(x)=aln x+x2,故f′(x)=+2x.‎ 则函数f(x)的图象在点P(1,1)处的切线的斜率k=f′(1)=a+2,‎ 因为切线与直线x-y+1=0垂直,‎ 所以a+2=-1,即a=-3.故选D.‎ ‎3.在直角坐标系xOy中,设P是曲线C:xy=1(x>0)上任意一点,l是曲线C在点P 处的切线,且l交坐标轴于A,B两点,则下列结论正确的是(  )‎ A.△OAB的面积为定值2‎ B.△OAB的面积有最小值为3‎ C.△OAB的面积有最大值为4‎ D.△OAB的面积的取值范围是[3,4]‎ 解析:选A 由题意知,y=(x>0),则y′=-.‎ 设P,则曲线C在点P处的切线方程为y-=-(x-a),‎ 令x=0可得y=;令y=0可得x=‎2a,‎ 所以△OAB的面积为××‎2a=2,即定值2.‎ 故选A.‎ ‎4.曲线f(x)=ex在x=0处的切线与曲线g(x)=ax2-a(a≠0)相切,则a=________,切点坐标为________.‎ 解析:曲线f(x)在x=0处的切线方程为y=x+1.‎ 设其与曲线g(x)=ax2-a相切于点(x0,ax-a).‎ 则g′(x0)=2ax0=1,且ax-a=x0+1.‎ 解得x0=-1,a=-,切点坐标为(-1,0).‎ 答案:- (-1,0)‎ ‎5.若点P是曲线y=x2-ln x上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为_______.‎ 解析:由y=x2-ln x,得y′=2x-(x>0),‎ 设点P0(x0,y0)是曲线y=x2-ln x上到直线y=x-2的距离最小的点,则y′x=x0=2x0-=1,解得x0=1或x0=-(舍去).‎ ‎∴点P0的坐标为(1,1).‎ ‎∴所求的最小距离==.‎ 答案: ‎6.已知点M是曲线y=x3-2x2+3x+1上任意一点,曲线在M处的切线为l,求:‎ ‎(1)斜率最小的切线方程;‎ ‎(2)切线l的倾斜角α的取值范围.‎ 解:(1)∵y′=x2-4x+3=(x-2)2-1,‎ ‎∴当x=2时,y′min=-1,此时y=,‎ ‎∴斜率最小时的切点为,斜率k=-1,‎ ‎∴切线方程为3x+3y-11=0.‎ ‎(2)由(1)得k≥-1,∴tan α≥-1,‎ 又∵α∈[0,π),∴α∈∪.‎ 故α的取值范围为∪.‎ ‎7.设抛物线C:y=-x2+x-4,过原点O作C的切线y=kx,使切点P在第一象限.‎ ‎(1)求k的值;‎ ‎(2)过点P作切线的垂线,求它与抛物线的另一个交点Q的坐标.‎ 解:(1)因为y′=-2x+,设切点P的坐标为(x1,y1),‎ 则解得或 因为切点P在第一象限,所以k=.‎ ‎(2)过P点作切线的垂线,其方程为y=-2x+5.‎ 将其代入抛物线方程得,x2-x+9=0.‎ 设Q点的坐标为(x2,y2),则2x2=9,‎ 所以x2=,y2=-4.‎ 所以Q点的坐标为.‎ C级——重难题目自主选做 ‎1.已知f(x)=x2+sin,f′(x)为f(x)的导函数,则f′(x)的图象是(  )‎ 解析:选A ∵f(x)=x2+sin=x2+cos x,∴f′(x)=x-sin x,它是一个奇函数,其图象关于原点对称,故排除B,D.又f″(x)=-cos x,当-<x<时,cos >,∴f″(x)<0,故函数y=f′(x)在区间上单调递减,故排除C,选A.‎ ‎2.若函数f(x)=2sin x(x∈[0,π))的图象在切点P处的切线平行于函数g(x)=2的图象在切点Q处的切线,则直线PQ的斜率为(  )‎ A. B.2‎ C. D. 解析:选A 由题意得f′(x)=2cos x,g′(x)=x+x-.设P(x1,f(x1)),Q(x2,g(x2)),f′(x1)=g′(x2),‎ 即2cos x1=x2+x-2,故4cos2x1=x2+x+2,‎ 所以-4+4cos2x1=x2+x-2,即-4sin2x1=x2-x-22,所以sin x1=0,x1=0,x2=x-2,x2=1,‎ 故P(0,0),Q,故kPQ=.‎ ‎(二)重点高中适用 ‎ A级——保分题目巧做快做 ‎1.已知函数f(x)=(x2+2)(ax2+b),且f′(1)=2,则f′(-1)=(  )‎ A.-1        B.-2‎ C.2 D.0‎ 解析:选B f(x)=(x2+2)(ax2+b)=ax4+(‎2a+b)x2+2b,f′(x)=4ax3+2(‎2a+b)x为奇函数,所以f′(-1)=-f′(1)=-2.‎ ‎2.曲线y=ex-ln x在点(1,e)处的切线方程为(  )‎ A.(1-e)x-y+1=0 B.(1-e)x-y-1=0‎ C.(e-1)x-y+1=0 D.(e-1)x-y-1=0‎ 解析:选C 由于y′=e-,所以y′|x=1=e-1,故曲线y=ex-ln x在点(1,e)处的切线方程为y-e=(e-1)(x-1),即(e-1)x-y+1=0.‎ ‎3.已知曲线y=-3ln x的一条切线的斜率为-,则切点的横坐标为(  )‎ A.3 B.2‎ C.1 D. 解析:选B 因为y=-3ln x(x>0),所以y′=-.再由导数的几何意义,令-=-,解得x=2或x=-3(舍去).故切点的横坐标为2.‎ ‎4.(2018·湖北百所重点高中联考)已知函数f(x+1)=,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为(  )‎ A.1 B.-1‎ C.2 D.-2‎ 解析:选A f(x+1)=,故f(x)=,即f(x)=2-,对f(x)求导得f′(x)=,则f′(1)=1,故所求切线的斜率为1,故选A.‎ ‎5.已知函数f(x)=aln x+bx2的图象在点P(1,1)处的切线与直线x-y+1=0垂直,则a的值为(  )‎ A.-1 B.1‎ C.3 D.-3‎ 解析:选D 由已知可得P(1,1)在函数f(x)的图象上,‎ 所以f(1)=1,即aln 1+b=1,解得b=1,‎ 所以f(x)=aln x+x2,故f′(x)=+2x.‎ 则函数f(x)的图象在点P(1,1)处的切线的斜率k=f′(1)=a+2,‎ 因为切线与直线x-y+1=0垂直,‎ 所以a+2=-1,即a=-3.故选D.‎ ‎6.已知函数f(x)=cos x,则f(π)+f′=________.‎ 解析:∵f′(x)=-cos x-sin x,‎ ‎∴f(π)+f′=--=-.‎ 答案:- ‎7.若函数f(x)在R上可导,f(x)=exln x+x‎3f′(1),则f′(1)=________.‎ 解析:由已知可得f′(x)=ex+3x‎2f′(1),‎ 故f′(1)=e+3×f′(1),解得f′(1)=-.‎ 答案:- ‎8.曲线f(x)=ex在x=0处的切线与曲线g(x)=ax2-a(a≠0)相切,则a=________,切点坐标为________.‎ 解析:曲线f(x)在x=0处的切线方程为y=x+1.‎ 设其与曲线g(x)=ax2-a相切于点(x0,ax-a).‎ 则g′(x0)=2ax0=1,且ax-a=x0+1.‎ 解得x0=-1,a=-,切点坐标为(-1,0).‎ 答案:- (-1,0)‎ ‎9.求下列函数的导数.‎ ‎(1)y=(1-);‎ ‎(2)y=x·tan x;‎ ‎(3)y=(x+1)(x+2)(x+3);‎ 解:(1)∵y=(1-)=-=x--x,‎ ‎∴y′=(x-)′-(x)′=-x--x-.‎ ‎(2)y′=(x·tan x)′=x′tan x+x(tan x)′‎ ‎=tan x+x·′=tan x+x· ‎=tan x+.‎ ‎(3)∵y=(x2+3x+2)(x+3),‎ ‎∴y′=(x2+3x+2)′(x+3)+(x2+3x+2)(x+3)′‎ ‎=(2x+3)(x+3)+x2+3x+2‎ ‎=2x2+9x+9+x2+3x+2‎ ‎=3x2+12x+11.‎ ‎10.已知点M是曲线y=x3-2x2+3x+1上任意一点,曲线在M处的切线为l,求:‎ ‎(1)斜率最小的切线方程;‎ ‎(2)切线l的倾斜角α的取值范围.‎ 解:(1)∵y′=x2-4x+3=(x-2)2-1,‎ ‎∴当x=2时,y′min=-1,此时y=,‎ ‎∴斜率最小时的切点为,斜率k=-1,‎ ‎∴切线方程为3x+3y-11=0.‎ ‎(2)由(1)得k≥-1,∴tan α≥-1,‎ 又∵α∈[0,π),∴α∈∪.‎ 故α的取值范围为∪.‎ B级——拔高题目稳做准做 ‎1.如图,y=f(x)是可导函数,直线l:y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),g′(x)是g(x)的导函数,则g′(3)=(  )‎ A.-1 B.0‎ C.2 D.4‎ 解析:选B 由题图可知曲线y=f(x)在x=3处的切线的斜率为-,即f′(3)=-,又g(x)=xf(x),g′(x)=f(x)+xf′(x),g′(3)=f(3)+‎3f′(3),由题图可知f(3)=1,所以g′(3)=1+3×=0.‎ ‎2.已知f(x)=ln x,g(x)=x2+mx+(m<0),直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切,且与f(x)图象的切点为(1,f(1)),则m的值为(  )‎ A.-1 B.-3‎ C.-4 D.-2‎ 解析:选D ∵f′(x)=,∴直线l的斜率为k=f′(1)=1,‎ 又f(1)=0,∴切线l的方程为y=x-1.‎ ‎∵g′(x)=x+m,‎ 设直线l与g(x)的图象的切点为(x0,y0),‎ 则有解得m=-2.‎ ‎3.若点P是曲线y=x2-ln x上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为________.‎ 解析:由y=x2-ln x,得y′=2x-(x>0),‎ 设点P0(x0,y0)是曲线y=x2-ln x上到直线y=x-2的距离最小的点,则y′|x=x0=2x0‎ ‎-=1,‎ 解得x0=1或x0=-(舍去).‎ ‎∴点P0的坐标为(1,1).‎ ‎∴所求的最小距离==.‎ 答案: ‎4.已知曲线f(x)=x3+ax+在x=0处的切线与曲线g(x)=-ln x相切,则a的值为________.‎ 解析:由f(x)=x3+ax+得,f′(x)=3x2+a,f′(0)=a,f(0)=,‎ ‎∴曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为y-=ax.‎ 设直线y-=ax与曲线g(x)=-ln x相切于点(x0,-ln x0),‎ g′(x)=-,‎ ‎∴ 将②代入①得ln x0=,‎ ‎∴x0=e,‎ ‎∴a=-=-e.‎ 答案:-e- ‎5.已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R).‎ ‎(1)若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率为-3,求a,b的值;‎ ‎(2)若曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,求a的取值范围.‎ 解:f′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2).‎ ‎(1)由题意,得 解得b=0,a=-3或a=1.‎ ‎(2)因为曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,‎ 所以关于x的方程f′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2)=0有两个不相等的实数根,‎ 所以Δ=4(1-a)2+‎12a(a+2)>0,‎ 即‎4a2+‎4a+1>0,‎ 所以a≠-.‎ 所以a的取值范围为∪.‎ ‎6.设抛物线C:y=-x2+x-4,过原点O作C的切线y=kx,使切点P在第一象限.‎ ‎(1)求k的值;‎ ‎(2)过点P作切线的垂线,求它与抛物线的另一个交点Q的坐标.‎ 解:(1)因为y′=-2x+,设切点P的坐标为(x1,y1),‎ 则解得或 因为切点P在第一象限,所以k=.‎ ‎(2)过P点作切线的垂线,其方程为y=-2x+5.‎ 将其代入抛物线方程得,x2-x+9=0.‎ 设Q点的坐标为(x2,y2),则2x2=9,‎ 所以x2=,y2=-4.‎ 所以Q点的坐标为.‎

相关文档