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- 2021-06-30 发布
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第二节 不等式的证明
1.比较法
作差比较法与作商比较法的基本原理:
(1)作差法:a-b>0⇔a>b。
(2)作商法:>1⇔a>b(a>0,b>0)。
2.综合法与分析法
(1)综合法:证明不等式时,从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过推理论证而得出命题成立,综合法又叫顺推证法或由因导果法。
(2)分析法:证明命题时,从待证不等式出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等),从而得出要证的命题成立。这是一种执果索因的思考和证明方法。
3.反证法
先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立,我们把它称为反证法。
4.放缩法
证明不等式时,通过把所证不等式的一边适当地放大或缩小,以利于化简,并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显,从而得出原不等式成立,这种方法称为放缩法。
5.柯西不等式
设a,b,c,d均为实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,等号当且仅当ad=bc时成立。
1.a2≥0(a∈R)。
2.(a-b)2≥0(a,b∈R),其变形有a2+b2≥2ab,2≥ab,a2+b2≥(a+b)2。
3.若a,b为正实数,则≥,特别地,+≥2。
4.a2+b2+c2≥ab+bc+ca。
一、走进教材
1.(选修4-5P23T1改编)已知a≥b>0,M=2a3-b3,N=2ab2-a2b,则M,N的大小关系为________。
解析 2a3-b3-(2ab2-a2b)=2a(a2-b2)+b(a2-b2)=(a2-b2)(2a+b)=(a-b)(a+b)(2a+b)。因为a≥b>0,所以a-b≥0,a+b>0,2a+b>0,从而(a-b)(a+b)(2a+b
)≥0,故2a3-b3≥2ab2-a2b。
答案 M≥N
2.(选修4-5P24例3改编)求证:+<2+。
证明 +<2+
⇐(+)2<(2+)2
⇐10+2<10+4
⇐<2⇐21<24。故原不等式成立。
二、走出误区
微提醒:①不等式放缩不当致错;②运用柯西不等式不能合理变形。
3.设a,b∈(0,+∞),且ab-a-b=1,则有( )
A.a+b≥2(+1) B.a+b≤+1
C.a+b<+1 D.a+b>2(+1)
解析 由已知得a+b+1=ab≤2,故有(a+b)2-4(a+b)-4≥0,解得a+b≥2+2或a+b≤-2+2(舍去),即a+b≥2+2。(当且仅当a=b=+1时取等号)故选A。
答案 A
4.已知三个互不相等的正数a,b,c满足abc=1。试证明:++<++。
证明 因为a,b,c>0,且互不相等,abc=1,
所以++=++<++=++,
即++<++。
5.设a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,求的最小值。
解 根据柯西不等式(ma+nb)2≤(a2+b2)(m2+n2),得25≤5(m2+n2),m2+n2≥5,的最小值为。
考点一 比较法证明不等式
【例1】 (1)当p,q都是正数且p+q=1时,试比较(px+qy)2与px2+qy2的大小。
(2)已知a,b∈R+,求证:aabb≥(ab)。
解 (1)(px+qy)2-(px2+qy2)
=p2x2+q2y2+2pqxy-(px2+qy2)
=p(p-1)x2+q(q-1)y2+2pqxy。
因为p+q=1,所以p-1=-q,q-1=-p。
所以(px+qy)2-(px2+qy2)=-pq(x2+y2-2xy)=-pq(x-y)2。
因为p,q为正数,所以-pq(x-y)2≤0,
所以(px+qy)2≤px2+qy2。
当且仅当x=y时,不等式中等号成立。
(2)=a·b=。
当a=b时,=1;
当a>b时,>1,>0,
由指数函数的性质知>1,
当a1。
所以aabb≥(ab)。
1.作差比较法证明不等式的步骤
(1)作差;(2)变形;(3)判断差的符号;(4)下结论。其中“变形”是关键,通常将差变形成因式连乘积的形式或平方和的形式,再结合不等式的性质判断出差的正负。
2.作商比较法证明不等式的步骤
(1)作商;(2)变形;(3)判断与1的大小关系;(4)得出结论。其中“作商”要注意两式的正、负,不能随意作商。
【变式训练】 (2019·陕西质检)已知函数f(x)=|2x-1|+|x+1|。
(1)解不等式f(x)≤3;
(2)记函数g(x)=f(x)+|x+1|的值域为M,若t∈M,证明t2+1≥+3t。
解 (1)依题意,得f(x)=
所以f(x)≤3⇔或或解得-1≤x≤1,
即不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤1}。
(2)g(x)=f(x)+|x+1|=|2x-1|+|2x+2|≥|2x-1-2x-2|=3,
当且仅当(2x-1)(2x+2)≤0时取等号,
所以M=[3,+∞)。
t2+1-3t-==,
因为t∈M,所以t-3≥0,t2+1>0,
所以≥0,
所以t2+1≥+3t。
考点二综合法证明不等式
【例2】 (2018·山西晋中二模)已知函数f(x)=|x+1|。
(1)若∃x∈R,使不等式f(x-2)-f(x-3)≥u成立,求满足条件的实数u的集合M;
(2)已知t为集合M中的最大正整数,若a>1,b>1,c>1,且(a-1)(b-1)(c-1)=t,求证:abc≥8。
解 (1)由已知得f(x-2)-f(x-3)=|x-1|-|x-2|=
则-1≤f(x)≤1,
由于∃x∈R,使不等式|x-1|-|x-2|≥u成立,
所以u≤1,即M={u|u≤1}。
(2)证明:由(1)知t=1,
则(a-1)(b-1)(c-1)=1,
因为a>1,b>1,c>1,
所以a-1>0,b-1>0,c-1>0,
则a=(a-1)+1≥2>0(当且仅当a=2时等号成立),
b=(b-1)+1≥2>0(当且仅当b=2时等号成立),
c=(c-1)+1≥2>0(当且仅当c=2时等号成立),
则abc≥8=8(当且仅当a=b=c=2时等号成立)。
综合法证明不等式的方法
1.综合法证明不等式,要着力分析已知与求证之间,不等式的左右两端之间的差异与联系。合理进行转换,恰当选择已知不等式,这是证明的关键。
2.在用综合法证明不等式时,不等式的性质和基本不等式是最常用的。在运用这些性质时,要注意性质成立的前提条件。
【变式训练】 已知函数f(x)=2|x+1|+|x-2|。
(1)求f(x)的最小值m;
(2)若a,b,c均为正实数,且满足a+b+c=m,求证:++≥3。
解 (1)当x<-1时,f(x)=-2(x+1)-(x-2)=-3x∈(3,+∞);
当-1≤x<2时,f(x)=2(x+1)-(x-2)=x+4∈[3,6);
当x≥2时,f(x)=2(x+1)+(x-2)=3x∈[6,+∞)。
综上,f(x)的最小值m=3。
(2)证明:因为a,b,c均为正实数,且满足a+b+c=3,
所以+++(a+b+c)
=++
≥2=2(a+b+c),
当且仅当a=b=c=1时,取“=”,
所以++≥a+b+c,即++≥3。
考点三分析法证明不等式
【例3】 已知函数f(x)=|x+1|。
(1)求不等式f(x)<|2x+1|-1的解集M;
(2)设a,b∈M,证明:f(ab)>f(a)-f(-b)。
解 (1)由题意,|x+1|<|2x+1|-1,
①当x≤-1时,不等式可化为-x-1<-2x-2,解得x<-1;
②当-11。
综上,M={x|x<-1或x>1}。
(2)证明:因为f(a)-f(-b)=|a+1|-|-b+1|≤|a+1-(-b+1)|=|a+b|,
所以要证f(ab)>f(a)-f(-b),
只需证|ab+1|>|a+b|,
即证|ab+1|2>|a+b|2,
即证a2b2+2ab+1>a2+2ab+b2,
即证a2b2-a2-b2+1>0,
即证(a2-1)(b2-1)>0。
因为a,b∈M,所以a2>1,b2>1,
所以(a2-1)(b2-1)>0成立,所以原不等式成立。
分析法的应用条件
当所证明的不等式不能使用比较法,且和重要不等式(a2+b2≥2ab)、基本不等式没有直接联系,较难发现条件和结论之间的关系时,可用分析法来寻找证明途径,使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆。
【变式训练】 已知a>0,b>0,2c>a+b,求证:c-0,所以只要证a-2c<-b,
即证a+b<2c。
由已知条件知,上式显然成立,所以原不等式成立。
考点四柯西不等式的应用
【例4】 (2018·江苏高考)若x,y,z为实数,且x+2y+2z=6,求x2+y2+z2的最小值。
解 由柯西不等式,得(x2+y2+z2)(12+22+22)≥(x+2y+2z)2。
因为x+2y+2z=6,所以x2+y2+z2≥4,
当且仅当==时,不等式取等号,此时x=,y=,z=,
所以x2+y2+z2的最小值为4。
1.利用柯西不等式证明不等式,先使用拆项重组、添项等方法构造符合柯西不等式的形式及条件,再使用柯西不等式解决有关问题。
2.利用柯西不等式求最值,实质上就是利用柯西不等式进行放缩,放缩不当则等号可能不成立,因此一定不能忘记检验等号成立的条件。
【变式训练】 (1)已知a,b,c∈R,且满足a+2b+3c=6,则a2+2b2+3c2的最小值为________。
(2)设x,y,z∈R,且++=1,则x+y+z的取值范围是________。
解析 (1)由柯西不等式,得(1+2+3)(a2+2b2+3c2)≥(1·a+·b+·c)2。得6(a2+2b2+3c2)≥(a+2b+3c)2=36。所以a2+2b2+3c2≥6。当且仅当==,即a=b=c=1时,上式等号成立。所以a2+2b2+3c2的最小值为6。
(2)由柯西不等式,得[42+()2+22]≥2,即25×1≥(x+y+z)2。所以5≥|x+y+z|,所以-5≤x+y+z≤5。即x+y+z的取值范围是[-5,5]。
答案 (1)6 (2)[-5,5]
1.(配合例1使用)已知a,b为正实数。
(1)求证:+≥a+b。
(2)利用(1)的结论求函数y=+(00,b>0,所以≥0,
当且仅当a=b时等号成立。
所以+≥a+b。
(2)因为00,
由(1)的结论,y=+≥(1-x)+x=1。
当且仅当1-x=x即x=时等号成立。
所以函数y=+(0时,f(x)=
此时f(x)min=f=a-,
要使|x-a|+|2x-1|≥2恒成立,必须a-≥2,解得a≥。
综上可知,实数a的取值范围为∪。
3.(配合例4使用)已知不等式|2x-3|0时,|2x-3|0,b>0,c>0,函数f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值为4。
(1)求a+b+c的值;
(2)求a2+b2+c2的最小值。
解 (1)因为|x+a|+|x-b|≥|a+b|,
所以f(x)≥|a+b|+c,
当且仅当(x+a)(x-b)≤0时,等号成立,
又a>0,b>0,所以|a+b|=a+b,
所以f(x)的最小值为a+b+c,
所以a+b+c=4。
(2)由(1)知a+b+c=4,由柯西不等式得
(4+9+1)≥2=(a+b+c)2=16,
即a2+b2+c2≥,
当且仅当==时,等号成立,
又因为a+b+c=4,
所以a=,b=,c=时,等号成立,
所以a2+b2+c2的最小值为。