【数学】2018届一轮复习人教A版平面向量数量积的应用学案 5页

专题7 平面向量数量积的应用 平面向量数量积的应用 ‎★★★‎ ‎○○○○‎ 平面向量数量积的性质及其坐标表示 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉.‎ 几何表示 坐标表示 模 ‎|a|＝ ‎|a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b a·b＝0‎ x1x2＋y1y2＝0‎ ‎|a·b|与|a||b|的关系 ‎|a·b|≤|a||b|‎ ‎|x1x2＋y1y2|≤‎ ‎ · ‎1.利用坐标运算证明或判断两个向量的垂直问题 第一，计算出这两个向量的坐标；‎ 第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．‎ ‎2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值 根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．‎ ‎3.求解两个非零向量之间的夹角的步骤 第一步 由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积 第二步 分别求出这两个向量的模 第三步 根据公式cos〈a，b〉＝＝求解出这两个向量夹角的余弦值 第四步 根据两个向量夹角的范围是[0，π]及其夹角的余弦值，求出这两个向量的夹角 ‎[例1]　(1)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝‎2a，＝‎2a＋b，则下列结论正确的是(　　)‎ A．|b|＝1 B． a⊥b C．a·b＝1 D．(‎4a＋b)⊥‎ ‎(2)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(‎2a－3b)⊥c，则实数k＝(　　)‎ A．－ B．‎0 ‎‎ C．3 D. ‎ ‎ ‎[答案]　(1)D　(2)C ‎1.(2017·衡水模拟)已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为，那么|‎4a－b|＝(　　)‎ A．2 B．6 ‎ C．2 D．12‎ ‎[解析]　 |‎4a－b|2＝‎16a2＋b2－‎8a·b＝16×1＋4－8×1×2×cos＝12.∴|‎4a－b|＝2.‎ ‎2.已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝.若平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝________.‎ ‎[解析]　∵e1·e2＝，‎ ‎∴|e1||e2|cose1，e2＝，∴e1，e2＝60°.‎ 又∵b·e1＝b·e2＝1＞0，∴b，e1＝b，e2＝30°.‎ 由b·e1＝1，得|b||e1|cos 30°＝1，∴|b|＝＝.‎ ‎3.(1)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(‎3a＋2b)，则a与b的夹角为(　　)‎ A. B. C. D．π ‎(2)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cos α＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cos β＝________.‎ ‎[解析]　(1)由(a－b)⊥(‎3a＋2b)，‎ 得(a－b)·(‎3a＋2b)＝0，即‎3a2－a·b－2b2＝0.‎ 又∵|a|＝|b|，设〈a，b〉＝θ，‎ 即3|a|2－|a||b|cos θ－2|b|2＝0，‎ ‎∴|b|2－|b|2·cos θ－2|b|2＝0.‎ ‎∴cos θ＝.又∵0≤θ≤π，∴θ＝.‎ ‎1.若向量a，b满足：|a|＝1，(a＋b)⊥a，(‎2a＋b)⊥b，则|b|＝(　　)‎ A．2 B. C．1 D. 解析：选B　由题意知即将①×2－②得，‎2a2－b2＝0，∴b2＝|b|2＝‎2a2＝2|a|2＝2，故|b|＝.‎ ‎2.已知|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为(　　)‎ A．30° B．60° ‎ C．120° D．150°‎ 解析：选C　设向量a与b的夹角为θ，∵c＝a＋b，c⊥a，∴c·a＝(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0，∴|a|2＝－|a||b|·cosθ，∴cos θ＝－＝－＝－，∴θ＝120°.‎ ‎3. (2016·兰州一模)设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝(　　)‎ A. B. C．2 D．10‎ 解析：选B　∵a⊥b，∴a·b＝0，即x－2＝0，解得x＝2，∴a＋b＝(3，－1)，于是|a＋b|＝，故选B.‎ ‎4. (2017·湖北八校联考)已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k，－2)，若(a－c)∥b，则向量a与向量c的夹角的余弦值是(　　)‎ A. B. ‎ C．－ D．－ ‎5.已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________.‎ 解析：∵a与b为两个不共线的单位向量，‎ ‎∴|a|＝|b|＝1，‎ 又a＋b与ka－b垂直，‎ ‎∴(a＋b)·(ka－b)＝0，‎ 即ka2＋ka·b－a·b－b2＝0，‎ ‎∴k－1＋ka·b－a·b＝0，即k－1＋kcos θ－cos θ＝0(θ为a与b的夹角)，∴(k－1)(1＋cos θ)＝0.又a与b不共线，‎ ‎∴cos θ≠－1，∴k＝1.‎ 答案：1‎ ‎6. (2017·泰安模拟)已知平面向量a，b满足|b|＝1，且a与b－a的夹角为120°，则a的模的取值范围为________．‎ ‎________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________‎