河北省衡水中学2020届高三第一次教学质量检测数学（理）试题 21页

河北衡水中学2020年高三第一次教学质量检测 数学试题（理科）‎ ‎（考试时间：120分钟满分：150分）‎ 注意事项 ‎1.答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位.‎ ‎2.答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.‎ ‎3.答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚，必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草纸上答题无效.‎ 第Ⅰ卷（满分60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合，．若，则 (　 　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎∵ 集合，，‎ ‎ ∴是方程解，即 ‎ ∴‎ ‎ ∴，故选C ‎2.是的共轭复数，若为虚数单位) ，则=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：设，依题意有，‎ 故.‎ 考点：复数概念及运算．‎ ‎【易错点晴】在复数的四则运算上,经常由于疏忽而导致计算结果出错.除了加减乘除运算外,有时要结合共轭复数的特征性质和复数模的相关知识,综合起来加以分析.在复数的四则运算中,只对加法和乘法法则给出规定,而把减法、除法定义为加法、乘法的逆运算.复数代数形式的运算类似多项式的运算,加法类似合并同类项;复数的加法满足交换律和结合律,复数代数形式的乘法类似多项式乘以多项式,除法类似分母有理化;用类比的思想学习复数中的运算问题.‎ ‎3.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是 ‎（参考数据：lg3≈0.48）‎ A. 1033 B. 1053‎ C. 1073 D. 1093‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：设 ，两边取对数，，所以，即最接近，故选D.‎ ‎【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含，，.‎ ‎4.已知奇函数在R上是增函数，.若，则的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据奇函数在上是增函数可得为偶函数且在上为增函数，从而可判断的大小.‎ ‎【详解】定义域为.‎ ‎，故为偶函数.‎ 因为为上的奇函数，故，‎ 当时，因为为上的增函数，故.‎ 设任意的，则，故，‎ 故，故为上的增函数，‎ 所以 ，而，‎ 故，所以.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇函数、单调性以及指对数的大小比较，注意奇函数与奇函数的乘积、偶函数与偶函数的乘积都是偶函数，指数对数的大小比较应利用中间数和对应函数的单调性来考虑.‎ ‎5.如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：如下图所示，画出的函数图象，从而可知交点，∴不等式的解集为，故选C．‎ 考点：1．对数函数的图象；2．函数与不等式；3．数形结合的数学思想．‎ ‎6.设直线l1，l2分别是函数f(x)=图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是 A. (0,1) B. (0,2) C. (0,+∞) D. (1,+∞)‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：设（不妨设 ‎），则由导数的几何意义易得切线的斜率分别为由已知得切线的方程分别为，切线的方程为，即．分别令得又与的交点为，故选A．‎ 考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围.‎ ‎7.（2017新课标全国Ⅲ理科）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：，‎ 结合勾股定理，底面半径，‎ 由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是，故选B.‎ ‎【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.‎ ‎8.（2017新课标全国I理科）记为等差数列的前项和．若，，则的公差为 A. 1 B. 2‎ C 4 D. 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 设公差为，，，联立解得，故选C.‎ 点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如为等差数列，若，则.‎ ‎9.设为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过非零向量的夹角为钝角，满足，而不成立，可判断出结论.‎ ‎【详解】解：为非零向量，存在负数λ，使得，则向量共线且方向相反，可得. 反之不成立，非零向量的夹角为钝角，满足，而不成立. ∴为非零向量，则“存在负数λ，使得”是”的充分不必要条件. ‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了向量共线定理、向量夹角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.‎ ‎10.设x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最小值是（ ）‎ A. －15 B. －‎9 ‎C. 1 D. 9‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出不等式组表示的可行域，平移直线z＝2x＋y，当直线经过B（－6，－3）时，取得最小值.‎ ‎【详解】作出不等式组表示的可行域，‎ 结合目标函数的几何意义得函数在点B（－6，－3）处取得最小值 zmin＝－12－3＝－15.‎ 故选：A ‎【点睛】此题考查二元一次不等式组表示平面区域，解决线性规划问题，通过平移目标函数表示的直线求得最值.‎ ‎11.已知椭圆与双曲线的焦点重合，、分别为、的离心率，则（ ）‎ A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆和双曲线的焦点重合得出，可得出、的大小，再由离心率公式可得出与的大小关系，进而可得出结论.‎ ‎【详解】由于椭圆和双曲线的焦点重合，则，则，‎ ‎，，.‎ ‎，，‎ ‎，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查利用椭圆和双曲线的焦点求参数的大小关系，同时也考查了两曲线的离心率之积的问题，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎12.若是函数的极值点，则的极小值为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题可得，‎ 因为，所以，，故，‎ 令，解得或，‎ 所以在上单调递增，在上单调递减，‎ 所以的极小值为，故选A．‎ ‎【名师点睛】（1）可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f ′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f ′(x)的符号不同；‎ ‎（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答.第（22）题、第（23）题为选考题，考生根据要求作答.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.第16题第一空2分，第二空3分.把答案填在答题卡上的相应位置.‎ ‎13.定义在区间[0,3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是 .‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】‎ 由，因为，所以共7个 考点：三角函数图像 ‎14.如图，三棱锥中， ，点分别是的中点，则异面直线所成的角的余弦值是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 如下图，连结，取中点，连结，，则可知即为异面直 线，所成角（或其补角）易得，‎ ‎，，‎ ‎∴，即异面直线，所成角的余弦值为.‎ 考点：异面直线的夹角.‎ ‎15.在平面直角坐标系中，若曲线（为常数）过点，且该曲线在点处的切线与直线平行，则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 曲线过点，则①，又，所以②，由①②解得所以．‎ ‎【考点】导数与切线斜率．‎ ‎16.如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点（在的上方），且．‎ ‎（Ⅰ）圆的标准方程为 ；‎ ‎（Ⅱ）过点任作一条直线与圆相交于两点，下列三个结论：‎ ‎①； ②； ③．‎ 其中正确结论的序号是 ．（写出所有正确结论的序号）‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）①②③‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）依题意，设（为圆的半径），因为，所以，所以圆心，故圆的标准方程为．‎ ‎（Ⅱ）联立方程组，解得或，因为在的上方，‎ 所以，，‎ 令直线方程为，此时，，‎ 所以，，，‎ 因为，，所以．‎ 所以，‎ ‎，‎ 正确结论的序号是①②③．‎ 考点：圆的标准方程，直线与圆的位置关系．‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：‎ ‎ ‎ ‎0 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎0 ‎ ‎5 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎0 ‎ ‎ ‎ ‎（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式；‎ ‎（Ⅱ）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象．若图象的一个对称中心为，求的最小值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）根据表中已知数据，解得．数据补全如下表：‎ ‎ ‎ ‎0 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎0 ‎ ‎5 ‎ ‎0 ‎ ‎ ‎ ‎0 ‎ 且函数表达式为．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，得．‎ 因为的对称中心为，．‎ 令，解得，．‎ 由于函数的图象关于点成中心对称，令，‎ 解得，．由可知，当时，取得最小值．‎ 考点：“五点法”画函数在某一个周期内的图象，三角函数的平移变换，三角函数的性质．‎ ‎18. 某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：‎ ‎(1)求分数在[50,60)的频率及全班人数；‎ ‎(2)求分数在[80,90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高.‎ ‎【答案】（1）25；（2）0.016.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 解题思路：（1）通过茎叶图得出数据即可求解；（2）观察频率直方图中的各个矩形的高与面积即可.‎ 规律总结：以图表给出的统计题目一般难度不大，主要考查频率直方图、茎叶图、频率分布表给出.‎ 试题解析：(1)分数在[50,60)的频率为0.00810＝0.08，由茎叶图知：分数在 [50,60)之间的频数为2，‎ 所以全班人数为＝25.‎ ‎(2)分数在[80,90)之间的频数为25－2－7－10－2＝4，‎ 频率分布直方图中 [80,90)间的矩形的高为÷10＝0.016. .‎ 考点：1.茎叶图；2.频率直方图.‎ ‎19.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点.‎ ‎(1)设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；‎ ‎(2)当AB＝3，AD＝2时，求二面角E－AG－C的大小.‎ ‎【答案】（1）；（2） ‎ ‎【解析】‎ 试题分析: (1)第(1)问,直接证明BE⊥平面ABP得到BE⊥BP,从而求出∠CBP的大小. (2)第（2）问，可以利用几何法求，也可以利用向量法求解.‎ 试题解析：‎ ‎ (1)‎ 因为AP⊥BE，AB⊥BE，AB，AP⊂平面ABP，AB∩AP＝A，所以BE⊥平面ABP.‎ 又BP⊂平面ABP，所以BE⊥BP.又∠EBC＝120°，所以∠CBP＝30°.‎ ‎ (2)方法一：如图，取的中点H，连接EH，GH，CH.‎ 因为∠EBC＝120°，所以四边形BEHC为菱形，‎ 所以AE＝GE＝AC＝GC＝.‎ 取AG的中点M，连接EM，CM，EC，‎ 则EM⊥AG，CM⊥AG，‎ 所以∠EMC为所求二面角的平面角．‎ 又AM＝1，所以EM＝CM＝.‎ 在△BEC中，由于∠EBC＝120°，‎ 由余弦定理得EC2＝22＋22－2×2×2×cos 120°＝12，‎ 所以EC＝2，所以△EMC为等边三角形，‎ 故所求的角为60°.‎ 方法二：‎ 以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz.‎ 由题意得A(0,0,3)，E(2,0,0)，G(1，，3)，C(－1，，0)，‎ 故＝(2,0，－3)，＝(1，，0)，＝(2,0,3)．‎ 设＝(x1，y1，z1)是平面AEG的一个法向量，‎ 由可得 取z1＝2，可得平面AEG的一个法向量＝(3，－，2)．‎ 设＝(x2，y2，z2)是平面ACG的一个法向量．‎ 由可得 取z2＝－2，可得平面ACG的一个法向量n＝(3，－，－2)．‎ 所以cos〈〉＝＝.‎ 故所求的角为60°.‎ 点睛：本题的难点主要是计算，由于空间向量的运算，所以大家在计算时，务必仔细认真.‎ ‎20.已知椭圆以抛物线的焦点为顶点，且离心率为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线与椭圆相交于、两点，与直线相交于点，是椭圆上一点且满足（其中为坐标原点），试问在轴上是否存在一点，使得为定值？若存在，求出点的坐标及的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）存在，且定点的坐标为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出抛物线的焦点坐标可得出的值，由椭圆的离心率可得的值，进而可得出的值，由此可求得椭圆的方程；‎ ‎（2）设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出点的坐标，由点在椭圆上得出，并求出点的坐标，设点，计算出，由为定值求出，由此可求得定点的坐标.‎ ‎【详解】（1）抛物线的焦点坐标为，‎ 由题意可知，且，，则，‎ 因此，椭圆的方程为；‎ ‎（2）设点、，‎ 联立，消去并整理得，‎ 由韦达定理得，则，‎ ‎，即点，‎ 由于点在椭圆上，则，化简得，‎ 联立，得，则点，‎ 设在轴上是否存在一点，使得为定值，，‎ 为定值，‎ 则，得，‎ 因此，在轴上存在定点，使得为定值.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中存在定点满足某条件问题的求解，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎21.已知函数且.‎ ‎（1）求a；‎ ‎（2）证明：存在唯一的极大值点，且.‎ ‎【答案】（1）a=1；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过分析可知f（x）≥0等价于h（x）＝ax﹣a﹣lnx≥0，进而利用h′（x）＝a可得h（x）min＝h（），从而可得结论；‎ ‎（2）通过（1）可知f（x）＝x2﹣x﹣xlnx，记t（x）＝f′（x）＝2x﹣2﹣lnx，解不等式可知t（x）min＝t（）＝ln2﹣1＜0，从而可知f′（x）＝0存在两根x0，x2，利用f（x）必存在唯一极大值点x0及x0可知f（x0），另一方面可知f（x0）＞f（）．‎ ‎【详解】（1）解：因为f（x）＝ax2﹣ax﹣xlnx＝x（ax﹣a﹣lnx）（x＞0），‎ 则f（x）≥0等价于h（x）＝ax﹣a﹣lnx≥0，求导可知h′（x）＝a．‎ 则当a≤0时h′（x）＜0，即y＝h（x）在（0，+∞）上单调递减，‎ 所以当x0＞1时，h（x0）＜h（1）＝0，矛盾，故a＞0．‎ 因为当0＜x时h′（x）＜0、当x时h′（x）＞0，‎ 所以h（x）min＝h（），‎ 又因为h（1）＝a﹣a﹣ln1＝0，‎ 所以1，解得a＝1；‎ 另解：因为f（1）＝0，所以f（x）≥0等价于f（x）在x＞0时的最小值为f（1），‎ 所以等价于f（x）在x＝1处是极小值，‎ 所以解得a＝1；‎ ‎（2）证明：由（1）可知f（x）＝x2﹣x﹣xlnx，f′（x）＝2x﹣2﹣lnx，‎ 令f′（x）＝0，可得2x﹣2﹣lnx＝0，记t（x）＝2x﹣2﹣lnx，则t′（x）＝2，‎ 令t′（x）＝0，解得：x，‎ 所以t（x）在区间（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，‎ 所以t（x）min＝t（）＝ln2﹣1＜0，从而t（x）＝0有解，即f′（x）＝0存在两根x0，x2，‎ 且不妨设f′（x）在（0，x0）上为正、在（x0，x2）上为负、在（x2，+∞）上为正，‎ 所以f（x）必存在唯一极大值点x0，且2x0﹣2﹣lnx0＝0，‎ 所以f（x0）x0﹣x0lnx0x0+2x0﹣2x0，‎ 由x0可知f（x0）＜（x0）max；‎ 由f′（）＜0可知x0，‎ 所以f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，）上单调递减，‎ 所以f（x0）＞f（）；‎ 综上所述，f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题．‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.‎ ‎22.在直角坐标系中，圆的方程为．‎ ‎（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）直线的参数方程是（为参数）,与交于两点，，求的斜率．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）利用，化简即可求解；（Ⅱ）先将直线化成极坐标方程，将的极坐标方程代入的极坐标方程得，再利用根与系数的关系和弦长公式进行求解.‎ 试题解析：（Ⅰ）化圆的一般方程可化为.由，可得圆的极坐标方程.‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为.‎ 设，所对应的极径分别为，，将的极坐标方程代入的极坐标方程得.‎ 于是，.‎ ‎.‎ 由得，.‎ 所以的斜率为或.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（I）在答题卡图中画出的图像；‎ ‎（II）求不等式的解集．‎ ‎【答案】（I）见解析（II）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）化为分段函数作图；（Ⅱ）用零点分区间法求解 试题解析：（Ⅰ）如图所示：‎ ‎（Ⅱ）‎ 当，，解得或 当，，解得或 或 当，，解得或 或 综上，或或 ‎，解集 考点：分段函数的图像，绝对值不等式的解法