吉林省长春市第六中学2019-2020学年高二上学期第二学程测试数学（文）试卷 12页

文科数学试卷 考试时间:120分钟 满分:150分 ‎ 一、选择题（12小题，每题5分，共60分）‎ ‎1．某协会有200名会员，现要从中抽取40名会员作样本，采用系统抽样法等间距样本，将全体会员随机按1﹣200编号，并按编号顺序平均分为40组（1﹣5号，6﹣10号，…，196﹣200号），若第5组抽出的号码为23，则第1组至第3组抽出的号码依次是（ ）‎ A.3，8，13 B.2，7，12 C.3，9，15 D.2，6，12‎ ‎2．下列命题中为真命题的是( ) ．‎ A.“若，则”的否命题 B.“若，则”的逆命题.‎ C.“若，则”的否命题 D.“若，则”的逆否命题 ‎3．命题p：，，则下列说法正确的是（ ）‎ A．:， B．:，‎ C．:， D．:，‎ ‎4．已知命题“”是假命题，给出下列四个结论：‎ ‎①命题“”是真命题； ②命题“”是假命题；③命题“”是假命题； ④命题“”是真命题.其中正确的结论为（ ）‎ A、①③ B、②③ C、①④ D、②④‎ ‎5.设甲为“”，乙为“”，那么甲是乙的（ ）条件 A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.既非充分又非必要 ‎6.如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员9场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是（ ）‎ A.甲所得分数的极差为22 B.乙所得分数的中位数为18‎ C.两人所得分数的众数相等 D.甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数 ‎7.2000辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如右图所示，时速在 的汽车大约有（ ）‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ y ‎1‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎9‎ A.300辆 B.400辆 C.600辆 D.800辆 ‎8．设，，且，则（ ）‎ A. B.4 C.5 D.‎ ‎9．已知x与y之间的几组数据如下表：‎ 则y与x的线性回归直线必过点(　　)‎ A.(0，1) B.(1，4) C.(2，5) D.(5，9)‎ 不喜欢 喜欢 男性青年观众 ‎30‎ ‎10‎ 女性青年观众 ‎30‎ ‎50‎ ‎10．某机构对青年观众是否喜欢跨年晚会进行了调查，人数如表所示：现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了6人，则（ ）‎ A．12 B．16 ‎ C．24 D．32‎ ‎11．已知、、2成等差数列，则的轨迹表示的图象为（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎12．已知双曲线（，）的一条渐近线的方程是，它的一个焦点落在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（ ）‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题（4小题，每题5分，共20分）‎ ‎13.已知实数，满足，则的最大值是______．‎ ‎14.已知直线，，若与平行，则实数的值为______．‎ ‎15．若，那么的最小值是________.‎ 16． 设命题：“已知函数对一切，恒成立”，命题：“不等式有实数解”，若且为真命题，则实数的取值范围为________________．‎ 三、解答题（6大题，17题10分，18——22题每题12分，共70分）‎ ‎17．已知是公差为3的等差数列，数列满足，。‎ ‎（1）求的通项公式；（2）求的前项和。‎ ‎18.在中，角、、所对的边分别为，，，已知. ‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，，求的面积的值.‎ ‎19．某城市在进行创建文明城市的活动中，为了解居民对“创文”的满意程度，组织居民给活动打分（分数为整数．满分为100分）．从中随机抽取一个容量为120的样本．发现所有数据均在内．现将这些分数分成以下6组并画出了样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示．观察图形，回答下列问题：（1）算出第三组的频数．并补全频率分布直方图；‎ ‎（2）请根据频率分布直方图，估计样本的众数、中位数和平均数．（每组数据以区间的中点值为代表）‎ ‎20.如图，在四棱锥中，底面是正方形， , ‎ ‎,分别为的中点.‎ ‎（Ⅰ）证明：直线；（Ⅱ）求三棱锥的体积.‎ ‎21．已知圆C经过点，且与直线相切， 圆心C在直线上.‎ ‎（1）求圆C的方程；‎ ‎（2）过原点的直线截圆C所得的弦长为2，求直线的方程.‎ 22． 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好在抛物线 的准线上．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程．‎ ‎（Ⅱ）点，在椭圆上，，是椭圆上位于直线两侧的动点．‎ 若直线的斜率为，求四边形面积的最大值．‎ 文科数学答案 ‎1.【答案】A设抽取的第1个数编号为，第个数编号为，‎ 因为，所以，解得：，所以 ‎2.【答案】B 中，“若，则”的逆命题为“若，则”当时，或，可知逆命题为假 逆命题与否命题互为逆否命题，同真假 原命题的否命题为假，错误；‎ 中，原命题的逆命题为“若，则” 当时，，则，命题成立；当时，，又 ，命题成立 原命题的逆命题为真，正确；中，原命题的否命题为“若，则”‎ 当时， 原命题的否命题为假，错误；‎ 中，若，则或，可知原命题为假 原命题与其逆否命题同真假 原命题的逆否命题为假，错误.故选：‎ 3. ‎【答案】C全称命题的否定式特称命题可知:，，故选C.‎ ‎4.【答案】C【解】由“”是假命题，则都为假命题，可知都为真命题．因而可知；①命题“”是真命题；④命题“”是真命题.正确．‎ ‎5.【答案】A命题乙：，解得；命题甲：；‎ 显然命题甲的范围比命题乙的范围要小，故由命题甲可以推出命题乙，而由命题乙不能推出命题甲，所以甲是乙的充分非必要条件，故选：A.‎ ‎6.【答案】D甲的最高分为33，最低分为11，极差为22，A正确；乙所得分数的中位数为18，B正确；甲、乙所得分数的众数都为22，C正确；甲的平均分为，乙的平均分为 ，甲所得分数的平均数高于乙所得分数的平均数，D错误，故选D.‎ ‎7.【答案】C依据题设中提供的频率分布直方图可以看出：时速在的汽车大约有因为 ‎，应选答案C。‎ ‎8．【答案】C解得 ‎9．【答案】C【解】因为＝＝2，＝＝5，所以根据线性回归直线必过样本点的中心，可得＝x＋必过点(2，5)．故选C ‎10．【答案】C【解】依题意，总人数为，其中“不喜欢的男性青年观众”有人，故，解得.所以本小题选C.‎ ‎11.【答案】A成等差数列，‎ 的轨迹图象为焦点为的抛物线的一部分，.故选：A ‎12.【答案】C【解】双曲线的一条渐近线的方程是，可得b=a，它的一个焦点落在抛物线y2=16x的准线上，可得c=4，即16=a2+b2，‎ a=2，b=2．所求的双曲线方程为：．故选：C．‎ ‎13.约束条件所示的可行域，如图所示三角形：‎ 易得：，令所以，‎ 所以.故答案为：0.‎ ‎14.答案为：.‎ 由于与平行，则，即，解得.‎ ‎15.,即,， 由基本不等式可得,当且仅当时,等号成立,‎ 故的最小值是 ‎ ‎16.【答案】命题为真命题时，在上恒成立，∴，即．命题为真命题时，．因为且为真命题，所以假真，即或，，故实数的取值范围是 ‎17.【详解】（1）由已知，，得：‎ 数列是以为首项，为公差的等差数列........................6分 ‎（2）由（1）知：，即：‎ 数列是以为首项，为公比的等比数列记的前项和为，则........................12分 ‎18.(Ⅰ)∵由正弦定理，‎ ‎∴有，，，‎ 则可化为，‎ 即，即，又∵余弦定理，∴，由，得；........................6分 ‎(Ⅱ)由（Ⅰ）知，，则，，‎ ‎∵，，∴，‎ ‎∴，‎ 由正弦定理得，，∴.........................12分 19. ‎【解】‎ ‎（1）因为各组的频率之和等于1，所以分数在内的频率为：‎ ‎.............2分 所以第三组的额数为（人）．............4分 完整的频率分布直方图如图．..............6分 ‎（2）因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点，从图中可看出众数的估计值为75分．.............7分 由题得左边第一个矩形的面积为0.05，第二个矩形的面积为0.15,第三个矩形的面积为0.15,第四个矩形的面积为0.3，所以中位数在第四个矩形里面，设中位数为x,则0.05+0.15+0.15+(x-70)×0.03=0.5，‎ 所以x=75.所以中位数为75..............9分 又根据频率分布直方图，样本的平均数的估计值为：（分）．..............11分 所以样本的众数为75分，中位数为75分，平均数为73.5分．..............12分 ‎20.（Ⅰ）证明：取的中点，连，‎ ‎∵为的中点，∴∥又∥，‎ ‎∴为平行四边形，∴∥，‎ ‎，∴∥．........................6分 ‎（Ⅱ）∵，为的中点，‎ ‎∴点．‎ 又，‎ ‎∴，‎ 即三棱锥的体积为．........................12分 ‎21.【答案】（1）；（2）或.‎ ‎（1）因为圆心C在直线上，所以可设，半径为（），‎ 则圆C的方程为；‎ 又圆C经过点，且与直线相切，‎ 所以，解得，‎ 所以圆C的方程为；........................6分 ‎（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为：，‎ 此时直线截圆C所得的弦长，满足题意；‎ 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，‎ 则圆心到直线的距离为，‎ 又直线截圆C所得的弦长为2，‎ 所以有，即，解得；‎ 此时直线方程为：；‎ 故所求直线方程为：或..........................12分 ‎22.解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，∵ 椭圆的一个顶点恰好在抛物线的准线上，∴，即，..........................2分 又∵ ，，∴，，..........................4分 故椭圆的标准方程为．..........................5分 ‎（Ⅱ）（i）设，，直线的方程为，‎ 联立，得，‎ 由，计算得出，‎ ‎∴，，..........................9分 ‎∴ ，‎ ‎∴ 四边形的面积，‎ 当时，．..........................12分