2018届二轮复习集合常用逻辑用语课件（全国通用） 99页

第一讲　 集合、常用逻辑用语 【 知识回顾 】 1. 集合的概念、关系及运算 (1) 集合元素的特性 : 确定性、 _______ 、无序性 . (2) 集合与集合之间的关系 :A⊆B,B⊆C⇒_____. (3) 空集是任何集合的子集 . 互异性 A ⊆ C (4) 含有 n 个元素的集合的子集有 __ 个 , 真子集有 ____ 个 , 非空真子集有 ____ 个 . (5) 重要结论 : A∩B=A⇔_____,A∪B=A⇔_____. 2 n 2 n -1 2 n -2 A ⊆ B B ⊆ A 2. 四种命题之间的关系 (1) 两个命题互为 逆否命题 , 它们有 _____ 的真假性 ; 两 个命题为互逆命题或互否命题 , 它们的真假性 _________. (2) 一个命题的逆命题与它的否命题同真同假 . 相同 没有关系 3. 充要条件 设集合 A={ x|x 满足条件 p},B ={ x|x 满足条件 q}, 则有 从逻辑观点看 从集合观点看 p 是 q 的充分不必要条件 ( p⇒q,q 　 p) _____ p 是 q 的必要不充分条件 ( q⇒p,p 　 q) _____ p 是 q 的充要条件 ( p⇔q ) ____ p 是 q 的既不充分也不必要条件 (p 　 q, q 　 p) A 与 B 互不包含 A B B A A=B 4. 简单的逻辑联结词 (1) 命题 p∨q , 只要 p,q 有一真 , 即为真 ; 命题 p∧q , 只有 p,q 均为真 , 才为真 ;¬p 和 p 为真假对立的命题 . (2) 命题 p∨q 的 否定是 ___________; 命题 p∧q 的否定是 ___________. (¬ p)∧(¬q ) (¬ p)∨(¬q ) 5. 全 ( 特 ) 称命题及其否定 (1) 全称命题 p:∀x∈M,p(x ). 它的否定为 ¬p: ______________ . (2) 特称命题 p:∃x 0 ∈M,p(x 0 ). 它的否定为 ¬p: _____________ . ∃ x 0 ∈M,¬p(x 0 ) ∀ x∈M,¬p(x ) 【 易错提醒 】 1. 忽略集合元素互异性致误 : 在求解与集合有关的参数问题时 , 一定要注意集合元素的互异性 , 否则容易产生增根 . 2. 忽略空集致误 : 空集是任何集合的子集 , 是任何非空集合的真子集 , 在分类讨论时要注意 “ 空集优先 ” 的原则 . 3. 混淆命题的否定与否命题致误 : 在求解命题的否定与否命题时 , 一定要注意命题的否定是只对命题的结论进行否定 , 而否命题既对命题的条件进行否定 , 又对命题的结论进行否定 , 否则容易致误 . 4. 注意问题的表达方式 : “ A 的充分不必要条件是 B ” 是指 B 能推出 A, 但 A 不能推出 B; “ A 是 B 的充分不必要条件 ” 是指 A 能推出 B, 但 B 不能推出 A. 【 考题回访 】 1.(2016· 全国卷 Ⅱ) 已知集合 A={1 ， 2 ， 3} ， B={x|(x+1)(x-2)<0 ， x∈Z } ，则 A∪B=( 　　 ) A.{1} B.{1 ， 2} C.{0 ， 1 ， 2 ， 3} D.{-1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3} 【 解析 】 选 C.B={x|(x+1)(x-2)<0 ， x ∈ Z }= {x|-12 n B. ∃ n 0 ∈N ， C. ∀ n∈N ， n 2 ≤2 n D. ∃ n 0 ∈N ， 【 解析 】 选 C. p ： ∀ n ∈ N ， n 2 ≤ 2 n . 3.(2016· 全国卷 Ⅲ) 设集合 S={x|(x-2)(x-3)≥0} ， T={ x|x >0} ，则 S∩T=( 　　 ) A.[2 ， 3] B.(-∞ ， 2]∪[3 ， +∞) C.[3 ， +∞) D.(0 ， 2]∪[3 ， +∞) 【 解析 】 选 D. 在集合 S 中 ( x － 2)(x － 3) ≥ 0 ，解得 x ≥ 3 或 x ≤ 2 ，所以 S ∩ T={ x|00} ，则 A∩B=( 　　 ) (2)(2016 · 福州一模 ) 已知集合 A={ x|y =ln(1-2x)}, B={x|x 2 ≤x}, 全集 U=A∪B, 则 ∁ U (A∩B)= 　 ( 　　 ) 【 解题导引 】 (1) 先依据 A ， B 的意义，求出各自的解集，再求交集 . (2) 先化简 A ， B 两个集合，再求出它们的并集，最后求出它们的补集 . 【 规范解答 】 (1) 选 D.A={x|x 2 -4x+3<0}={x|10}= 所以 A∩B= (2) 选 C. 对于 A= B=[0,1],A∩B= U=(-∞,1], ∁ U (A∩B)=(-∞,0)∪ 命题角度二　集合间的关系的判断 【 典例 2】 (1)(2016 · 蚌埠二模 ) 已知集合 M={1,4,7}, M∪N=M, 则集合 N 不可能是　 ( 　　 ) A. ∅ 　　 B.{1,4} C.M D.{2,7} (2)(2016 · 佛山二模 ) 自主招生联盟成形于 2009 年清华大学等五校联考 , 主要包括 “ 北约 ” 联盟 , “ 华约 ” 联盟 , “ 卓越 ” 联盟和 “ 京派 ” 联盟 . 在调查某高中学校高三学生自主招生报考的情况时 , 得到如下结果 : ① 报考 “ 北约 ” 联盟的学生 , 都没报考 “ 华约 ” 联盟 ; ② 报考 “ 华约 ” 联盟的学生 , 也报考了 “ 京派 ” 联盟 ; ③ 报考 “ 卓越 ” 联盟的学生 , 都没报考 “ 京派 ” 联盟 ; ④ 不报考 “ 卓越 ” 联盟的学生 , 就报考 “ 华约 ” 联盟 . 根据上述调查结果 , 下列结论错误的是　 ( 　　 ) A. 没有同时报考 “ 华约 ” 和 “ 卓越 ” 联盟的学生 B. 报考 “ 华约 ” 和 “ 京派 ” 联盟的考生一样多 C. 报考 “ 北约 ” 联盟的考生也报考了 “ 卓越 ” 联盟 D. 报考 “ 京派 ” 联盟的考生也报考了 “ 北约 ” 联盟 【 解题导引 】 (1) 由 M∪N=M, 得 N⊆M, 根据集合关系进行判断即可 .(2) 将各个联盟看成集合 , 画出韦恩图即可得出结果 . 【 规范解答 】 (1) 选 D. 因为 M∪N=M, 所以 N⊆M, 所以集合 N 不可能是 {2,7}. (2) 选 D. 集合 A 表示报考 “ 北约 ” 联盟的学生 , 集合 B 表示报考 “ 华约 ” 联盟的学生 , 集合 C 表示报考 “ 京派 ” 联盟的学生 , 集合 D 表示报考 “ 卓越 ” 联盟的学生 , 由题意得 所以 选项 A.B∩D= ∅ , 正确 ; 选项 B.B=C, 正确 ; 选项 C.A⊆D, 正确 . 【 规律方法 】 1. 解答集合问题的策略 (1) 正确理解各个集合的含义 , 弄清集合元素的属性 . (2) 依据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解 . 2. 一般策略 (1) 若给定的集合是不等式的解集 , 用数轴求解 . (2) 若给定的集合是点集 , 用图象法求解 . (3) 若给定的集合是抽象集合 , 常用 Venn 图求解 . 【 题组过关 】 1.(2015· 全国卷 Ⅱ) 已知集合 A={-2 ， -1 ， 0 ， 1 ， 2} ， B={x|(x-1)(x+2)<0} ，则 A∩B=( 　　 ) A.{-1 ， 0} 　　　　　 B.{0 ， 1} C.{-1 ， 0 ， 1} D.{0 ， 1 ， 2} 【 解析 】 选 A. 由已知得 B={x|-20)}, 若 A⊆B, 则 c 的取值范围为 ( 　　 ) A.(0,1] B.(0,1) C.[1,+∞) D.(1,+∞) 【 解析 】 选 C. 由题意将两个集合化简得 :A=(0,1), B=(0,c), 因为 A ⊆ B, 所以 c ≥ 1. 【 加固训练 】 1.(2016· 蚌埠二模 ) 已知全集 U={0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4} ， 集合 M={2 ， 3 ， 4} ， N={0 ， 1 ， 4} ，则集合 {0 ， 1} 可以表示为 ( 　　 ) A.M∪N 　　　　　　　 B.( M)∩N C.M∩( N) D.( M)∩( N) 【 解析 】 选 B. 全集 U={0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4} ，集合 M={2 ， 3 ， 4} ， N={0 ， 1 ， 4} ，所以 M={0 ， 1} ， N ∩ ( M)={0 ， 1}. 2.(2016 · 衡阳一模 ) 已知集合 A={0,1,2},B={ x|y = lnx }, 则 A∩B= 　 ( 　　 ) A.{0,2} 　　 B.{0,1} C.{1,2} 　 D.{0,1,2} 【 解析 】 选 C.B={ x|y = lnx }={ x|x >0}, 则 A∩B={1,2}. 3.(2016 · 蚌埠二模 ) 若全集 U={0,1,2,4}, 且 ∁ U A={1,2}, 则集合 A= 　 ( 　　 ) A.{1,4} 　　 B.{0,4} 　　 C.{2,4} 　　 D.{0,2} 【 解析 】 选 B. 全集 U={0,1,2,4}, 且 ∁ U A={1,2}, 则集合 A={0,4}. 4.(2016 · 佛山二模 ) 已知 U=R, 函数 y=ln(1-x) 的定义域为 M, 集合 N={x|x 2 -x<0}. 则下列结论正确的是 ( 　　 ) A.M∩N=N B.M∩( ∁ U N)= ∅ C.M∪N=U D.M⊆( ∁ U N) 【 解析 】 选 A. 由 1-x>0, 解得 x<1, 故函数 y=ln(1-x) 的定义域为 M=(- ∞ ,1), 由 x 2 -x<0, 解得 0x+1 C.∀x >0,5 x >3 x D.∃x 0 ∈(0,+∞),x 0 0. 则下面结论正确的是　 ( 　　 ) A.p∧q 是真命题 B.p∧q 是假命题 C.¬p 是真命题 D.p 是假命题 【 解题导引 】 (1) 根据对数函数以及指数函数的性质分 别判断各个选项即可 .(2)p: 取 α 0 = 则 cos(π-α 0 ) =cosα 0 , 即可判断出真假 ; 命题 q: 利用实数的性质可得 q 的真假 , 再利用复合命题真假的判定方法即可得出 . 【 规范解答 】 (1) 选 D. 对于 A: 比如 x 0 = 时 , ln =-1, 是 真命题 ; 对于 B: 令 f(x )=e x -x-1,f′(x)=e x -1<0 在 x∈ (-∞,0) 上恒成立 , f(x ) 在 x∈(-∞,0) 上递减 , 所以 f(x )>f(0)=0, 是真命题 ; 对于 C: 因为当 α>0 时 ,y= x α 在第一象限为增函数 , 所以 5 x >3 x 是真命题 ; 对于 D: 令 g(x )= x-sinx,g′(x )=1-cosx≥0,g(x) 递增 , 所以 g(x )>g(0)=0, 是假命题 . (2) 选 A. 对于 p: 取 α 0 = 则 cos(π-α 0 )=cosα 0 , 因此 正确 ; 对于命题 q:∀x∈R,x 2 +1>0, 正确 . 由上可得 : p∧q 是真命题 . 【 规律方法 】 1. 命题真假的判定方法 (1) 一般命题 p 的真假由涉及的相关知识辨别 . (2) 四种命题真假的判断 : 一个命题和它的逆否命题同真假 , 而其他两个命题的真假无此规律 . (3) 形如 p∨q,p∧q,¬p 命题的真假根据 p,q 的真假与联结词的含义判定 . 2. 全称命题与特称命题真假的判定 (1) 全称命题 : 要判定一个全称命题是真命题 , 必须对限定集合 M 中的每一个元素 x 验证 p(x ) 成立 , 要判定其为假命题时 , 只需举出一个反例即可 . (2) 特称命题 : 要判定一个特称命题为真命题 , 只要在限定集合 M 中至少能找到一个元素 x 0 , 使得 p(x 0 ) 成立即可 ; 否则 , 这一特称命题就是假命题 . 3. 常见词语及否定 词语 是 都是 至少 有一个 至多 有一个 大于 ∀ x∈A , 使 p(x ) 真 否定 不是 不都是 一个 也没有 至少 有两个 小于 或等于 ∃ x 0 ∈A, 使 p(x 0 ) 假 【 题组过关 】 1.(2016 · 太原一模 ) 命题 “ ∀ x∈R , 函数 y= π x ” 是增函数的否定是　 ( 　　 ) A. “ ∀x∈R , 函数 y= π x 0 ” 是减函数 B. “ ∀x∈R , 函数 y= π x 0 ” 不是增函数 C. “ ∃x 0 ∈R, 函数 y= π x 0 ” 不是增函数 D. “ ∃x 0 ∈R, 函数 y= π x 0 ” 是减函数 【 解析 】 选 C. 因为全称命题的否定是特称命题 , 所以 , 命题“ ∀ x ∈ R , 函数 y= π x ” 是增函数的否定是 : “ ∃ x 0 ∈ R, 函数 y= π x 0 ” 不是增函数 . 2.(2016 · 广州一模 ) 已知命题 p:∀x∈N * , 命题 q:∃x 0 ∈R, 则下列命题中为真命 题的是　 ( 　　 ) A.p∧q B.(¬p)∧q C.p∧(¬q ) D.(¬p)∧(¬q ) 【 解析 】 选 A. 由 　 得 x ≥ 0, 故命题 p 为真命题 . 因为 所以 所以 所以 ( ) 2 =0, 所以 x 0 = , 故命题 q 为真命题 . 所以 p∧q 为真命题 . 3. 下列说法中正确的是　 ( 　　 ) A. 命题 “ 若 x 2 =1, 则 x=1 ” 的否命题为 : “ 若 x 2 =1, 则 x≠1 ” B. 已知 a>1,f(x)= 则 f(x )<1 成立的充要条件为 -21, 所以 x 2 +2x<0, 所以 -20 ” 的否定是 “ ∀ x∈R , x 2 +x+2016<0 ” B. 命题 p: 函数 f(x )=x 2 -2 x 仅有两个零点 , 则命题 p 是真 命题 C. 函数 f(x )= 在其定义域上是减函数 D. 给定命题 p,q , 若 “ p 且 q ” 是真命题 , 则 ¬p 是假命题 【 解析 】 选 D.A 错误 , 正确应为 “ ∀ x ∈ R,x 2 +x+2016 ≤ 0 ” ;B 错误 , 作出 f(x )=x 2 ,f(x)=2 x 图象可知有三个 交点 ;C 错误 , 函数 f(x )= 在其定义域上不是减函数 ; D 正确 . 3. 已知下列命题 : ① “ 若 x 2 -x=0, 则 x=0 或 x=1 ” 的逆否命题为 “ 若 x≠0 且 x≠1, 则 x 2 -x≠0 ” ; ② “ x<1 ” 是 “ x<3 ” 的充分不必要条件 ; ③ 命题 p: 存在 x 0 ∈R, 使得 sinx 0 <0, 则 ¬p: 任意 x∈R , 都有 sinx≥0; ④ 若 p 且 q 为假命题 , 则 p,q 均为假命题 . 其中真命题个数为　 ( 　　 ) A.1 　　　 B.2 　　　 C.3 　　　 D.4 【 解析 】 选 C. 由题可知 , ① 正确 , ② 正确 ; 特称命题的否定为全称命题 , 所以③显然正确 ; 若 p 且 q 为假命题 , 则 p,q 至少有一个是假命题 , 所以④的推断不正确 . 热点考向三 　充要条件的判断 命题解读 : 主要考查充要条件的判断、依据充要条件求参数 , 以选择题、填空题为主 . 【 典例 4】 (1) 若集合 A={x|x 2 -x-2<0},B={x|-2-2 B.a≤-2 C.a >-1 D.a≥-1 (2) 设 a,b 都是不等于 1 的正数 , 则 “ 3 a >3 b >3 ” 是 “ log a 33 b >3, 看能否推出 log a 33 b >3. 【 规范解答 】 (1) 选 C. 由 x 2 -x-2<0 知 -1-1. (2) 选 B. 由 3 a >3 b >3, 知 a>b>1, 所以 log 3 a>log 3 b>0, 所以 即 log a 33 b >3 ” 是 “ log a 3b>1, 所以 “ 3 a >3 b >3 ” 是 “ log a 3 -1} ， B={x|x≥1} ，则“ x∈A 且 x ∉ B ” 成立的充要条件 是 ( 　　 ) A.-1-1 D.-1-1} ， B={x|x ≥ 1} ， 又因为“ x∈A 且 x ∉ B ” ，所以 -10, 若 f(x )=1, 则 x 2 -1=1, 则 x= 即若 f(f(a ))=1, 则 f(a )=0 或 若 a>0, 则由 f(a )=0 或 得 a 2 -1=0 或 a 2 -1= , 即 a 2 =1 或 a 2 = +1, 解得 a=1 或 a= 若 a≤0, 则由 f(a )=0 或 得 2a+1=0 或 2a+1= , 即 a= 或 a= ( 不合题意 , 舍去 ), 此时充分性 不成立 , 即 “ f(f(a ))=1 “ 是 “ a=1 ” 的必要不充分条件 . 3.(2016 · 衡阳一模 ) “ x<1 ” 是 “ lnx <0 ” 的　 ( 　　 ) A. 充分不必要条件　　 B. 必要不充分条件 C. 充要条件　　　　　 D. 既不充分也不必要条件 【 解析 】 选 B. 因为由 lnx <0 得 01, 则 a 2 >1 ” 的否命题是 “ 若 a>1, 则 a 2 ≤1 ” B.{a n } 为等比数列 , 则 “ a 1 0,q>1 或 a 1 <0,04 x , 所以选项 C 错误 ; 显然选项 D 正确 .