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- 2021-06-30 发布
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数学试卷
(卷面分值:150分 考试时间120分钟)
注意事项:
1.本试卷为问答分离式试卷,共4页,其中问卷2页,答卷2页。答题前,请考生务必将自己的学校、姓名、座位号、准考证号等信息填写在答题卡上。
2.作答非选择题时须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题卡的指定位置上,作答选择题须用2B铅笔将答题卡上对应题目的选项涂黑。如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,请保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、 选择题(每道小题只有一个选项正确)
1.1.已知全集,集合,,则集合( )
A. B. C. D.
2.下列四组函数中表示相等函数的是( )
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
§网]
3.已知函数,则的值是( )
A. B. C. D.
4.函数的图像必经过定点( )
A. B. C. D.
5.函数y=的定义域是( )
A. B.(1,2) C.(2,+∞) D.(-∞,2)
6.三个数的大小顺序是( )
A. B.
C. D.
7.设集合若,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8. 函数是R上的偶函数,且在上单调递增,则下列各式成立的是( )
A. B.
C. D.
9.幂函数,当时为减函数,则实数m的值是( )
A. B. C. 或2 D.
10.已知函数 (其中),若的图象如右图(左)所示,则的图象是 ( )
11.已知函数若关于的方程有两个不等的实根,则实数的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
12. 设是的两个非空子集,如果存在一个从到的函数满足:(i);(ii)对任意,当时,恒有,那么称这两个集合“保序同构”,以下集合对不是“保序同构”的是( )
A.
B.
C.
D.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
一、 填空题(共4小题,每小题5分,共20分)
13.13.集合,则的子集个数为 .
14.已知上的最大值比最小值多1,则a= .
15.函数的单调递减区间是 .
16.已知,则____________(用表示)
三、解答题(共6小题,第17题10分,其余每题12分,共70分)
17.17. 设集合,,求,.
18. 计算:(1); (2).
19.已知函数.
(1)判断函数的奇偶性,并加以证明;
(2)用定义证明函数在区间上为增函数;
20. 乔经理到老陈的果园里一次性采购一种水果,他俩商定:乔经理的采购价(元/吨)与采购量(吨)之间函数关系的图像如图中的折线段所示(不包含端点但包含端点).
(1)求与之间的函数关系式;
(2)已知老陈种植水果的成本是2800元/吨,那么乔经理的采购量为多少时,老陈在这次买卖中所获的利润最大?最大利润是多少?
21.若二次函数满足,且方程=0的一个根为.
(Ⅰ) 求函数的解析式;
(Ⅱ)对任意的,恒成立,求实数的取值范围.
22已知定义为的函数满足下列条件:对任意的实数都有:,(2)当时,.
(1)求;
(2)求证:在上为增函数;
(3)若,关于的不等式对任意的恒成立,求实数的取值范围.
答案
1-5.ADCDB 6-10.DBBAA 11-12.DD
13.16 14.2或 15. 16.
17
,,所以.
18.
解:(1)
(2)
19.
1)函数是奇函数,
∵函数的定义域为,在轴上关于原点对称,
且,
∴函数是奇函数.
(2)证明:设任意实数,且,
则,
∵ ∴,
∴<0 ,
∴<0,即,
∴函数在区间上为增函数.
20.
解:(1)当时,
当时,设满足的函数关系式为,则
解得,
所以
(2) 当时,老陈获得的利润为
此时老陈获得的最大利润为104000元
当时,老陈获得的利润为
所以,当时,利润取得最大值,最大值为105800元
因为105800>104000,所以当乔经理的采购量为23吨时,老陈在这次买卖中获得的利润最大,最大利润为105800元
21.
(Ⅰ) ;(Ⅱ)或.
试题分析:(Ⅰ) ∵且
(Ⅱ)由题意知:在上恒成立,
整理得在上恒成立,
令
∵ ∴
当时,函数得最大值,
所以,解得或.
22.
解:(1)由题设,令x=y=0,
恒等式可变为f(0-0)=f(0)-f(0)+1,解得f(0)=1——————2分
(2)任取x1<x2,则x2﹣x1>0,由题设x>0时,f(x)>1,可得f(x2﹣x1)>1,
∵f(x-y)=f(x)-f(y)+1,
∴f(x2﹣x1)=f(x2)-f(x1)+1,∴f(x2)-f(x1)=f(x2﹣x1)-1>0, 即f(x1)<f(x2)
所以 f(x)是R上增函数;————————8分
(3)由已知条件f(x-y)=f(x)-f(y)+1有f(x-y)+f(y)=f(x)+1
所以f(ax﹣2)+f(x﹣x2)=f(ax﹣2+x﹣x2)+1
故原不等式可化为:f(ax﹣2+x﹣x2)+1<2
即f[﹣x2+(a+1)x﹣2]<1由(1)f(0)=1故不等式可化为f[﹣x2+(a+1)x﹣2]<f(0);
由(2)可知f(x)在R上为增函数,所以﹣x2+(a+1)x﹣2<0.
即x2﹣(a+1)x+2>0在x∈[﹣1,+∞)上恒成立,
令g(x)=x2﹣(a+1)x+2,即g(x)min>0成立即可
由a≤﹣3知g(x)在x∈[﹣1,+∞)上单调递增