2021届北师大版高考理科数一轮复习教师用书：第二章　第3讲　函数的奇偶性及周期性 18页

第 3 讲　函数的奇偶性及周期性 一、知识梳理 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 特点 偶函数 图像关于 y 轴对称的函数叫作偶函 数 f(－x)＝f(x) 奇函数 图像关于原点对称的函数叫作奇函 数 f(－x)＝－f(x) 2.周期性 (1)周期函数：对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何 值时，都有 f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数 y＝f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小 正数就叫做 f(x)的最小正周期． 常用结论 1．函数奇偶性的常用结论 (1)奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称．函数的定义域关于原点对称是函数具有 奇偶性的必要不充分条件． (2)若奇函数 f(x)在 x＝0 处有定义，则 f(0)＝0. (3)如果函数 f(x)是偶函数，那么 f(x)＝f(|x|)． (4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相 反的单调性． (5)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝ 奇． 2．函数周期性常用结论 对 f(x)定义域内任一自变量的值 x： (1)若 f(x＋a)＝－f(x)，则 T＝2a(a>0)． (2)若 f(x＋a)＝ 1 f（x），则 T＝2a(a>0)． (3)若 f(x＋a)＝－ 1 f（x），则 T＝2a(a>0)． 二、教材衍化 1．下列函数中为偶函数的是(　　) A．y＝x2sin x　　　　　　　　 B．y＝x2cos x C．y＝|ln x| D．y＝2－x 解析：选 B.根据偶函数的定义知偶函数满足 f(－x)＝f(x)且定义域关于原点对称，A 选 项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，D 选项既不是奇 函数，也不是偶函数．故选 B. 2．已知函数 f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a，b](a0)，则 f(x)是周期为 2a 的周期函数．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√　(6)√ 二、易错纠偏 常见误区|Ｋ (1)利用奇偶性求解析式时忽视定义域； (2)忽视奇函数的对称性； (3)忽视定义域的对称性． 1．设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x>0 时，f(x)＝x2＋4x－3，则函数 f(x)的解 析式为 f(x)＝________． 解析：设 x<0，则－x>0，所以 f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2＋4(－x)－3]＝－x2＋4x＋3，由 奇函数的定义可知 f(0)＝0，所以 f(x)＝{x2＋4x－3，x > 0， 0，x＝0， －x2＋4x＋3，x < 0. 答案：{x2＋4x－3，x > 0， 0，x＝0， －x2＋4x＋3，x < 0 2．设奇函数 f(x)的定义域为[－5，5]，若当 x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等 式 f(x)<0 的解集为________． 解析：由题图可知，当 00；当 20.综上，f(x)<0 的解集为(－2，0)∪(2， 5]． 答案：(－2，0)∪(2，5] 3．已知 f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么 a＋b 的值是________． 解析：因为 f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1，2a]上的偶函数， 所以 a－1＋2a＝0， 所以 a＝1 3. 又 f(－x)＝f(x)， 所以 b＝0，所以 a＋b＝1 3. 答案：1 3 　　　　　　函数的奇偶性(多维探究) 角度一　判断函数的奇偶性 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝ 36－x2 |x＋3|－3； (2)f(x)＝ 1－x2＋ x2－1； (3)f(x)＝ log2（1－x2） |x－2|－2 ； (4)f(x)＝{x2＋x，x < 0， x2－x，x > 0. 【解】　(1)由 f(x)＝ 36－x2 |x＋3|－3，可知{36－x2 ≥ 0， |x＋3|－3 ≠ 0⇒{－6 ≤ x ≤ 6， x ≠ 0且x ≠ －6，故函数 f(x) 的定义域为(－6，0)∪(0，6]，定义域不关于原点对称，故 f(x)为非奇非偶函数． (2)由{1－x2 ≥ 0， x2－1 ≥ 0 ⇒x2＝1⇒x＝±1，故函数 f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称， 且 f(x)＝0，所以 f(－x)＝f(x)＝－f(x)，所以函数 f(x)既是奇函数又是偶函数． (3)由{1－x2 > 0， |x－2|－2 ≠ 0⇒－1 0 的图象如图所示，图象关于 y 轴对称，故 f(x)为偶函 数． 法二：定义法 易知函数 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称， 当 x>0 时，f(x)＝x2－x，则当 x<0 时，－x>0，故 f(－x)＝x2＋x＝f(x)；当 x<0 时，f(x)＝ x2＋x，则当 x>0 时，－x<0，故 f(－x)＝x2－x＝f(x)，故原函数是偶函数． 法三：f(x)还可以写成 f(x)＝x2－|x|(x≠0)，故 f(x)为偶函数． 角度二　函数奇偶性的应用 (1)(2019·高考全国卷Ⅱ)已知 f(x)是奇函数，且当 x<0 时，f(x)＝－eax，若 f(ln 2)＝ 8，则 a＝________． (2)函数 f(x)在 R 上为奇函数，且 x>0 时，f(x)＝x＋1，则当 x<0 时，f(x)＝________． (3)(2020·湖南永州质检)已知函数 f(x)＝x 3＋sin x＋1(x∈R)，若 f(a)＝2，则 f(－a)＝ ________． 【解析】　(1)当 x>0 时，－x<0，f(－x)＝－e－ax.因为函数 f(x)为奇函数，所以当 x>0 时， f(x)＝－f(－x)＝e－ax，所以 f(ln 2)＝e－aln 2＝(1 2 )a ＝8， 所以 a＝－3. (2)因为 f(x)为奇函数，当 x>0 时，f(x)＝x＋1， 所以当 x<0 时，－x>0， f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)， 即 x<0 时，f(x)＝－(－x＋1)＝x－1. (3)设 F(x)＝f(x)－1＝x3＋sin x，显然 F(x)为奇函数．又 F(a)＝f(a)－1＝1，所以 F(－a)＝ f(－a)－1＝－1，从而 f(－a)＝0. 【答案】　(1)－3　(2)x－1　(3)0 (1)判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： ①定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； ②判断 f(x)与 f(－x)是否具有等量关系． (2)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据 f(x)±f(－x)＝0 得到关于 待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．　 1．设函数 f(x)＝ ex－e－x 2 ，则下列结论错误的是(　　) A．|f(x)|是偶函数　　　　　 B．－f(x)是奇函数 C．f(x)|f(x)|是奇函数 D．f(|x|)f(x)是偶函数 解析：选 D.因为 f(x)＝ ex－e－x 2 ， 则 f(－x)＝ e－x－ex 2 ＝－f(x)． 所以 f(x)是奇函数． 因为 f(|－x|)＝f(|x|)， 所以 f(|x|)是偶函数，所以 f(|x|)f(x)是奇函数． 2．(2020·贵阳检测)若函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时，f(x)＝log 2(x＋2)－ 1，则 f(－6)＝(　　) A．2　　　　　　　　　　 B．4 C．－2 D．－4 解析：选 C.根据题意得 f(－6)＝－f(6)＝1－log2(6＋2)＝1－3＝－2. 3．已知 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且 f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则 g(1)等 于________． 解析：f(－1)＋g(1)＝2，即－f(1)＋g(1)＝2①， f(1)＋g(－1)＝4，即 f(1)＋g(1)＝4②， 由①②得，2g(1)＝6，即 g(1)＝3. 答案：3 　　　　　　函数的周期性(师生共研) (1)(2020·江西临川第一中学期末)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，对任意的 实数 x，f(x－2)＝f(x＋2)，当 x∈(0，2)时，f(x)＝－x2，则 f(13 2 )＝(　　) A．－9 4　　　　　　 B．－1 4 C.1 4 D．9 4 (2)(2020·开封模拟)已知函数 f(x)＝{2（1－x），0 ≤ x ≤ 1， x－1，1 < x ≤ 2， 如果对任意的 n∈N+，定 义 fn(x)＝ ，那么 f2 016(2)的值为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】　(1)因为 f(x－2)＝f(x＋2)，所以 f(x)＝f(x＋4)，所以 f(x)是周期为 4 的周期函 数，所以 f(13 2 )＝f(13 2 －8)＝f(－3 2 )，又函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，所以 f(－3 2 )＝－ f(3 2 )＝－[－(3 2 )2 ]＝9 4，所以 f(13 2 )＝9 4.故选 D. (2)因为 f1(2)＝f(2)＝1，f2(2)＝f(1)＝0，f3(2)＝f(0)＝2，所以 fn(2)的值具有周期性，且周 期为 3，所以 f2 016(2)＝f3×672(2)＝f3(2)＝2，故选 C. 【答案】　(1)D　(2)C 函数周期性的判定与应用 (1)判定：判断函数的周期性只需证明 f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且 周期为 T. (2)应用：根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具 体问题时，要注意结论：若 T 是函数的周期，则 kT(k∈Z 且 k≠0)也是函数的周期．　 1．已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)＝－f(x＋2)，当 x∈(0，2]时，f(x)＝2x＋log2x， 则 f(2 019)＝(　　) A．5 B．1 2 C．2 D．－2 解析：选 D.由 f(x)＝－f(x＋2)，得 f(x＋4)＝f(x)，所以函数 f(x)是周期为 4 的周期函数， 所以 f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(1＋2)＝－f(1)＝－(2＋0)＝－2. 2．函数 f(x)满足 f(x＋4)＝f(x)(x∈R)．且在区间(－2，2]上，f(x)＝{cos πx 2 ，0 < x ≤ 2， |x＋1 2 |，－2 < x ≤ 0， 则 f(f(15))的值为________． 解析：由函数 f(x)满足 f(x＋4)＝f(x)(x∈R)， 可知函数 f(x)的周期是 4， 所以 f(15)＝f(－1)＝|－1＋1 2|＝1 2， 所以 f(f(15))＝f(1 2 )＝cosπ 4＝ 2 2 . 答案： 2 2 　　　　　　函数性质的综合问题(多维探究) 角度一　单调性与奇偶性的综合问题 (2019·高考全国卷Ⅲ)设 f(x)是定义域为 R 的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减， 则(　　) A．f(log31 4 )>f(2－ 3 2 )>f(2－ 2 3 ) B．f(log31 4 )>f(2－ 2 3 )>f(2－ 3 2 ) C．f(2－ 3 2 )>f(2－ 2 3 )>f(log31 4 ) D．f(2－ 2 3 )>f(2－ 3 2 )>f(log31 4 ) 【解析】　根据函数 f(x)为偶函数可知，f(log3 1 4)＝f(－log34)＝f(log34)，因为 0<2－ 3 2 <2－ 2 3 <20f(2－ 2 3 )>f(log3 1 4)． 【答案】　C 角度二　周期性与奇偶性的综合问题 (2020·福建龙岩期末)设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，满足 f(x＋1)＝－f(x－ 1)，若 f(－1)>1，f(5)＝a2－2a－4，则实数 a 的取值范围是(　　) A．(－1，3) B．(－∞，－1)∪(3，＋∞) C．(－3，1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞) 【解析】　由 f(x＋1)＝－f(x－1)，可得 f(x＋2)＝－f(x)，则 f(x＋4)＝f(x)，故函数 f(x)的 周期为 4，则 f(5)＝f(1)＝a2－2a－4，又因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数，f(－1)>1，所以 f(1)< －1，所以 a2－2a－4<－1，解得－12 的解集为(　　) A．(2，＋∞)　　　　　　 B．(0， 1 2 )∪(2，＋∞) C.(0， 2 2 )∪( 2，＋∞) D．( 2，＋∞) 解析：选 B.f(x)是 R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，所以 f(x)在(0，＋∞)上是 增函数，因为 f(1)＝2，所以 f(－1)＝2，所以 f(log 2x)>2⇔f(|log2x|)>f(1)⇔|log2x|>1⇔log2 x>1 或 log2x<－1⇔x>2 或 0f(2x－1)成立的 x 的取值范围是 ________； (2)若偶函数 f(x)满足 f(x)＝x3－8(x≥0)，则 f(x－2)>0 的条件为________． 【解析】　(1)易知函数 f(x)的定义域为 R，且 f(x)为偶函数．当 x≥0 时，f(x)＝ln(1＋x)－ 1 1＋x2，易知此时 f(x)是增加的．所以 f(x)>f(2x－1)⇒f(|x|)>f(|2x－1|)，所以|x|>|2x－1|，解得1 30⇒f(|x－2|)>f(2)．所以|x－2|>2，解得 x<0 或 x>4. 【答案】　(1)(1 3，1 )　(2){x|x<0 或 x>4} [基础题组练] 1．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上递增的是(　　) A．y＝1 x　　　　　　　 B．y＝|x|－1 C．y＝lg x D．y＝(1 2 )|x| 解析：选 B.y＝1 x为奇函数；y＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，不具备奇偶性；y＝(1 2 )|x| 在(0，＋∞)上为减函数；y＝|x|－1 在(0，＋∞)上为增函数，且在定义域上为偶函数． 2．设 f(x)为定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时，f(x)＝3x－7x＋2b(b 为常数)，则 f(－2)＝ (　　) A．6 B．－6 C．4 D．－4 解析：选 A.因为 f(x)为定义在 R 上的奇函数，且当 x≥0 时，f(x)＝3x－7x＋2b， 所以 f(0)＝1＋2b＝0， 所以 b＝－1 2. 所以 f(x)＝3x－7x－1， 所以 f(－2)＝－f(2)＝－(32－7×2－1)＝6.选 A. 3．已知函数 y＝f(x)，满足 y＝f(－x)和 y＝f(x＋2)是偶函数，且 f(1)＝π 3，设 F(x)＝f(x)＋ f(－x)，则 F(3)＝(　　) A.π 3 B．2π 3 C．π D．4π 3 解析：选 B.由 y＝f(－x)和 y＝f(x＋2)是偶函数知，f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(－x＋2)＝f(x－ 2)，故 f(x)＝f(x＋4)，则 F(3)＝f(3)＋f(－3)＝2f(3)＝2f(－1)＝2f(1)＝2π 3 ，故选 B. 4．定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x＋3)＝f(x)．若 f(2)>1，f(7)＝a，则实数 a 的取值范 围为(　　) A．(－∞，－3) B．(3，＋∞) C．(－∞，－1) D．(1，＋∞) 解析：选 D.因为 f(x＋3)＝f(x)，所以 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的周期函数，所以 f(7)＝f(7－9)＝f(－2)．又因为函数 f(x)是偶函数， 所以 f(－2)＝f(2)，所以 f(7)＝f(2)>1， 所以 a>1，即 a∈(1，＋∞)．故选 D. 5．(2020·湖南郴州质量检测)已知 f(x)是定义在[2b，1－b]上的偶函数，且在[2b，0]上为 增函数，则 f(x－1)≤f(2x)的解集为(　　) A.[－1， 2 3] B．[－1， 1 3] C．[－1，1] D．[1 3，1 ] 解析：选 B.因为 f(x)是定义在[2b，1－b]上的偶函数，所以 2b＋1－b＝0，所以 b＝－1， 因为 f(x)在[2b，0]上为增函数，即函数 f(x)在[－2，0]上为增函数，故函数 f(x)在(0，2] 上为减函数，则由 f(x－1)≤f(2x)，可得|x－1|≥|2x|，即(x－1)2≥4x2， 解得－1≤x≤1 3.又因为定义域为[－2，2]，所以{－2 ≤ x－1 ≤ 2， －2 ≤ 2x ≤ 2， 解得{－1 ≤ x ≤ 3， －1 ≤ x ≤ 1. 综上，所求不等式的解集为[－1， 1 3].故选 B. 6．若函数 f(x)＝xln(x＋ a＋x2)为偶函数，则 a＝________． 解析：因为 f(x)为偶函数，所以 f(－x)－f(x)＝0 恒成立，所以－xln(－x＋ a＋x2)－xln(x ＋ a＋x2)＝0 恒成立，所以 xln a＝0 恒成立，所以 ln a＝0，即 a＝1. 答案：1 7．(2020·四川乐山模拟)已知函数 f(x)满足：f(－x)＋f(x)＝0，且当 x≥0 时，f(x)＝2＋m 2x － 1，则 f(－1)＝____________． 解析：因为 f(－x)＋f(x)＝0， 所以 f(x)为奇函数， 又当 x≥0 时，f(x)＝2＋m 2x －1， 则 f(0)＝2＋m 1 －1＝0，所以 m＝－1. 所以当 x≥0 时，f(x)＝ 1 2x－1， 所以 f(－1)＝－f(1)＝－(1 2－1 )＝1 2. 答案：1 2 8．定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)＝f(2－x)及 f(x)＝－f(－x)，且在[0，1]上有 f(x)＝x2， 则 f(2 0191 2)＝________． 解析：函数 f(x)的定义域是 R，f(x)＝－f(－x)，所以函数 f(x)是奇函数. 又 f(x)＝f(2－x)， 所以 f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，所以 f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，故函数 f(x)是以 4 为周期的奇函 数，所以 f(2 0191 2)＝f(2 020－1 2)＝f(－1 2 )＝－f(1 2 ).因为在[0，1]上有 f(x)＝x 2 ，所以 f (1 2 )＝(1 2 )2 ＝1 4，故 f(2 0191 2)＝－1 4. 答案：－1 4 9．已知函数 f(x)＝{－x2＋2x，x＞0， 0，x＝0， x2＋mx，x＜0 是奇函数． (1)求实数 m 的值； (2)若函数 f(x)在区间[－1，a－2]上递增，求实数 a 的取值范围． 解：(1)设 x＜0，则－x＞0， 所以 f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x. 又 f(x)为奇函数， 所以 f(－x)＝－f(x)， 于是 x＜0 时， f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx， 所以 m＝2. (2)由(1)可画出 f(x)的图象，知 f(x)在[－1，1]上是增函数，要使 f(x)在[－1，a－2]上递 增． 结合 f(x)的图象知{a－2＞－1， a－2 ≤ 1， 所以 1＜a≤3，故实数 a 的取值范围是(1，3]． 10．设 f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当 0≤x≤1 时，f(x)＝x. (1)求 f(π)的值； (2)当－4≤x≤4 时，求 f(x)的图象与 x 轴所围成的图形的面积． 解：(1)由 f(x＋2)＝－f(x)，得 f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)， 所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数． 所以 f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4) ＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由 f(x)是奇函数与 f(x＋2)＝－f(x)， 得 f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]， 即 f(1＋x)＝f(1－x)． 从而可知函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝1 对称． 又当 0≤x≤1 时，f(x)＝x，且 f(x)的图象关于原点成中心对称，则 f(x)的图象如图所 示． 设当－4≤x≤4 时，f(x)的图象与 x 轴围成的图形面积为 S，则 S＝4S △ OAB ＝4× (1 2 × 2 × 1)＝4. [综合题组练] 1．(2020·广东湛江一模)已知函数 g(x)＝f(2x)－x2 为奇函数，且 f(2)＝1，则 f(－2)＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：选 C.因为 g(x)为奇函数，且 f(2)＝1，所以 g(－1)＝－g(1)，所以 f(－2)－1＝－f(2) ＋1＝－1＋1＝0，所以 f(－2)＝1.故选 C. 2．函数 y＝f(x)在[0，2]上是增加的，且函数 f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是(　　) A．f(1)