【数学】2019届一轮复习人教A版（理科）第45讲立体几何中的向量方法第1课时学案 11页

第1课时　空间角的求法 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎【课堂考点探究】‎ 例1　[思路点拨 (1)建立空间直角坐标系,确定相关点的坐标,利用两直线的方向向量求解;(2)利用题中两两垂直的三条直线,建立空间直角坐标系,用坐标表示向量,,利用向量的夹角公式可求得两异面直线的夹角的余弦值.‎ ‎(1)B　(2)　[解析 (1)如图所示,以D为坐标原点,以DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD1所在直线为 轴,建立空间直角坐标系,设正方体ABCD -A1B‎1C1D1的棱长为2,易得E(2,2,1),F(1,1,2),D(0,0,0),A1(2,0,2),∴=(-1,-1,1),=(2,0,2),∴·=-2+2=0,∴⊥,故选B.‎ ‎(2)因为直线AF⊥平面ABCD,AB⊥AD,所以以A为坐标原点,分别以AB,AD,AF所在的直线为x轴、y轴、 轴,建立空间直角坐标系如图所示,则E,0,1,B(1,0,0),P0,1, ,C(1,2,0),‎ ‎∴=-,0,1,=-1,-1, ,‎ cos<,>===,则异面直线BE与CP所成角的余弦值是.‎ 变式题　解:在平面ABCD内,过点A作AE⊥AD,交BC于点E.‎ 因为AA1⊥平面ABCD,‎ 所以AA1⊥AE,AA1⊥AD.‎ 如图所示,以A为坐标原点,建立空间直角坐标系A-xy .‎ 因为AB=AD=2,AA1=,∠BAD=120°,‎ 所以A(0,0,0),B(,-1,0),A1(0,0,),C1(,1,),‎ 所以=(,-1,-),=(,1,),‎ 则cos<,>=‎ ‎==-,‎ 因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为.‎ 例2　[思路点拨 (1)由已知,得EB∥FD,即B,D,F,E四点共面,则要证明EF⊥AC,需证明AC与平面BDFE垂直;(2)建立空间直角坐标系,求出直线CE的方向向量和平面ABF的法向量,将问题转化为求解两个向量的夹角的余弦值.‎ 解:(1)证明:连接BD,‎ 因为四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD.‎ 因为FD⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,‎ 所以AC⊥FD.‎ 因为BD∩FD=D,所以AC⊥平面BDF.‎ 因为EB⊥平面ABCD,FD⊥平面ABCD,所以EB∥FD.‎ 所以B,D,F,E四点共面,‎ 所以EF⊂平面BDFE,所以EF⊥AC.‎ ‎(2)如图,以D为坐标原点,分别以,的方向为y轴、 轴的正方向,建立空间直角坐标系D - xy .‎ 易得Aa,- a,0,Ba, a,0,F0,0,a,C(0,a,0),Ea, a,a,‎ 所以=(0,a,0),=-a, a,a.‎ 设平面ABF的法向量为n=(x,y, ),‎ 则即 不妨取x=1,则平面ABF的一个法向量为n=(1,0,1). ‎ 因为=a,- a,a,‎ 所以|cos|==,‎ 所以直线CE与平面ABF所成角的正弦值为.‎ 变式题　解:(1)证明:由已知得AM=AD=2.‎ 取BP的中点T,连接AT,TN,‎ 由N为PC的中点知TN∥BC,TN=BC=2.‎ 又AD∥BC,所以TNAM,‎ 故四边形AMNT为平行四边形,于是MN∥AT.‎ 因为AT⊂平面PAB,MN⊄平面PAB,‎ 所以MN∥平面PAB.‎ ‎(2)取BC的中点E,连接AE.由AB=AC得AE⊥BC,从而AE⊥AD,且AE===.‎ 以A为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系A - xy ,由题意知,P(0,0,4),M(0,2,0),C(,2,0),N,1,2,=(0,2,-4),=,1,-2,=,1,2.‎ 设n=(x,y, )为平面PMN的法向量,则 即可取n=(0,2,1),‎ 于是|cos|==.‎ 故直线AN与平面PMN所成角的正弦值为.‎ 例3　[思路点拨 (1)证明平面PAB⊥平面PAD,转化为证明平面PAB内的直线AB⊥平面PAD;(2)建立空间直角坐标系,分别求解平面PAB和平面PBC的法向量,把求二面角A - PB - C的余弦值转化为求平面PAB的法向量与平面PBC的法向量的余弦值.‎ 解:(1)证明:由已知∠BAP=∠CDP=90°,得AB⊥AP,CD⊥PD.‎ 由于AB∥CD,故AB⊥PD,从而AB⊥平面PAD.‎ 又AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.‎ ‎(2)在平面PAD内作PF⊥AD,垂足为F.‎ 由(1)可知,AB⊥平面PAD,故AB⊥PF,可得PF⊥平面ABCD.‎ 以F为坐标原点,的方向为x轴正方向,||为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系F-xy .‎ 由(1)及已知可得A,P,B,C,‎ 所以=,=(,0,0),=,=(0,1,0).‎ 设n=(x,y, )是平面PCB的法向量,则 即 可取n=(0,-1,-).‎ 设m=(x1,y1, 1)是平面PAB的法向量,则 即 可取m=(1,0,1),‎ 则cos==-,‎ 所以二面角A-PB-C的余弦值为-.‎ 变式题　解:(1)证明:取PA的中点F,连接EF,BF.‎ 因为E是PD的中点,所以EF∥AD,EF=AD.‎ 由∠BAD=∠ABC=90°得BC∥AD,‎ 又BC=AD,所以EFBC,‎ 四边形BCEF是平行四边形,CE∥BF,‎ 又BF⊂平面PAB,CE⊄平面PAB,故CE∥平面PAB.‎ ‎(2)由已知得BA⊥AD,以A为坐标原点,的方向为x轴正方向,||为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系A-xy ,则 A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,),=(1,0,-),=(1,0,0).‎ 设M(x,y, )(0|=sin 45°,=,‎ 即(x-1)2+y2- 2=0.①‎ 又M在棱PC上,设=λ,则 x=λ,y=1, =-λ.②‎ 由①②解得(舍去)或 所以M,‎ 从而=.‎ 设m=(x0,y0, 0)是平面ABM的法向量,则 即 所以可取m=(0,-,2).‎ 于是cos==,‎ 因此二面角M-AB-D的余弦值为.‎ ‎【备选理由】用空间向量求空间角是本讲次的主要内容,下面的例1就是用空间向量求解异面直线所成角的具体应用问题,例2是用空间向量求解线面角的问题,例3是用空间向量求解二面角的问题.‎ ‎1　[配合例1使用 如图所示,直角三角形ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=60°,点F在斜边AB上,且AB=4AF.D,E是平面ABC同一侧的两点,AD⊥平面ABC,BE⊥平面ABC,AD=3,AC=BE=4.‎ ‎(1)求证:平面CDF⊥平面CEF;‎ ‎(2)点M在线段BC上,异面直线CF与EM所成角的余弦值为,求CM的长.‎ 解:(1)证明:∵直角三角形ABC中,∠BAC=60°,AC=4,∴AB=8,AF=AB=2,‎ 由余弦定理得CF=2且CF⊥AB.‎ 连接DE.∵AD⊥平面ABC,CF⊂平面ABC,‎ ‎∴AD⊥CF.‎ 又AD∩AB=A,∴CF⊥平面DABE,‎ ‎∴CF⊥DF,CF⊥EF,‎ ‎∴∠DFE为二面角D-CF-E的平面角.‎ 又AF=2,AD=3,BE=4,BF=6,‎ 故Rt△ADF∽Rt△BFE,∴∠ADF=∠BFE,‎ ‎∴∠AFD+∠BFE=∠AFD+∠ADF=90°,‎ ‎∴∠DFE=90°,即D-CF-E为直二面角,‎ ‎∴平面CDF⊥平面CEF.‎ ‎(2)以C为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系C-xy ,‎ 则C(0,0,0),B(0,4,0),E(0,4,4),‎ F(3,,0),M(0,a,0)(0≤a≤4),‎ ‎∴=(3,,0),=(0,a-4,-4).‎ ‎∵异面直线CF与EM所成角的余弦值为,∴|cos<,>|===,解得a=,故CM=.‎ ‎2　[配合例2使用 如图所示,在三棱柱ABC-A1B‎1C1中,CA=CB,侧面ABB‎1A1是边长为2的正方形.点E,F分别在线段AA1,A1B1上,且AE=,A‎1F=,CE⊥EF.‎ ‎(1)证明:平面ABB‎1A1⊥平面ABC;‎ ‎(2)若CA⊥CB,求直线AC1与平面CEF所成角的正弦值.‎ 解:(1)证明:取线段AB的中点M,连接EM,CM.‎ 在正方形ABB‎1A1中,AM=1,A1E=,‎ 在Rt△EAM和Rt△FA1E中,==,‎ 又∠EAM=∠FA1E=,‎ ‎∴Rt△EAM∽Rt△FA1E,‎ ‎∴∠AEM=∠A1FE,‎ 从而∠AEM+∠A1EF=∠A1FE+∠A1EF=,‎ ‎∴∠FEM=,即EF⊥EM.‎ 又EF⊥CE,ME∩CE=E,∴EF⊥平面CEM.‎ ‎∵CM⊂平面CEM,∴CM⊥EF,‎ 在等腰三角形CAB中,CM⊥AB,‎ 又AB与EF相交,∴CM⊥平面ABB‎1A1.‎ ‎∵CM⊂平面ABC,‎ ‎∴平面ABB‎1A1⊥平面ABC.‎ ‎(2)在等腰三角形CAB中,由CA⊥CB,AB=2,‎ 知CA=CB=,且CM=1,‎ 记线段A1B1的中点为N,连接MN,由(1)知,MC,MA,MN两两垂直.‎ 以M为坐标原点,分别以,,为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系M-xy ,则C(1,0,0),E,F,A(0,1,0),C1(1,0,2),‎ 设平面CEF的法向量为n=(x,y, ),则n⊥,n⊥,‎ 即 ⇒ ‎ 取 =2,则y=4,x=5,从而得到平面CEF的一个法向量为n=(5,4,2).‎ ‎=(1,-1,2),记直线AC1与平面CEF所成角为θ,‎ 则sin θ=|cos<,n>|===.‎ 故直线AC1与平面CEF所成角的正弦值为.‎ ‎3　[配合例3使用 如图所示,三棱柱ABC-A1B‎1C1中,AB=AC=AA1=BC1=2,∠AA‎1C1=60°,平面ABC1⊥平面AA‎1C1C,AC1与A‎1C相交于点D.‎ ‎(1)求证:BD⊥平面AA‎1C1C;‎ ‎(2)求二面角C1-AB-C的余弦值.‎ 解:(1)证明:依题意知,侧面AA‎1C1C是菱形,D是AC1的中点,因为BA=BC1,所以BD⊥AC1.‎ 又平面ABC1⊥平面AA‎1C1C,且BD⊂平面ABC1,平面ABC1∩平面AA‎1C1C=AC1,‎ 所以BD⊥平面AA‎1C1C.‎ ‎(2)以D为原点,建立空间直角坐标系D-xy ,如图所示,‎ 由已知可得AC1=2,AD=1,BD=A1D=DC=,BC=,故D,A,B,C1(-1,0,0),C,‎ 则=,=.‎ 设平面ABC的法向量是n=,‎ 则即解得 ‎ 令 =1,得n=,‎ 显然=是平面ABC1的一个法向量,‎ 所以cos===,‎ 即二面角C1-AB-C的余弦值是.‎