2018届二轮复习　立体几何中的探索性与存在性问题学案（全国通用） 5页

难点二　‎ 立体几何中的探索性与存在性问题 ‎(对应 生用书第65页)‎ 数 考试大纲指出，通过考试，让 生提高多种能力，其中空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力．要在立体几何 习中形成．立体几何中的探索性与存在性问题实质是对线面平行与垂直性质定理的考查．‎ 探究性与存在性问题常常是条件不完备的情况下探讨某些结论能否成立，立体几何中的探究性与存在性问题既能够考查 生的空间想象能力，又可以考查 生的意志力及探究的能力．‎ ‎1．对命题条件的探索 探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么．对命题条件的探索常采用以下三种方法：‎ ‎(1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再给出证明；‎ ‎(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性；‎ ‎(3)把几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件．‎ ‎【例1】　如图1，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝AD，E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.‎ 在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由. ‎ ‎【导 号：56394092】‎ 图1‎ ‎[解]　在梯形ABCD中，AB与CD不平行．如图，延长AB，DC，相交于点M(M∈平面PAB)，点M即为所求的一个点．‎ 理由如下：‎ 由已知，知BC∥ED，且BC＝ED，‎ 所以四边形BCDE是平行四边形，‎ 从而CM∥EB.‎ 又EB⊂平面PBE，CM⊄平面PBE，‎ 所以CM∥平面PBE.‎ ‎(说明：延长AP至点N，使得AP＝PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点)‎ ‎[思路分析]　证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法(若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面．解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；(2)证明线面平行常用方法：一是利用线面平行的判定定理，二是利用面面平行的性质定理，三是利用面面平行的性质；(3)证明两个平面垂直，首先考虑直线与平面垂直，也可以简单记为“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明类似，掌握化归与转化思想方法是解决这类题的关键．‎ ‎[点评]　这类探索性题型通常是找命题成立的一个充分条件，所以解这类题采用下列二种方法：(1)通过各种探索尝试给出条件；(2)找出命题成立的必要条件，也证明充分性．‎ ‎2．对命题结论的探索 探索结论，即在给定的条件下命题的结论是什么．对命题结论的探索，常从条件出发，探索出要求的结论是什么，另外还有探索的结论是否存在．求解时，常假设结论存在，再寻找与条件相容还是矛盾的结论．‎ ‎【例2】　如图2，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.‎ 图2‎ ‎(1)求证：DC⊥平面PAC；‎ ‎(2)求证：平面PAB⊥平面PAC；‎ ‎(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．‎ ‎[解]　(1)证明：因为PC⊥平面ABCD，‎ 所以PC⊥DC.‎ 又因为DC⊥AC，且PC∩AC＝C，‎ 所以DC⊥平面PAC.‎ ‎(2)证明：因为AB∥DC，DC⊥AC，‎ 所以AB⊥AC.‎ 因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥AB.‎ 又因为PC∩AC＝C，所以AB⊥平面PAC.‎ 又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC.‎ ‎(3)棱PB上存在点F，使得PA∥平面CEF.‎ 理由如下：取PB的中点F，连接EF，CE，CF.‎ 又因为E为AB的中点，所以EF∥PA.‎ 又因为PA⊄平面CEF，且EF⊂平面CEF，‎ 所以PA∥平面CEF.‎ ‎[点评]　‎ 对于立体几何的探索性与存在性问题一般都是条件开放性的探究问题，采用的方法一般是执果索因的方法，假设求解的结果存在，寻找使这个结论成立的充分条件，运用方程的思想或向量的方法转化为代数的问题解决．如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符合题目结果要求的条件，或出现了矛盾，则不存在．‎ ‎ ‎