【数学】2018届一轮复习人教A版参数方程教案 9页

第二节　参数方程 ‎————————————————————————————————‎ ‎[考纲传真]　1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程．‎ ‎1．曲线的参数方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．‎ ‎2．参数方程与普通方程的互化 通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．‎ ‎3．常见曲线的参数方程和普通方程 点的轨迹 普通方程 参数方程 直线 y－y0＝tan α(x－x0)‎ (t为参数)‎ 圆 x2＋y2＝r2‎ (θ为参数)‎ 椭圆 ＋＝1(a>b>0)‎ (φ为参数)‎ 温馨提示：在直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离．‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)参数方程中的x，y都是参数t的函数．(　　)‎ ‎(2)过M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段的数量．(　　)‎ ‎(3)方程表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．(　　)‎ ‎(4)已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的斜率为.(　　)‎ ‎[答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×‎ ‎2．(教材改编)曲线(θ为参数)的对称中心(　　)‎ A．在直线y＝2x上　　　　　 B．在直线y＝－2x上 C．在直线y＝x－1上 D．在直线y＝x＋1上 B　[由得 所以(x＋1)2＋(y－2)2＝1.‎ 曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，‎ 所以对称中心为(－1,2)，在直线y＝－2x上．]‎ ‎3．(教材改编)在平面直角坐标系中，曲线C：(t为参数)的普通方程为________．‎ x－y－1＝0　[由x＝2＋t，且y＝1＋t，‎ 消去t，得x－y＝1，即x－y－1＝0.]‎ ‎4．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C2的参数方程为(t为参数)，则C1与C2交点的直角坐标为________．‎ ‎(2，－4)　[由ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，得x＋y＝－2.①‎ 由消去t得y2＝8x.②‎ 联立①②得即交点坐标为(2，－4)．]‎ ‎5．(2016·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的参数方程为(θ为参数)．设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．‎ ‎[解]　椭圆C的普通方程为x2＋＝1.2分 将直线l的参数方程代入x2＋＝1，得2＋＝1，即7t2＋16t＝0，8分 解得t1＝0，t2＝－，所以AB＝|t1－t2|＝.10分 参数方程与普通方程的互化 ‎　已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎(1)求直线l和圆C的普通方程；‎ ‎(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．‎ ‎[解]　(1)直线l的普通方程为2x－y－2a＝0，2分 圆C的普通方程为x2＋y2＝16.4分 ‎(2)因为直线l与圆C有公共点，‎ 故圆C的圆心到直线l的距离d＝≤4，8分 解得－2≤a≤2.10分 ‎[规律方法]　1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数．‎ ‎2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响，要保持同解变形．‎ ‎[变式训练1]　在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，求常数a的值. 【导学号：31222440】‎ ‎[解]　直线l的普通方程为x－y－a＝0，‎ 椭圆C的普通方程为＋＝1，4分 所以椭圆C的右顶点坐标为(3,0)，‎ 若直线l过椭圆的右顶点(3,0)，‎ 则3－0－a＝0，所以a＝3.10分 参数方程的应用 ‎　已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数). ‎ ‎【导学号：31222441】‎ ‎(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；‎ ‎(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．‎ ‎[解]　(1)曲线C的参数方程为(θ为参数)．‎ 直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.4分 ‎(2)曲线C上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到l的距离为d＝|4cos θ＋3sin θ－6|，‎ 则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝.8分 当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.‎ 当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.10分 ‎[规律方法]　1.解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决问题．‎ ‎2．对于形如(t为参数)，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题．‎ ‎[变式训练2]　(2017·石家庄质检)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(θ为参数)，直线l经过点P(1,2)，倾斜角α＝.‎ ‎(1)写出圆C的普通方程和直线l的参数方程；‎ ‎(2)设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值．‎ ‎[解]　(1)由消去θ，‎ 得圆C的普通方程为x2＋y2＝16.2分 又直线l过点P(1,2)且倾斜角α＝，‎ 所以l的参数方程为即(t为参数).4分 ‎(2)把直线l的参数方程代入x2＋y2＝16，‎ 得2＋2＝16，t2＋(＋2)t－11＝0，‎ 所以t1t2＝－11，8分 由参数方程的几何意义，|PA|·|PB|＝|t1t2|＝11.10分 参数方程与极坐标方程的综合应用 ‎　(2016·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2.‎ ‎(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．‎ ‎[解]　(1)C1的普通方程为＋y2＝1，2分 由于曲线C2的方程为ρsin＝2，‎ 所以ρsin θ＋ρcos θ＝4，‎ 因此曲线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.4分 ‎(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos α，sin α)．‎ 因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值，8分 又d(α)＝＝，‎ 当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为.10分 ‎[规律方法]　1.参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．‎ ‎2．数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，可化繁为简．‎ ‎[变式训练3]　(2017·石家庄市质检)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sin θ－2cos θ.‎ ‎(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)若直线l与y轴的交点为P，直线l与曲线C的交点为A，B，求|PA||PB|的值．‎ ‎[解]　(1)直线l的普通方程为x－y＋3＝0，‎ ‎∵ρ2＝4ρsin θ－2ρcos θ，‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.4分 ‎(2)将直线l的参数方程(t为参数)代入曲线C：(x＋1)2＋(y－2)2＝5，得到t2＋2t－3＝0，8分 ‎∴t1t2＝－3，‎ ‎∴|PA||PB|＝|t1t2|＝3.10分 ‎[思想与方法]‎ ‎1．参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，经常用到公式：cos2θ＋sin2θ＝1,1＋tan2θ＝.‎ ‎2．利用曲线的参数方程求解两曲线间的最值问题是行之有效的好方法．‎ ‎3．将参数方程化为普通方程，将极坐标方程化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题求解，化生为熟，充分体现了转化与化归思想的应用．‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1．将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性．在消去参数的过程中，要注意x，y的取值范围．‎ ‎2．确定曲线的参数方程时，一定要根据实际问题的要求确定参数的取值范围，必要时通过限制参数的范围去掉多余的解．‎ ‎3．设过点M(x0，y0)的直线l交曲线C于A，B两点，若直线的参数方程为(t为参数)注意以下两个结论的应用：‎ ‎(1)|AB|＝|t1－t2|；‎ ‎(2)|MA|·|MB|＝|t1·t2|.‎ 课时分层训练(六十八)　参数方程 ‎1．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(t为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系 xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴)中，直线l的方程为ρsin＝m(m∈R). ‎ ‎【导学号：31222442】‎ ‎(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；‎ ‎(2)设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．‎ ‎[解]　(1)消去参数t，得到圆C的普通方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9.2分 由ρsin＝m，得ρsin θ－ρcos θ－m＝0，‎ 所以直线l的直角坐标方程为x－y＋m＝0.4分 ‎(2)依题意，圆心C到直线l的距离等于2，8分 即＝2，‎ 解得m＝－3±2.10分 ‎2．极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝8cos θ. 【导学号：31222443】‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，求弦长|AB|.‎ ‎[解]　(1)由ρsin2θ＝8cos θ，得ρ2sin2θ＝8ρcos θ，‎ 故曲线C的直角坐标方程为y2＝8x.4分 ‎(2)将直线l的方程化为标准形式6分 代入y2＝8x，并整理得3t2－16t－64＝0，t1＋t2＝，t1t2＝－.8分 所以|AB|＝|t1－t2|＝＝.10分 ‎3．(2016·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.‎ ‎(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；‎ ‎(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝，求l的斜率．‎ ‎[解]　(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.4分 ‎(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．‎ 设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0，‎ 于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.8分 ‎|AB|＝|ρ1－ρ2|＝ ‎＝.‎ 由|AB|＝得cos2α＝，tan α＝±.‎ 所以l的斜率为或－.10分 ‎4．(2014·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈.‎ ‎(1)求C的参数方程；‎ ‎(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．‎ ‎[解]　(1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．‎ 可得C的参数方程为(t为参数，0≤t≤π).4分 ‎(2)设D(1＋cos t，sin t)，由(1)知C是以C(1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C在点D处的切线与l垂直，‎ 所以直线CD与l的斜率相同，tan t＝，t＝.8分 故D的直角坐标为，‎ 即.10分 ‎5．(2017·湖北七市三联)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin＝，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2acos(a＞0)．‎ ‎(1)求直线l与曲线C1的交点的极坐标(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)；‎ ‎(2)若直线l与C2相切，求a的值．‎ ‎[解]　(1)曲线C1的普通方程为y＝x2，x∈[－，]，直线l的直角坐标方程为x＋y＝2，‎ 联立解得或(舍去)．‎ 故直线l与曲线C1的交点的直角坐标为(1,1)，其极坐标为.4分 ‎(2)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2＋2ax－2ay＝0，即 ‎(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2(a＞0).8分 由直线l与C2相切，得＝a，故a＝1.10分 ‎6．(2017·福州质检)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin＝.‎ ‎(1)求C的普通方程和l的倾斜角；‎ ‎(2)设点P(0,2)，l和C交于A，B两点，求|PA|＋|PB|.‎ ‎[解]　(1)由消去参数α，得＋y2＝1，‎ 即C的普通方程为＋y2＝1.2分 由ρsin＝，得ρsin θ－ρcos θ＝2，(*)‎ 将代入(*)，化简得y＝x＋2，‎ 所以直线l的倾斜角为.4分 ‎(2)由(1)知，点P(0,2)在直线l上，可设直线l的参数方程为(t为参数)，‎ 即(t为参数)，‎ 代入＋y2＝1并化简，得5t2＋18t＋27＝0，‎ Δ＝(18)2－4×5×27＝108＞0，8分 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，‎ 则t1＋t2＝－＜0，t1t2＝＞0，所以t1＜0，t2＜0，‎ 所以|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝－(t1＋t2)＝.10分