2020届二轮复习平面向量、三角函数与解角形课时作业（全国通用） 12页

阶段质量检测（一） 平面向量、三角函数与解三角形 ‎(时间：120分钟　满分：150分)‎ 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．(2018·金华期末)函数y＝2sin2－1是(　　)‎ A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为2π的奇函数 C．最小正周期为π的偶函数 D．最小正周期为2π的偶函数 解析：选A　因为函数y＝2sin2－1＝－＝－cos＝‎ ‎－sin 2x，所以函数是最小正周期为＝π的奇函数．‎ ‎2．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，若a∥b，则|‎2a＋3b|＝(　　)‎ A.　　　　　　　 　B．4 C．3 D．2 解析：选B　依题意得，＝，所以m＝－4,‎2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)，故|‎2a＋3b|＝＝4.‎ ‎3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos Asin C，则下列等式成立的是(　　)‎ A．a＝2b B．b＝‎‎2a C．A＝2B D．B＝‎‎2A 解析：选A　由题意可知sin B＋2sin Bcos C＝sin Acos C＋sin(A＋C)，即2sin Bcos C＝sin Acos C，又cos C≠0，故2sin B＝sin A，由正弦定理可知a＝2b.‎ ‎4．(2018·柯桥区二模)已知不共线的两个非零向量a，b，满足|a＋b|＝|‎2a－b|，则(　　)‎ A．|a|<|2b| B．|a|>|2b|‎ C．|b|<|a－b| D．|b|>|a－b|‎ 解析：选A　∵|a＋b|＝|‎2a－b|，‎ ‎∴a2＋‎2a·b＋b2＝‎4a2－‎4a·b＋b2，‎ ‎∴‎6a·b＝‎3a2，‎ ‎∴a2＝‎2a·b，‎ ‎|a|2＝2|a|×|b|cos θ，其中θ为a、b的夹角；‎ ‎∴|a|＝2|b|cos θ，‎ 又a，b是不共线的两个非零向量，‎ ‎∴|a|<|2b|.‎ ‎5．(2019届高三·镇海中学检测)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b－c＝a,2sin B＝3sin C，则cos A＝(　　)‎ A．－ B． C． D． 解析：选A　在△ABC中，∵b－c＝a,2sin B＝3sin C，利用正弦定理可得2b＝‎3c，则a＝‎2c，b＝c.‎ 再由余弦定理可得 cos A＝＝＝－.‎ ‎6．(2018·浦江模拟)已知平面向量a，b，c，满足＋＝，且|a|＋|b|＋|c|＝4，则c·(a＋b)的最大值为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：选B　由＋＝，可得a与b夹角为120°，且c与a，b成等角，均为60°，‎ 设|a|＝a，|b|＝b，|c|＝c，‎ 由|a|＋|b|＋|c|＝4，得a＋b＋c＝4，则0a，c>b，‎ ‎∴·＋·＋· ‎＝accos(π－B)＋abcos(π－C)＋bccos(π－A)<－abcos B－abcos C－abcos A ‎＝－ab(cos B＋cos C＋cos A)‎ ‎＝－ab[cos A＋cos B－cos(A＋B)]‎ ‎＝－ab(cos A＋cos B－cos Acos B＋sin Asin B)‎ ‎＝－ab[cos A＋cos B(1－cos A)＋sin Asin B]．‎ ‎∵A，B是锐角，‎ ‎∴cos A>0，cos B>0，且1－cos A>0，sin Asin B>0，‎ ‎∴·＋·＋·<0.‎ ‎9．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象在y轴右侧的第一个最高点为P eq lc( c)(avs4alco1(f(π,6)，1))，在原点右侧与x轴的第一个交点为Q，则f的值为(　　)‎ A．1 B． C． D． 解析：选C　由题意得＝－＝，所以T＝π，所以ω＝2，则f(x)＝sin(2x＋φ)，将点P代入f(x)＝sin(2x＋φ)，得sin＝1，所以φ＝＋2kπ(k∈Z)．又|φ|<，所以φ＝，即f(x)＝sin(x∈R)，所以f＝sin＝sin＝，选C.‎ ‎10．(2018·宁波模拟)已知O为锐角△ABC的外心，||＝3，||＝2，若＝x＋y，且9x＋12y＝8，记I1＝·，I2＝·，I3＝·，则(　　)‎ A．I2AC>AB.‎ 在△ABC中，由大边对大角得，∠BAC>∠ABC>∠ACB，∴∠BOC>∠AOC>∠AOB，‎ ‎∵||＝||＝||，且余弦函数在(0，π)上为减函数，‎ ‎∴·<·<·，即I20，‎ 故λ＋μ在上是增函数，‎ ‎∴当θ＝0，即cos θ＝1时，λ＋μ取最小值为＝.‎ 答案：[0,1]　 三、解答题(本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎18．(本小题满分14分)(2018·杭州期中)在平面直角坐标系xOy中，A(1,0)，B(0，1)，C(2,5)，D是AC上的动点，满足＝λ(λ∈R)．　‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)求cos∠BAC；‎ ‎(3)若⊥，求实数λ的值．‎ 解：(1)∵2＋＝2(－1,1)＋(1,5)＝(－1,7)，‎ ‎∴|2＋|＝＝5.‎ ‎(2)cos∠BAC＝＝＝.‎ ‎(3)∵＝λ(λ∈R)．‎ ‎∴＝－＝λ－＝λ(1,5)－(－1,1)＝(λ＋1，5λ－1)．‎ ‎∵⊥，∴(λ＋1)×1－(5λ－1)＝0.‎ 解得λ＝.‎ ‎19．(本小题满分15分)(2018·台州五月适应性考试)已知函数f(x)＝sin xcos x－sin2x＋，x∈R.‎ ‎(1)求f(x)的单调递增区间及f(x)图象的对称轴方程；‎ ‎(2)若α，β∈(0，π)，α≠β，且f(α)＝f(β)，求α＋β的值．‎ 解：(1)f(x)＝sin xcos x－sin2x＋＝sin 2x＋cos 2x＝sin，‎ 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，‎ 得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，‎ 所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．‎ 由2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，‎ 故f(x)图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．‎ ‎(2)由f(α)＝f(β)，得sin＝sin，‎ sin＝sin，‎ 展开整理得，cossin(α－β)＝0.‎ 因为α，β∈(0，π)，α≠β，所以sin(α－β)≠0，‎ 所以cos＝0，‎ 所以α＋β＋＝kπ＋(k∈Z)，‎ 即α＋β＝kπ＋(k∈Z)．‎ 因为α，β∈(0，π)，‎ 所以0＜α＋β＜2π，‎ 故α＋β＝或.‎ ‎20．(本小题满分15分)(2018·杭州期末)设A是单位圆O和x轴正半轴的交点，P，Q是圆O上两点，O为坐标原点，∠AOP＝，‎ ‎∠AOQ＝α，α∈.‎ ‎(1)若Q，求cos的值；‎ ‎(2)设函数f(α)＝sin α·(·)，求f(α)的值域．‎ 解：(1)由已知得cos α＝，sin α＝，‎ ‎∴cos＝×＋×＝.‎ ‎(2)∵＝，＝(cos α，sin α)，‎ ‎∴·＝cos α＋sin α，‎ ‎∴f(α)＝sin αcos α＋sin2α＝sin 2α－cos2α＋＝sin＋.‎ ‎∵α∈，‎ ‎∴2α－∈，‎ ‎∴当2α－＝－时，‎ f(α)取得最小值×＋＝0，‎ 当2α－＝时，f(α)取得最大值×1＋＝.‎ ‎∴f(α)的值域是.‎ ‎21．(本小题满分15分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 ‎2asin Csin B＝asin A＋bsin B－csin C.‎ ‎(1)求角C的大小；‎ ‎(2)若acos＝bcos(2kπ＋A)(k∈Z)且a＝2，求△ABC的面积．‎ 解：(1)由2asin Csin B＝asin A＋bsin B－csin C及正弦定理，得2absin C＝a2＋b2－c ‎2，‎ ‎∴sin C＝，‎ ‎∴sin C＝cos C，‎ ‎∴tan C＝，∴C＝.‎ ‎(2)由acos＝bcos(2kπ＋A)(k∈Z)，‎ 得asin B＝bcos A，‎ 由正弦定理得sin Asin B＝sin Bcos A，‎ ‎∴sin A＝cos A，∴A＝，‎ 根据正弦定理可得＝，解得c＝，‎ ‎∴S△ABC＝acsin B＝×2×sin(π－A－C)＝sin＝.‎ ‎22．(本小题满分15分)已知向量a＝(2,2)，向量b与向量a的夹角为，且a·b＝－2.‎ ‎(1)求向量b；‎ ‎(2)若t＝(1,0)，且b⊥t，c＝，其中A，B，C是△ABC的内角，若A，B，C依次成等差数列，试求|b＋c|的取值范围．‎ 解：(1)设b＝(x，y)，则a·b＝2x＋2y＝－2，且|b|＝＝1＝ ，‎ 联立方程组解得或 ‎∴b＝(－1,0)或b＝(0，－1)．‎ ‎(2)∵b⊥t，且t＝(1,0)，∴b＝(0，－1)．‎ ‎∵A，B，C依次成等差数列，∴B＝.‎ ‎∴b＋c＝＝(cos A，cos C)，‎ ‎∴|b＋c|2＝cos‎2A＋cos‎2C＝1＋(cos ‎2A＋cos ‎2C)‎ ‎＝1＋ ‎＝1＋ ‎＝1＋cos.‎ ‎∵A∈，则‎2A＋∈，‎ ‎∴－1≤cos<，‎ ‎∴≤|b＋c|2<，‎ 故≤|b＋c|<.‎ ‎∴|b＋c|的取值范围为.‎