【数学】山东省威海市2020届高三年级高考模拟考（二模）试题 14页

山东省威海市2020届高三年级高考模拟考（二模）‎ 数学试题 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，‎ 只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.已知集合，，则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知复数在复平面内对应的点在直线上，则实数( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.若且，，则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）.二十四节气及晷长变 化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则说法不正确的是( )‎ A.相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺 ‎ B.春分和秋分两个节气的晷长相同 ‎ C.立冬的晷长为一丈五寸 D.立春的晷长比立秋的晷长短 ‎5.有三个筐，一个装着柑子，一个装着苹果，一个装着柑子和苹果，包装封好. 然后做“柑子”“苹果”“混装”三个标签，分别贴到上述三个筐上，由于马虎，结果全贴错了，则 A.从贴有“柑子”标签的筐里拿出一个水果，就能纠正所有的标签 B.从贴有“苹果”标签的筐里拿出一个水果，就能纠正所有的标签 C.从贴有“混装”标签的筐里拿出一个水果，就能纠正所有的标签 D.从其中一个筐里拿出一个水果，不可能纠正所有的标签 ‎6.已知向量，将绕原点逆时针旋转到的位置，则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.已知函数对任意，都有，且，则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.已知正四棱柱，设直线与平面所成的角为，直线与直线所成的角为，则( )‎ A. B. C. D.‎ 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.‎ 性别 甲专业报考人数 乙专业报考人数 性别 甲专业录取率 乙专业录取率 男 ‎100‎ ‎400‎ 男 ‎25%‎ ‎45%‎ 女 ‎300‎ ‎100‎ 女 ‎30%‎ ‎50%‎ ‎9.随着我国经济结构调整和方式转变，社会对高质量人才的需求越来越大，因此考研现象在我国不断升温. 某大学一学院甲、乙两个本科专业，研究生的报考和录取情况如下表，则( )‎ A.甲专业比乙专业的录取率高 B.乙专业比甲专业的录取率高 ‎ C.男生比女生的录取率高 D.女生比男生的录取率高 ‎ ‎10.已知函数，将的图像上所有点向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到函数的图像. 若为偶函数，且最小正周期为，则( )‎ A.图像关于点对称 B.在单调递增 ‎ C.在有且仅有个解 D.在有且仅有个极大值点 ‎ ‎11.已知抛物线上三点为抛物线的焦点，则( )‎ A.抛物线的准线方程为 ‎ B.若，则，，成等差数列 C.若，，三点共线，则 ‎ D.若，则的中点到轴距离的最小值为2 ‎ ‎12.已知函数的定义域为，导函数为，若，且 ‎，则( )‎ A. B.在处取得极大值 C. D.在单调递增 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.的展开式中的系数为________.‎ ‎14.已知是平面，外的直线，给出下列三个论断，①；②；③. 以其中两个论断为条件，余下的论断为结论，写出一个正确命题：________.（用序号表示）‎ ‎15.已知双曲线，过左焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，以，为圆心的两圆与双曲线的同一条渐近线相切，若两圆的半径之和为，则双曲线的离心率为________.‎ ‎16.‎ 我国的西气东输工程把西部的资源优势变为经济优势，实现了气能源需求与供给的东西部衔接，工程建设也加快了西部及沿线地区的经济发展.输气管道工程建设中，某段管道铺设要经过一处峡谷，峡谷内恰好有一处直角拐角，水平横向移动输气管经过此拐角，从宽为米峡谷拐入宽为米的峡谷. 如图所示，位于峡谷悬崖壁上两点，的连线恰好经过拐角内侧顶点（点，，在同一水平面内），设与较宽侧峡谷悬崖壁所成角为，则的长为__________(用表示). 要使输气管顺利通过拐角，其长度不能超过_________米.‎ ‎（本题第一空2分，第二空3分）‎ 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 在中，角的对边分别为，.‎ ‎（Ⅰ）求角；‎ ‎（Ⅱ）若，，求边上的高.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 从条件①，②，③中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答．‎ 已知数列的前项和为，，__________.若成等比数列，求的值.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 携号转网，也称作号码携带、移机不改号，即无需改变自己的手机号码，就能转换运营商，并享受其提供的各种服务.2019年11月27日，工信部宣布携号转网在全国范围正式启动. 某运营商为提质量保客户，从运营系统中选出名客户，对业务水平和服务水平的评价进行统计，其中业务水平的满意率为，服务水平的满意率为，对业务水平和服务水平都满意的客户有人.‎ ‎（Ⅰ）完成下面列联表，并分析是否有的把握认为业务水平与服务水平有关；‎ 对服务水平满意人数 对服务水平不满意人数 合计 对业务水平满意人数 对业务水平不满意人数 合计 ‎（Ⅱ）为进一步提高服务质量，在选出的对服务水平不满意的客户中，抽取名征求改进意见，用表示对业务水平不满意的人数，求的分布列与期望；‎ ‎（Ⅲ）若用频率代替概率，假定在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平两项都满意的客户流失率为，只对其中一项不满意的客户流失率为，对两项都不满意的客户流失率为，从该运营系统中任选名客户，则在业务服务协议终止时至少有名客户流失的概率为多少？‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知直三棱柱，，分别为的中点，且.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面； ‎ ‎（Ⅱ）求；‎ ‎（Ⅲ）求二面角的余弦值.‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知函数. ‎ ‎（Ⅰ）求证：当时，的图像位于直线上方；‎ ‎（Ⅱ）设函数，若曲线在点处的切线与轴平行，且在点处的切线与直线平行（为坐标原点）.‎ 求证：.‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 已知是椭圆上一点，以点及椭圆的左、右焦点，为顶点的三角形面积为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）过作斜率存在且互相垂直的直线，是与两交点的中点，是与两交点的中点，求面积的最大值.‎ ‎【参考答案】‎ 一、单项选择题：（每小题5分，共40分） ‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 A C B D C D B D 二、多项选择题：（每小题5分，共20分） ‎ 题号 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 BC AC ABD ACD 三、填空题：（每小题5分，共20分）‎ ‎13.； 14.①③②或②③①（填写一个即可）；‎ ‎15. ； 16.， （本题第一空2分，第二空3分）.‎ 三、解答题：‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 解：（Ⅰ）由及正弦定理可得 ‎， -------1分 将带入上式，整理得 ，------------3分解得，所以. ------------5分 ‎ (Ⅱ)由，得， ------------6分 由余弦定理得解得. ------------8分 所以边上的高为. ------------10分 ‎18.（本小题满分12分）‎ 若选择①‎ 因为，，所以，.‎ 两式相减得，整理得 . -------------2分 即， --------------4分 所以为常数列.， 以 . --------------6分 ‎（或由，利用相乘相消法，求得） ‎ ‎ --------------8分 又成等比数列，所以， --------------10分 ‎，解得或（舍） ‎ 所以 --------------12分 ‎ 若选择②‎ 由变形得，， --------------2分 ‎，‎ 易知，所以为等差数列， --------------4分 而，所以，， --------------6分 ‎，且时也满足 --------------8分 ‎ 因为成等比数列，， --------------10分 又 --------------12分 若选择③‎ ‎ 因为，所以.‎ 两式相减得， --------------2分 ‎ 整理得 . ‎ 因为，，所以是等差数列， --------------4分 ‎ 所以 --------------6分 ‎ ‎ --------------8分 又成等比数列，， --------------10分 ‎ 又 --------------12分 ‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）由题意知对业务满意的有260人，对服务满意的有100人，得列联表 对服务水平满意人数 对服务水平不满意人数 合计 对业务水平满意人数 ‎180‎ ‎80‎ ‎260‎ 对业务水平不满意人数 ‎20‎ ‎20‎ ‎40‎ 合计 ‎200‎ ‎100‎ ‎300‎ ‎--------------2分 经计算得， --------------3分 所以有的把握认为业务水平满意与服务水平满意有关. --------------4分 ‎（Ⅱ）的可能值为 ---------------5分 则，，，‎ ‎-------------7分 ‎. --------------8分 ‎（Ⅲ）在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平都满意的客户流失的概率为，只有一项满意的客户流失的概率为，对二者都不满意的客户流失的概率为 ‎. ----------------9分 所以从运营系统中任选一名客户流失的概率为， --------------10分 故在业务服务协议终止时，从运营系统中任选4名客户，至少有2名客户流失的概率为. -----------12分 ‎20.（本小题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）证明：取的中点，连接，‎ 则有，且， ----------------2分 因为且，‎ 所以，且，即为平行四边形 ----------------3分 所以 又平面，平面，‎ 所以平面 ----------------4分 ‎（Ⅱ）解：设，，，，‎ 由已知可得，且 ----------------5分 ‎， ----------------6分 因为，所以---------7分 所以， ----------------8分 ‎（Ⅲ）解：在平面内过点做射线垂直于，分别以为轴建立空间直角坐标系 则，‎ 且为平面的一个法向量 ----------------9分 则 ----------------10分 设为平面的一个法向量，则有 ‎，令，则 ----------------11分 ‎，所以二面角的余弦值为. ----------12分 ‎21.（本小题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）由题意知，即证当时，恒成立 --------------1分 令 所以在上单调递增， --------------3分 在上单调递增， --------------4分 当时，‎ 的图象始终在直线上方 --------------5分 ‎（Ⅱ）. --------------6分 设，则. --------------7分 ‎ ‎. --------------8分 要证，‎ 即证，即证，‎ 即证 --------------9分 下面证明.令 所以当，‎ 所以在单调递减，在单调递增，‎ 所以，即. --------------11分 ‎ 所以，. --------------12分 ‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）由点在椭圆上可得，‎ 整理得①. ----------------1分 ‎，解得 ----------------2分 所以，带入①式整理得 ----------------3分 解得 所以椭圆的标准方程为 ---------------4分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，所以设直线,‎ 联立直线与椭圆的方程，整理得 ---------------6分 所以直线与椭圆两交点的中点的纵坐标，‎ 由互相垂直，可得直线，同理与椭圆两交点的中点的纵坐标 ‎ ---------------8分 ‎ 所以，‎ ‎， ---------------9分 将上式分子分母同除可得， ---------------10分 不妨设,令，则，‎ 令，，因为，所以，‎ 所以在单调递增， ---------------11分 所以当时，三角形面积取得最大值. ---------------12分