2018届二轮复习立体几何中的向量方法（一）——证明平行与垂直课件（全国通用） 30页

立体几何中的向量方法(一) ——证明平行与垂直 1.直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直 线与直线l____________，则称此向量a为直线l的方向向量. (2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量 a叫做平面α的法向量. 平行或重合 【考点梳理】 2.空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分 别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2 ⇔ n1＝λn2 l1⊥l2 n1⊥n2 ⇔_____________直线l的方向向量为n， 平面α的法向量为m l∥α n⊥m ⇔_____________l⊥α n∥m ⇔ n＝λm 平面α，β的法向量分别 为n，m α∥β n∥m ⇔ n＝λm α⊥β n⊥m ⇔_____________ n1·n2＝0 n·m＝0 n·m＝0 【考点突破】 法二　在线段CD上取点F，使得DF＝3FC，连接OF， 同法一建立空间直角坐标系，写出点A，B，C的坐标， 设点C坐标为(x0，y0，0). (1)恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是 运用向量法证明平行和垂直的关键. (2)证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面 的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的 不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某 直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可.这样就 把几何的证明问题转化为向量运算. 【类题通法】 如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形， △PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线 段PA，PD，CD的中点.求证：PB∥平面EFG. 【对点训练】 【解析】证明　∵平面PAD⊥平面ABCD， 且ABCD为正方形， ∴AB，AP，AD两两垂直. 以A为坐标原点，建立如右图所示的空间直 角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)， C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0， 0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0). 考点二　利用空间向量证明垂直问题 【例2】 如图所示，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形， ∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面 PBC⊥底面ABCD.证明： (1)PA⊥BD； (2)平面PAD⊥平面PAB. 【解析】证明　(1)取BC的中点O，连接PO， ∵平面PBC⊥底面ABCD，△PBC为等边三角形， ∴PO⊥底面ABCD. 以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与 AB平行的直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐 标系，如图所示. (1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写 出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵 活建系是解题的关键. (2)用向量证明垂直的方法 ①线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证 它们的数量积为零. ②线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线， 或将线面垂直的判定定理用向量表示. ③面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直 的判定定理用向量表示. 【类题通法】 如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三 棱柱)ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为 CC1的中点.求证：AB1⊥平面A1BD. 【对点训练】 法二　如图所示，取BC的中点O，连接AO. 因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC. 考点三　利用空间向量解决探索性问题 【例3】如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2， ∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD. (1)求证：BD⊥AA1； (2)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1？若存 在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 向量法解决与垂直、平行有关的探索性问题 (1)根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点 或线的位置，并用向量表示出来，然后再加以证明，得出 结论. (2)假设所求的点或参数存在，并用相关参数表示相关点， 根据线、面满足的垂直、平行关系，构建方程(组)求解， 若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不 存在. 【类题通法】 在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为 正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点. (1)求证：EF⊥CD； (2)在平面PAD内是否存在一点G，使GF⊥平面PCB？若 存在，求出点G坐标；若不存在，试说明理由. 【对点训练】