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  • 2021-06-30 发布

【数学】江西省新余市第一中学2019-2020学年高二下学期第一次段考(理)(解析版)

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江西省新余市第一中学2019-2020学年 高二下学期第一次段考(理)‎ 一、选择题 共12小题,每小题5分,共60分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。‎ ‎1.已知复数满足(为虚数单位),则共轭复数等于( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.已知A,B,C三点不共线,O是平面ABC外一点,下列条件中能确定点M与点A,B,C一定共面的是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎3.设,,则三个数( )‎ A.都小于4 B.至少有一个不大于4 C.都大于4 D.至少有一个不小于4‎ ‎4.若函数在区间上单调递增,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.已知点和,动点满足,则点的轨迹方程是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎6.过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.已知椭圆:的右焦点为,短轴的一个端点为,直线:交椭圆于,两点,若,点与直线的距离不小于,则椭圆的离心率的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.已知,,对任意,不等式恒成立,则m的取值范围为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.设点P是曲线上的任意一点,点P处切线的倾斜角为,则角的取值范围是( ).‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎10.已知是双曲线上的三个点,经过坐标原点,经过双曲线右焦点,若且,则该双曲线的离心率是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.下列命题中正确命题的个数是( )‎ ‎(1)若函数的定义域关于原点对称,则为偶函数的充要条件为对任意的都成立;‎ ‎(2)若函数的定义域关于原点对称,则“”是“为奇函数”的必要条件;‎ ‎(3)函数对任意的实数都有则在实数集上是增函数;‎ ‎(4)已知函数在其定义域内有两个不同的极值点,则实数的取值范围是 A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎12. , ‎ ‎,, , , ‎ ‎ A.5 B.6 C.7 D.8‎ 二、填空题 共4小题,每小题5分,共20分。‎ ‎13.设(),则函数的最小值是________.‎ ‎14.若中心在原点,焦点在轴上的双曲线离心率为,则此双曲线的渐近线方程为______________.‎ ‎15.点,抛物线的焦点为,若对于抛物线上的任意点,的最小值为41,则的值等于____________.‎ ‎16.已知是定义在上的奇函数,记的导函数为,当时,满足,若存在,使不等式成立,则实数的最小值为__________.‎ 三、解答题 共6小题,共70分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 17.设命题实数满足,命题实数满足.‎ ‎(1)若,且为真,求实数的取值范围;‎ ‎(2)若,且是的充分不必要条件,求实数的取值范围.‎ ‎18.( 本小题满分12分)‎ 如图所示,四棱锥中,,‎ ‎,为的中点.‎ ‎ (1)试在上确定一点,使得∥平面;‎ ‎ (2)点在满足(1)的条件下,求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎19.已知是抛物线上一点,经过点的直线与抛物线交于、两点(不同于点),直线、分别交直线于点、.‎ ‎(1)求抛物线方程及其焦点坐标;‎ ‎(2)求证:以为直径的圆恰好经过原点.‎ ‎20.已知(e为自然对数的底数).‎ ‎(1)设函数,求函数的最小值;‎ ‎(2)若函数在上为增函数,求实数的取值范围.‎ ‎21.(本小题满分12分)已知椭圆的两个焦点,且椭圆过点,且是椭圆上位于第一象限的点,且的面积.‎ ‎(1)求点的坐标;‎ ‎(2)过点的直线与椭圆相交于点,直线,与轴相交于两点,点,则是否为定值,如果是定值,求出这个定值,如果不是请说明理由.‎ 22. 某同学大学毕业后,决定利用所学专业进行自主创业,经过市场调查,生产一小型电子产品需投入固定成本2万元,每生产x万件,需另投入流动成本C(x)万元,当年产量小于7万件时,‎ ‎(万元);当年产量不小于7万件时,(万元).‎ 已知每件产品售价为6元,假若该同学生产的产品当年能全部售完.‎ (1) 写出年利润P(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式;(注:年利润=年销售收人﹣固定成本﹣流动成本)‎ ‎(2)当年产量约为多少万件时,该同学的这一产品所获年利润最大?最大年利润是多少?‎ ‎(取e3≈20) ‎ 参考答案 一、选择题 共12小题,每小题5分,共60分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。‎ ‎1.故选:D. 2.已知A,B,C三点不共线,O是平面ABC外一点,下列条件中能确定点M与点A,B,C一定共面的是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 不妨设.‎ 对于A选项,,由于的竖坐标,故不在平面上,故A选项错误.‎ 对于B选项,,由于的竖坐标,故不在平面上,故B选项错误.‎ 对于C选项,,由于的竖坐标,故不在平面上,故C选项错误.‎ 对于D选项,,由于的竖坐标为,故在平面上,也即四点共面.下面证明结论一定成立:‎ 由,得,‎ 即,故存在,使得成立,也即四点共面.‎ 故选:D.‎ ‎ 3.设,,则三个数( )‎ A.都小于4 B.至少有一个不大于4‎ C.都大于4 D.至少有一个不小于4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 假设三个数且且,相加得:‎ ‎,由基本不等式得:‎ ‎;;;‎ 相加得:,与假设矛盾;‎ 所以假设不成立,‎ 三个数、、至少有一个不小于4.‎ 故选:. 4.若函数在区间上单调递增,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎,∵函数在区间单调递增,∴在区间上恒成立.∴,而在区间上单调递减,∴.∴的取值范围是.故选:D. 5.已知点和,动点满足,则的轨迹方程是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 设,‎ 因为,所以,‎ 即 ,两边平方整理得:,, ‎ 两边平方整理得:,即 ,‎ 故选:B. 6.过抛物线的焦点作两条垂直的弦,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由抛物线,可知,设的倾斜角为,则的倾斜角为,过焦点的弦,所以 ‎,故选D. 7.已知椭圆:的右焦点为,短轴的一个端点为,直线:交椭圆于,两点,若,点与直线的距离不小于,则椭圆的离心率的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 可设为椭圆的左焦点,连接,‎ 根据椭圆的对称性可得四边形是平行四边形,‎ ‎,‎ ‎,取,‎ 点到直线的距离不小于,‎ 所以,,‎ 解得,‎ 椭圆的离心率的取值范围是,故选B. 8.已知,,对任意,不等式恒成立,则m的取值范围为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题意,对任意,不等式恒成立,即,参变分离,得 ‎,‎ 令,‎ 则 令 解得 可知在上递增,上递减,所以 ‎,‎ 故选:B. 9.设点P是曲线上的任意一点,点P处切线的倾斜角为,则角的取值范围是( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎,,‎ ‎,‎ 故选:. 10.已知是双曲线上的三个点,经过原点,经过右焦点,若且,则该双曲线的离心率是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 设左焦点为, ,连接 ‎ 则 , , , ‎ 因为,且经过原点 所以四边形 为矩形 在Rt△中, ,代入 ‎ ‎ 化简得 ‎ 所以在Rt△中,,代入 ‎ ‎ 化简得 ,即 ‎ 所以选B 11.下列命题中正确命题的个数是(    )‎ ‎(1)若函数的定义域关于原点对称,则为偶函数的充要条件为对任意的都成立;‎ ‎(2)若函数的定义域关于原点对称,则“”是“为奇函数”的必要条件;‎ ‎(3)函数对任意的实数都有则在实数集上是增函数;‎ ‎(4)如果对于定义域内任意的实数,不等式,则叫做函数的最小值.‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 对于(1),根据偶函数的定义,可得:若函数为偶函数,则对应定义域内的任意,都有;反之也成立;故(1)正确;‎ 对于(2),函数的定义域不包含时,由“为奇函数”不能推出“”,故(2)错;‎ 对于(3),对于函数,对于任意的实数都有但不满足在实数集上是增函数,故(3)错;‎ 对于(4),根据函数最小值的定义,如果对于定义域内任意的实数,都有;存在,使得,则叫做函数的最小值.故(4)错;‎ 已知函数在其定义域内有两个不同的极值点,则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题意可知,函数的定义域为,且,‎ 令,得,即,构造函数,‎ 则直线与函数在上有两个交点.‎ ‎,令,得,列表如下:‎ 极大值 所以,函数的单调递增区间为,单调递减区间为,极大值为,如下图所示:‎ 当时,直线与函数在上有两个交点,‎ 因此,实数的取值范围是.‎ 故答案为:.‎ 故选:B 12.二、填空题 共4小题,每小题5分,共20分。‎ ‎13.2‎ ‎14.‎ ‎15.点,抛物线的焦点为,若对于抛物线上的任意点,的最小值为41,则的值等于______.‎ ‎【答案】42或22‎ ‎【解析】‎ 由题意,(1)当点在抛物线的内部或曲线上时,则满足,解得,‎ 过点点作抛物线的准线的垂线,垂足为,根据抛物线的定义,可得,‎ 所以,‎ 当三点共线时,此时的距离最小,且最小值为,‎ 可得,解得;‎ ‎(2)当点在抛物线的外部时,则满足,解得,‎ 如图所示,‎ 当三点共线时,的距离最小,且最小值为,‎ 即,解得或(舍去),‎ 综上所述,实数的值等于42或22.‎ 故答案为:42或22.‎ ‎ 16.已知是定义在上的奇函数,记的导函数为,当时,满足,若存在,使不等式成立,则实数的最小值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 令,在上单调递增,且,从而可以推断出 则(当时,满足),‎ 从而在上单调递增,‎ 所以当时,,‎ 从而当时,;‎ 当时,(当时取等号),‎ 又当时,,即,‎ 所以在上单调递增,‎ 由于是定义在上的奇函数,从而在上单调递增;‎ 不等式.‎ 令,则原问题等价于有解,从而,‎ ‎∵,‎ ‎∴在上单减,在上单增,‎ ‎∴,‎ 所以的最小值为,‎ 三、解答题 共6小题,共70分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 17.设命题实数满足,命题实数满足.‎ ‎(1)若,且为真,求实数的取值范围;‎ ‎(2)若,且是的充分不必要条件,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎(1)当时,,即.‎ 由,得.‎ 若为真,即真或真,.‎ 因此,实数的取值范围;‎ ‎(2)若,,即.‎ ‎,或,‎ 且是的充分不必要条件,则或,即或.‎ 因此,实数的取值范围. 18.解析:‎ ‎(1):过点M作ME∥AB交PA于E点,连接DE.要使MN∥平面PAD,则MN∥ED,∴四边形MNDE为平行四边形. …………2分 以AD、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴,建立空间直角坐标系A—xyz,如图所示.‎ 则由题意得A(0,0,0)、B(0,1,0)、D(1,0,0)、C(1,2,0)、P(0,0,1)、M、N.…………4分 ‎(1)∵D=,∴|D|=. …………6分 ‎(2)∵PA⊥面ABCD,∴PA⊥AD,而AB⊥AD,∴DA⊥面PAB. …………7分 又∵N=,D=(-1,0,0), …………8分 ‎∴cos〈N,D〉===, …………10分 ‎∴直线MN与平面PAB所成的角的正弦值为. …………12分 ‎ 19.已知是抛物线上一点,经过点的直线与抛物线交于、两点(不同于点),直线、分别交直线于点、.‎ ‎(1)求抛物线方程及其焦点坐标;‎ ‎(2)求证:以为直径的圆恰好经过原点.‎ ‎【答案】(1)抛物线方程为,焦点坐标为;(2)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎(1)将代入,得,因此,抛物线方程为,焦点坐标为;‎ ‎(2)设,,、.‎ 因为直线不经过点,所以直线一定有斜率,设直线方程为,‎ 与抛物线方程联立得到,消去,得,‎ 则由韦达定理得,.‎ ‎,,‎ ‎,,即,‎ 显然,,,,‎ 则点,同理可求得点的坐标为,‎ 所以,,‎ ‎,因此,以为直径的圆过原点. 20.已知(e为目然对数的底数).‎ ‎(1)设函数,求函数的最小值;‎ ‎(2)若函数在上为增函数,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎(1),函数g(x)的定义域为(0,+∞),,‎ 令g′(x)>0,解得x>1,故函数g(x)在(1,+∞)单调递增,令g′(x)<0,解得0<x<1,故函数g(x)在(0,1)单调递减,‎ ‎∴g(x)min=g(1)=e﹣1+a;‎ ‎(2)由题意,f′(x)=ex﹣lnx+a﹣1≥0在[1,+∞)上恒成立,即a≥lnx﹣ex+1在[1,+∞)上恒成立,‎ 令h(x)=lnx﹣ex+1(x≥1),则,显然h′(x)为[1,+∞)的减函数,‎ ‎∴h′(x)≤h′(1)=1﹣e<0,‎ ‎∴函数h(x)在[1,+∞)上单调递减,‎ ‎∴h(x)max=h(1)=1﹣e,则a≥1﹣e,即实数a的取值范围为[1﹣e,+∞). 21.解:(1)∵椭圆.‎ ‎∴,计算得.‎ ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎∵的面积,‎ ‎∴,‎ ‎∴,代入椭圆方程.‎ ‎∵,∴,∴.………………………………………4分 ‎(2)设直线的方程为.‎ 直线的方程为,‎ 可得,即.‎ 直线的方程为,‎ 可得,即.‎ 联立,消去,整理,‎ 得.‎ 由,可得..………………………………………6分 ‎∴为定值,且…………………………………………………………12分 ‎ 22.某同学大学毕业后,决定利用所学专业进行自主创业,经过市场调查,生产一小型电子产品需投入固定成本2万元,每生产x万件,需另投入流动成本C(x)万元,当年产量小于7万件时,C(x)=x2+2x(万元);当年产量不小于7万件时,C(x)=6x+1nx+﹣17(万元).已知每件产品售价为6元,假若该同学生产的产M当年全部售完.‎ ‎(1)写出年利润P(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式;(注:年利润=年销售收人﹣固定成本﹣流动成本 ‎(2)当年产量约为多少万件时,该同学的这一产品所获年利润最大?最大年利润是多少?(取e3≈20)‎ ‎【答案】(1) (2) 当年产量约为20万件时,该同学的这一产品所获年利润最大,最大利润为11万元 ‎【解析】‎ ‎(1)产品售价为6元,则万件产品销售收入为万元.‎ 依题意得,当时,‎ ‎, ‎ 当时,‎ ‎.‎ ‎∴‎ ‎(2)当时,,‎ ‎∴当时,的最大值为(万元). ‎ 当时,,‎ ‎∴,‎ ‎∴当时,,单调递减,‎ ‎∴当时,取最大值(万元),‎ ‎∵,‎ ‎∴当时,取得最大值万元,‎ 即当年产量约为20万件时,该同学的这一产品所获年利润最大,最大利润为11万元. ‎