【数学】江西省新余市第一中学2019-2020学年高二下学期第一次段考（理）（解析版） 22页

江西省新余市第一中学2019-2020学年 高二下学期第一次段考（理）‎ 一、选择题 共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ ‎1．已知复数满足（为虚数单位），则共轭复数等于（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点，下列条件中能确定点M与点A，B，C一定共面的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎3．设，，则三个数（ ）‎ A．都小于4 B．至少有一个不大于4 C．都大于4 D．至少有一个不小于4‎ ‎4．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知点和，动点满足，则点的轨迹方程是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎6．过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦,则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知椭圆：的右焦点为，短轴的一个端点为，直线：交椭圆于，两点，若，点与直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知，，对任意，不等式恒成立，则m的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．设点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为,则角的取值范围是（ ）.‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎10．已知是双曲线上的三个点，经过坐标原点，经过双曲线右焦点，若且，则该双曲线的离心率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．下列命题中正确命题的个数是（ ）‎ ‎(1)若函数的定义域关于原点对称,则为偶函数的充要条件为对任意的都成立；‎ ‎(2)若函数的定义域关于原点对称,则“”是“为奇函数”的必要条件；‎ ‎(3)函数对任意的实数都有则在实数集上是增函数；‎ ‎(4)已知函数在其定义域内有两个不同的极值点，则实数的取值范围是 A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎12． ， ‎ ‎，， ， ， ‎ ‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ 二、填空题 共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．设（），则函数的最小值是________．‎ ‎14．若中心在原点，焦点在轴上的双曲线离心率为，则此双曲线的渐近线方程为______________．‎ ‎15．点，抛物线的焦点为，若对于抛物线上的任意点，的最小值为41，则的值等于____________.‎ ‎16．已知是定义在上的奇函数，记的导函数为，当时，满足，若存在，使不等式成立，则实数的最小值为__________．‎ 三、解答题 共6小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 17．设命题实数满足，命题实数满足.‎ ‎（1）若，且为真，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎18．( 本小题满分12分)‎ 如图所示，四棱锥中，，‎ ‎，为的中点．‎ ‎ （1）试在上确定一点，使得∥平面；‎ ‎ （2）点在满足(1)的条件下，求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎19．已知是抛物线上一点，经过点的直线与抛物线交于、两点（不同于点），直线、分别交直线于点、.‎ ‎（1）求抛物线方程及其焦点坐标；‎ ‎（2）求证：以为直径的圆恰好经过原点.‎ ‎20．已知(e为自然对数的底数).‎ ‎(1)设函数，求函数的最小值；‎ ‎(2)若函数在上为增函数，求实数的取值范围.‎ ‎21．（本小题满分12分）已知椭圆的两个焦点，且椭圆过点，且是椭圆上位于第一象限的点，且的面积.‎ ‎（1）求点的坐标；‎ ‎（2）过点的直线与椭圆相交于点，直线，与轴相交于两点，点，则是否为定值，如果是定值，求出这个定值，如果不是请说明理由.‎ 22． 某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产x万件，需另投入流动成本C（x）万元，当年产量小于7万件时，‎ ‎（万元）；当年产量不小于7万件时，（万元）．‎ 已知每件产品售价为6元，假若该同学生产的产品当年能全部售完．‎ （1） 写出年利润P（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收人﹣固定成本﹣流动成本）‎ ‎（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？‎ ‎（取e3≈20） ‎ 参考答案 一、选择题 共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ ‎1．故选：D． 2．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点，下列条件中能确定点M与点A，B，C一定共面的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 不妨设.‎ 对于A选项，，由于的竖坐标，故不在平面上，故A选项错误.‎ 对于B选项，，由于的竖坐标，故不在平面上，故B选项错误.‎ 对于C选项，，由于的竖坐标，故不在平面上，故C选项错误.‎ 对于D选项，，由于的竖坐标为，故在平面上，也即四点共面.下面证明结论一定成立：‎ 由，得，‎ 即，故存在，使得成立，也即四点共面.‎ 故选：D.‎ ‎ 3．设，，则三个数（ ）‎ A．都小于4 B．至少有一个不大于4‎ C．都大于4 D．至少有一个不小于4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 假设三个数且且，相加得：‎ ‎，由基本不等式得：‎ ‎；；；‎ 相加得：，与假设矛盾；‎ 所以假设不成立，‎ 三个数、、至少有一个不小于4．‎ 故选：． 4．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎，∵函数在区间单调递增，∴在区间上恒成立．∴，而在区间上单调递减，∴．∴的取值范围是．故选：D． 5．已知点和，动点满足，则的轨迹方程是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 设，‎ 因为，所以，‎ 即 ，两边平方整理得：，， ‎ 两边平方整理得：，即 ，‎ 故选:B. 6．过抛物线的焦点作两条垂直的弦,则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由抛物线，可知，设的倾斜角为，则的倾斜角为，过焦点的弦，所以 ‎，故选D. 7．已知椭圆：的右焦点为，短轴的一个端点为，直线：交椭圆于，两点，若，点与直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 可设为椭圆的左焦点，连接，‎ 根据椭圆的对称性可得四边形是平行四边形，‎ ‎，‎ ‎，取，‎ 点到直线的距离不小于，‎ 所以，，‎ 解得，‎ 椭圆的离心率的取值范围是，故选B. 8．已知，，对任意，不等式恒成立，则m的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题意，对任意，不等式恒成立，即，参变分离，得 ‎，‎ 令，‎ 则 令 解得 可知在上递增，上递减，所以 ‎，‎ 故选：B． 9．设点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为,则角的取值范围是（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎，，‎ ‎，‎ 故选：． 10．已知是双曲线上的三个点，经过原点，经过右焦点，若且，则该双曲线的离心率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 设左焦点为， ，连接 ‎ 则 ， ， ， ‎ 因为，且经过原点 所以四边形 为矩形 在Rt△中， ，代入 ‎ ‎ 化简得 ‎ 所以在Rt△中，，代入 ‎ ‎ 化简得 ，即 ‎ 所以选B 11．下列命题中正确命题的个数是（　　　　）‎ ‎(1)若函数的定义域关于原点对称,则为偶函数的充要条件为对任意的都成立；‎ ‎(2)若函数的定义域关于原点对称,则“”是“为奇函数”的必要条件；‎ ‎(3)函数对任意的实数都有则在实数集上是增函数；‎ ‎(4)如果对于定义域内任意的实数,不等式,则叫做函数的最小值.‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 对于(1)，根据偶函数的定义，可得：若函数为偶函数，则对应定义域内的任意，都有；反之也成立；故（1）正确；‎ 对于（2），函数的定义域不包含时，由“为奇函数”不能推出“”，故（2）错；‎ 对于（3），对于函数，对于任意的实数都有但不满足在实数集上是增函数，故（3）错；‎ 对于（4），根据函数最小值的定义，如果对于定义域内任意的实数，都有；存在，使得，则叫做函数的最小值.故（4）错；‎ 已知函数在其定义域内有两个不同的极值点，则实数的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题意可知，函数的定义域为，且，‎ 令，得，即，构造函数，‎ 则直线与函数在上有两个交点.‎ ‎，令，得，列表如下：‎ 极大值 所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，极大值为，如下图所示：‎ 当时，直线与函数在上有两个交点，‎ 因此，实数的取值范围是.‎ 故答案为：.‎ 故选：B 12．二、填空题 共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．2‎ ‎14．‎ ‎15．点，抛物线的焦点为，若对于抛物线上的任意点，的最小值为41，则的值等于______.‎ ‎【答案】42或22‎ ‎【解析】‎ 由题意，（1）当点在抛物线的内部或曲线上时，则满足，解得，‎ 过点点作抛物线的准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义，可得，‎ 所以,‎ 当三点共线时，此时的距离最小，且最小值为，‎ 可得，解得；‎ ‎（2）当点在抛物线的外部时，则满足，解得，‎ 如图所示，‎ 当三点共线时，的距离最小，且最小值为，‎ 即，解得或（舍去），‎ 综上所述，实数的值等于42或22.‎ 故答案为：42或22.‎ ‎ 16．已知是定义在上的奇函数，记的导函数为，当时，满足，若存在，使不等式成立，则实数的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 令，在上单调递增，且，从而可以推断出 则（当时，满足），‎ 从而在上单调递增，‎ 所以当时，，‎ 从而当时，；‎ 当时，（当时取等号），‎ 又当时，，即，‎ 所以在上单调递增，‎ 由于是定义在上的奇函数，从而在上单调递增；‎ 不等式.‎ 令，则原问题等价于有解，从而，‎ ‎∵，‎ ‎∴在上单减，在上单增，‎ ‎∴，‎ 所以的最小值为，‎ 三、解答题 共6小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 17．设命题实数满足，命题实数满足.‎ ‎（1）若，且为真，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）当时，，即.‎ 由，得.‎ 若为真，即真或真，.‎ 因此，实数的取值范围；‎ ‎（2）若，，即.‎ ‎，或，‎ 且是的充分不必要条件，则或，即或.‎ 因此，实数的取值范围. 18．解析：‎ ‎(1)：过点M作ME∥AB交PA于E点，连接DE.要使MN∥平面PAD，则MN∥ED，∴四边形MNDE为平行四边形． …………2分 以AD、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系A—xyz，如图所示．‎ 则由题意得A(0,0,0)、B(0,1,0)、D(1,0,0)、C(1,2,0)、P(0,0,1)、M、N.…………4分 ‎(1)∵D＝，∴|D|＝. …………6分 ‎(2)∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥AD，而AB⊥AD，∴DA⊥面PAB. …………7分 又∵N＝，D＝(－1,0,0)， …………8分 ‎∴cos〈N，D〉＝＝＝， …………10分 ‎∴直线MN与平面PAB所成的角的正弦值为. …………12分 ‎ 19．已知是抛物线上一点，经过点的直线与抛物线交于、两点（不同于点），直线、分别交直线于点、.‎ ‎（1）求抛物线方程及其焦点坐标；‎ ‎（2）求证：以为直径的圆恰好经过原点.‎ ‎【答案】（1）抛物线方程为，焦点坐标为；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）将代入，得，因此，抛物线方程为，焦点坐标为；‎ ‎（2）设，，、.‎ 因为直线不经过点，所以直线一定有斜率，设直线方程为，‎ 与抛物线方程联立得到，消去，得，‎ 则由韦达定理得，.‎ ‎，，‎ ‎，，即，‎ 显然，，，，‎ 则点，同理可求得点的坐标为，‎ 所以，，‎ ‎，因此，以为直径的圆过原点. 20．已知(e为目然对数的底数).‎ ‎(1)设函数，求函数的最小值；‎ ‎(2)若函数在上为增函数，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ；(2).‎ ‎【解析】‎ ‎（1），函数g（x）的定义域为（0，+∞），，‎ 令g′（x）＞0，解得x＞1，故函数g（x）在（1，+∞）单调递增，令g′（x）＜0，解得0＜x＜1，故函数g（x）在（0，1）单调递减，‎ ‎∴g（x）min＝g（1）＝e﹣1+a；‎ ‎（2）由题意，f′（x）＝ex﹣lnx+a﹣1≥0在[1，+∞）上恒成立，即a≥lnx﹣ex+1在[1，+∞）上恒成立，‎ 令h（x）＝lnx﹣ex+1（x≥1），则，显然h′（x）为[1，+∞）的减函数，‎ ‎∴h′（x）≤h′（1）＝1﹣e＜0，‎ ‎∴函数h（x）在[1，+∞）上单调递减，‎ ‎∴h（x）max＝h（1）＝1﹣e，则a≥1﹣e，即实数a的取值范围为[1﹣e，+∞）． 21．解：（1）∵椭圆.‎ ‎∴，计算得.‎ ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎∵的面积，‎ ‎∴，‎ ‎∴，代入椭圆方程.‎ ‎∵，∴，∴.………………………………………4分 ‎（2）设直线的方程为.‎ 直线的方程为，‎ 可得，即.‎ 直线的方程为，‎ 可得，即.‎ 联立，消去，整理，‎ 得.‎ 由，可得..………………………………………6分 ‎∴为定值，且…………………………………………………………12分 ‎ 22．某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产x万件，需另投入流动成本C（x）万元，当年产量小于7万件时，C（x）=x2+2x（万元）；当年产量不小于7万件时，C（x）=6x+1nx+﹣17（万元）．已知每件产品售价为6元，假若该同学生产的产M当年全部售完．‎ ‎（1）写出年利润P（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收人﹣固定成本﹣流动成本 ‎（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（取e3≈20）‎ ‎【答案】(1) (2) 当年产量约为20万件时，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为11万元 ‎【解析】‎ ‎（1）产品售价为6元，则万件产品销售收入为万元.‎ 依题意得，当时，‎ ‎， ‎ 当时，‎ ‎.‎ ‎∴‎ ‎（2）当时，，‎ ‎∴当时，的最大值为（万元）. ‎ 当时，，‎ ‎∴，‎ ‎∴当时，，单调递减，‎ ‎∴当时，取最大值（万元），‎ ‎∵，‎ ‎∴当时，取得最大值万元，‎ 即当年产量约为20万件时，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为11万元. ‎