2018届二轮复习6-3等比数列及其前n项和课件（全国通用） 30页

6 . 3 　 等比数列及其前 n 项和 - 2 - - 3 - 知识梳理 考点自测 1 . 等比数列的定义 一般地 , 如果一个数列从 　　　　　　 起 , 每一项与它的前一项的比等于 　　　　　　 常数 , 那么这个数列叫做等比数列 , 这个常数叫做等比数列的 　　　　　　 , 公比通常用字母 q ( q ≠0) 表示 .   2 . 等比数列的通项公式 设等比数列 { a n } 的首项为 a 1 , 公比为 q , 则它的通项 a n = 　　　　　 . 3 . 等比中项 如果 　　　　　　 成等比数列 , 那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项 , 即 G 是 a 与 b 的等比中项 ⇔ a , G , b 成等比数列 ⇒ 　　　　　　 .   4 . 等比数列的前 n 项和公式 等比数列 { a n } 的公比为 q ( q ≠0), 其前 n 项和为 S n , 当 q= 1 时 , S n =na 1 ; 第二项 同一个 公比 a 1 q n- 1 a , G , b G 2 =ab - 4 - 知识梳理 考点自测 - 5 - 知识梳理 考点自测 1 . 判断下列结论是否正确 , 正确的画 “ √ ”, 错误的画 “ × ” . (1) 满足 a n+ 1 =qa n ( n ∈ N * , q 为常数 ) 的数列 { a n } 为等比数列 . ( 　　 ) (2) G 为 a , b 的等比中项 ⇔ G 2 =ab. ( 　　 ) (3) 等比数列中不存在数值为 0 的项 . ( 　　 ) (4) 如果 { a n } 为等比数列 , b n =a 2 n- 1 +a 2 n , 那么数列 { b n } 也是等比数列 . ( 　　 ) (5) 如果数列 { a n } 为等比数列 , 那么数列 {ln a n } 是等差数列 . ( 　　 ) (6) 若数列 { a n } 的通项公式是 a n =a n , 则其前 n 项和为 ( 　　 ) × × √ × × × - 6 - 知识梳理 考点自测 2 . 已知数列 { a n } 中 , a 1 = 3, a n+ 1 - 3 a n = 0, b n = log 3 a n , 则数列 { b n } 的通项公式 b n = ( 　　 ) A.3 n+ 1 B.3 n C. n D. n- 1 3 . 已知 { a n } 为等差数列 , 公差为 1, 且 a 5 是 a 3 与 a 11 的等比中项 , S n 是 { a n } 的前 n 项和 , 则 S 12 的值为 ( 　　 ) A.21 B.42 C.63 D.54 C 解析 : 由 a n+ 1 - 3 a n = 0, 得 a n+ 1 = 3 a n , 又 a 1 = 3, ∴ 数列 { a n } 是以 3 为首项 , 以 3 为公比的等比数列 , 则 a n = 3 n , ∴ b n = log 3 a n =n. 故选 C . D - 7 - 知识梳理 考点自测 4 . (2017 全国 Ⅱ ) 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题 : “ 远望巍巍塔七层 , 红光点点倍加增 , 共灯三百八十一 , 请问尖头几盏灯 ?” 意思是 : 一座 7 层塔共挂了 381 盏灯 , 且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍 , 则塔的顶层共有灯 ( 　　 ) A . 1 盏 B . 3 盏 C . 5 盏 D . 9 盏 B 解析 : 设塔的顶层共有 x 盏灯 , 则各层的灯数构成一个公比为 2 的等比数列 , 由 , 可得 x= 3, 故选 B . 5 . (2017 北京朝阳二模 ) 等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , 已知 a 1 = 2, a 4 =- 2, 则 { a n } 的通项公式 a n = 　　　　　 .   2 × ( - 1) n- 1 解析 : ∵ a 1 = 2, a 4 =- 2, 则 a 4 =- 2 =a 1 q 3 , ∴ q 3 =- 1, q=- 1, 即 a n = 2 × ( - 1) n- 1 . - 8 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 等比数列的基本运算 例 1 (1) 设 { a n } 是由正数组成的等比数列 , S n 为其前 n 项和 . 已知 a 2 a 4 = 1, S 3 = 7, 则 S 5 等于 ( 　　 ) (2)(2017 陕西咸阳二模 ) 在等比数列 { a n } 中 , 已知 a 3 , a 7 是方程 x 2 - 6 x+ 1 = 0 的两根 , 则 a 5 = ( 　　 ) A.1 B. - 1 C. ± 1 D.3 (3)(2017 全国 Ⅲ ) 设等比数列 { a n } 满足 a 1 +a 2 =- 1, a 1 -a 3 =- 3, 则 a 4 = 　　　　　 . B A - 8 - 9 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 - 10 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 思考 解决等比数列基本运算问题的常见思想方法有哪些 ? 解题心得 解决等比数列有关问题的常见思想方法 : (1) 方程思想 : 等比数列中有五个量 a 1 , n , q , a n , S n , 一般可以 “ 知三求二 ”, 通过列方程 ( 组 ) 求关键量 a 1 和 q , 问题可迎刃而解 . (2) 分类讨论思想 : 因为等比数列的前 n 项和公式涉及对公比 q 的分类讨论 , 所以当某一参数为公比进行求和时 , 就要对参数是否为 1 进行分类求和 . (3) 整体思想 : 应用等比数列前 n 项和公式时 , 常把 q n 或 当成整体进行求解 . - 11 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 对点训练 1 (1)(2017 山西太原二模 , 文 4) 已知公比 q ≠1 的等比数列 { a n } 前 n 项和 S n , a 1 = 1, S 3 = 3 a 3 , 则 S 5 = ( 　　 ) (2)(2017 安徽安庆二模 ) 在等比数列 { a n } 中 , a 3 - 3 a 2 = 2, 且 5 a 4 为 12 a 3 和 2 a 5 的等差中项 , 则 { a n } 的公比等于 ( 　　 ) A.3 B.2 或 3 C.2 D.6 D C - 12 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 - 13 - 等比数列的判定与证明 例 2 已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n = 1 + λ a n , 其中 λ ≠0 . (1) 证明 { a n } 是等比数列 , 并求其通项公式 ; (2) 若 , 求 λ . 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 - 14 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 思考 判断或证明一个数列是等比数列有哪些方法 ? 解题心得 1 . 证明数列 { a n } 是等比数列常用的方法 : (3) 通项公式法 , 若数列通项公式可写成 a n =c·q n- 1 ( c , q 均是不为 0 的常数 , n ∈ N * ), 则 { a n } 是等比数列 . 2 . 若判断一个数列不是等比数列 , 则只要证明存在连续三项不成等比数列即可 . - 15 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 对点训练 2 (2017 吉林市模拟 ) 已知数列 { a n } 中 , a 1 = 1, a n · a n+ 1 = , 记 T 2 n 为 { a n } 的前 2 n 项的和 , b n =a 2 n +a 2 n- 1 , n ∈ N * . (1) 判断数列 { b n } 是否为等比数列 , 并求出 b n ; (2) 求 T 2 n . - 16 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 - 17 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 等比数列性质的应用 ( 多考向 ) 考向 1 　 等比数列项的性质的应用 B A - 18 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 思考 经常用等比数列的哪些性质简化解题过程 ? - 19 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 考向 2 　 等比数列前 n 项和的性质的应用 例 4 (1) 设等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n . 若 S 2 = 3, S 4 = 15, 则 S 6 = ( 　　 ) A.31 B.32 C.63 D.64 (2) 在公比为正数的等比数列 { a n } 中 , a 1 +a 2 = 2, a 3 +a 4 = 8, 则 S 8 等于 ( 　　 ) A.21 B.42 C.135 D.170 C D - 20 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 解析 : (1) ∵ S 2 = 3, S 4 = 15, ∴ 由等比数列前 n 项和的性质 , 得 S 2 , S 4 -S 2 , S 6 -S 4 成等比数列 , ∴ ( S 4 -S 2 ) 2 =S 2 ( S 6 -S 4 ), 即 (15 - 3) 2 = 3( S 6 - 15), 解得 S 6 = 63, 故选 C. (2) 解法一 : S 8 = ( a 1 +a 2 ) + ( a 3 +a 4 ) + ( a 5 +a 6 ) + ( a 7 +a 8 ) = 2 + 8 + 32 + 128 = 170 . - 21 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 思考 本题应用什么性质求解比较简便 ? 解题心得 1 . 在解答等比数列的有关问题时 , 为简化解题过程常常利用等比数列项的如下性质 : (1) 通项公式的推广 : a n =a m q n-m ; (2) 等比中项的推广与变形 : =a m ·a n ( m+n= 2 p ) 及 a k ·a l =a m ·a n ( k+l=m+n ) . 2 . 对已知条件为等比数列的前几项和 , 求其前多少项和的问题 , 应用公比不为 - 1 的等比数列前 n 项和的性质 : S n , S 2 n -S n , S 3 n -S 2 n 仍成等比数列比较简便 . - 22 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 对点训练 3 (1)(2017 广东广州综合测试 ) 已知数列 { a n } 为等比数列 , 若 a 4 +a 6 = 10, 则 a 7 ( a 1 + 2 a 3 ) +a 3 a 9 = ( 　　 ) A.10 B.20 C.100 D.200 (2)(2017 江西宜春二模 ) 各项均为正数的等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , 若 S 4 = 10, S 12 = 130, 则 S 8 = ( 　　 ) A. - 30 B.40 C.40 或 - 30 D.40 或 - 50 C B = ( a 4 +a 6 ) 2 = 10 2 = 100 . (2) 由等比数列的性质 , 知 S 4 , S 8 -S 4 , S 12 -S 8 成等比数列 , 则 ( S 8 - 10) 2 = 10 × (130 -S 8 ), 整理可得 ( S 8 + 30)( S 8 - 40) = 0, 故 S 8 = 40 . - 23 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 等差数列与等比数列的综合问题 例 5 (2017 全国 Ⅱ , 文 17) 已知等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , 等比数列 { b n } 的前 n 项和为 T n , a 1 =- 1, b 1 = 1, a 2 +b 2 = 2 . (1) 若 a 3 +b 3 = 5, 求 { b n } 的通项公式 ;(2) 若 T 3 = 21, 求 S 3 . 解 设 { a n } 的公差为 d ,{ b n } 的公比为 q , 则 a n =- 1 + ( n- 1) d , b n =q n- 1 . 由 a 2 +b 2 = 2 得 d+q= 3 . ① (1) 由 a 3 +b 3 = 5, 得 2 d+q 2 = 6 . ② 因此 { b n } 的通项公式为 b n = 2 n- 1 . (2) 由 b 1 = 1, T 3 = 21 得 q 2 +q- 20 = 0, 解得 q=- 5 或 q= 4 . 当 q=- 5 时 , 由 ① 得 d= 8, 则 S 3 = 21 . 当 q= 4 时 , 由 ① 得 d=- 1, 则 S 3 =- 6 . - 24 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 思考 解决等差数列、等比数列的综合问题的基本思路是怎样的 ? 解题心得 等差数列和等比数列的综合问题 , 涉及的知识面很宽 , 题目的变化也很多 , 但是万变不离其宗 , 只要抓住基本量 a 1 , d ( q ) 充分运用方程、函数、转化等数学思想方法 , 合理调用相关知识 , 就不难解决这类问题 . - 25 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 对点训练 4 (2017 湖南邵阳一模 , 文 17) 在等差数列 { a n } 中 , a 2 = 1, a 5 = 4 . (1) 求数列 { a n } 的通项公式 a n ; (2) 设 , 求数列 { b n } 的前 n 项和 S n . 解 (1) 由题意知 , a 5 -a 2 = 3 d= 3, ∴ d= 1, ∴ a n =n- 1( n ∈ N * ) . (2) 由 (1) 得 b n = 2 n- 1 , ∴ 数列 { b n } 是以 1 为首项 , 公比为 2 的等比数列 , - 26 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 1 . 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题 , 数列中有五个量 a 1 , n , q , a n , S n , 一般可以 “ 知三求二 ”, 通过列方程 ( 组 ) 便可迎刃而解 . 2 . 判定等比数列的方法 (1) 定义法 : ( q 是不为零的常数 , n ∈ N * ) ⇔ { a n } 是等比数列 . (2) 通项公式法 : a n =cq n- 1 ( c , q 均是不为零的常数 , n ∈ N * ) ⇔ { a n } 是等比数列 . (3) 等比中项法 : =a n · a n+ 2 ( a n · a n+ 1 · a n+ 2 ≠0, n ∈ N * ) ⇔ { a n } 是等比数列 . 3 . 求解等比数列问题常用的数学思想 (1) 方程思想 : 如求等比数列中的基本量 ; (2) 分类讨论思想 : 如求和时要分 q= 1 和 q ≠1 两种情况讨论 , 判断单调性时对 a 1 与 q 分类讨论 . - 27 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 1 . 在等比数列中 , 易忽视每一项与公比都不为 0 . 2 . 在求等比数列的前 n 项和时 , 易忽略 q= 1 这一特殊情形 . - 28 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 审题答题指导 —— 如何理解条件和转化条件 典例 在等差数列 { a n } 中 , a 3 +a 4 +a 5 = 84, a 9 = 73 . (1) 求数列 { a n } 的通项公式 ; (2) 对任意 m ∈ N * , 将数列 { a n } 中落入区间 (9 m ,9 2 m ) 内的个数记为 b m , 求数列 { b m } 的前 m 项和 S m . 审题要点 (1) 题干中已知条件有三个 :“ 数列 { a n } 是等差数列 ” 和两个等式 ;(2) 第 (2) 问中所含条件可理解为 : 数列 { a n } 的各项在所给区间的项数为 b m ;(3) 第 (2) 问中条件的转化方法 : 文字语言转化为符号语言 , 即求满足 9 m