【数学】2018届一轮复习人教A版第2章第12节导数与函数的极值、最值学案 13页

第十二节　导数与函数的极值、最值 ‎1．函数的极值与导数的关系 ‎(1)函数的极小值与极小值点 若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．‎ ‎(2)函数的极大值与极大值点 若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值．‎ ‎2．函数的最值与导数的关系 ‎(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．‎ ‎(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤 ‎①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；‎ ‎②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)函数的极大值一定比极小值大．(　　)‎ ‎(2)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件．(　　)‎ ‎(3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．(　　)‎ ‎(4)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×‎ ‎2．(教材改编)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b ‎)内的图象如图2121所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为(　　)‎ 图2121‎ A．1　　　　 B．2　　　　‎ C．3　　　　 D．4‎ A　[导函数f′(x)的图象与x轴的交点中，左侧图象在x轴下方，右侧图象在x轴上方的只有一个，所以f(x)在区间(a，b)内有一个极小值点．]‎ ‎3．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 ‎(　　)‎ A．13万件 B．11万件 C．9万件 D．7万件 C　[y′＝－x2＋81，令y′＝0得x＝9或x＝－9(舍去)．‎ 当x∈(0,9)时，y′＞0，当x∈(9，＋∞)时，y′＜0，‎ 则当x＝9时，y有最大值．‎ 即使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件．]　‎ ‎4．已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝(　　) 【导学号：51062084】‎ A．－4 B．－2‎ C．4 D．2‎ D　[由题意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0得x＝±2，∴当x<－2或x>2时，f′(x)>0；当－20)．现已知相距‎18 km的A，B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为a，b，它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和．设AC＝x(km)．‎ ‎(1)试将y表示为x的函数；‎ ‎(2)若a＝1，且x＝6时，y取得最小值，试求b的值. 【导学号：51062088】‎ ‎[解]　(1)设点C受A污染源污染程度为，点C受B污染源污染程度为，其中k为比例系数，且k>0，从而点C处受污染程度y＝＋.6分 ‎(2)因为a＝1，所以y＝＋，‎ y′＝k，10分 令y′＝0，得x＝，‎ 又此时x＝6，解得b＝8，经验证符合题意，‎ 所以，污染源B的污染强度b的值为8.15分 B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象与x轴相切于一点A(m,0)(m≠0)，且f(x)的极大值为，则m的值为(　　)‎ A．－　　　 B．－ ‎ C.　　　　 D. D　[由题意可得f(m)＝m3＋am2＋bm＝0，m≠0，则m2＋am＋b＝0　①，且f′(m)＝‎3m2‎＋2am＋b＝0　②，①－②化简得m＝－，f′(x)＝3x2＋2ax＋b的两根为－和－，则b＝，f＝，解得a＝－3，m＝，故选D.]‎ ‎2．设函数f(x)＝则f(x)的最大值为________．‎ ‎2　[当x＞0时，f(x)＝－2x＜0；当x≤0时，f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，当x＜－1时，f′(x)＞0，f(x)是增函数，当－1＜x＜0时，f′(x)＜0，f(x)是减函数，∴f(x)≤f(－1)＝2，∴f(x)的最大值为2.]‎ ‎3．已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在点x＝2处取得极值c－16.‎ ‎(1)求a，b的值；‎ ‎(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值. 【导学号：51062089】‎ ‎[解]　(1)因为f(x)＝ax3＋bx＋c，‎ 故f′(x)＝3ax2＋b.2分 由于f(x)在点x＝2处取得极值c－16，‎ 故有即 化简得解得6分 ‎(2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c，‎ f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)，‎ 令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.‎ 当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＞0，‎ 故f(x)在(－∞，－2)上为增函数；9分 当x∈(－2,2)时，f′(x)＜0，‎ 故f(x)在(－2,2)上为减函数；12分 当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，‎ 故f(x)在(2，＋∞)上为增函数．‎ 由此可知f(x)在x＝－2处取得极大值，‎ f(－2)＝16＋c，‎ f(x)在x＝2处取得极小值f(2)＝c－16.‎ 由题设条件知16＋c＝28，解得c＝12.14分 此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，‎ f(2)＝－16＋c＝－4，‎ 因此f(x)在[－3,3]上的最小值为f(2)＝－4.15分