【数学】2020届一轮复习人教A版坐标系学案 13页

第1课时　坐标系 最新考纲　1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化；3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．‎ 知 识 梳 理 ‎1.平面直角坐标系中的伸缩变换 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.‎ ‎2.极坐标系 ‎ (1)极坐标与极坐标系的概念 在平面内取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.点O称为极点，射线Ox称为极轴.平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从射线Ox到射线OM的角度θ来刻画(如图所示).这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标.ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角.一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0，2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系.我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角.‎ ‎(2)极坐标与直角坐标的互化 设M为平面上的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ ‎).由图可知下面的关系式成立：‎ 或 这就是极坐标与直角坐标的互化公式.‎ ‎3.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点，半径为r的圆 ρ＝r(0≤θ<2π)‎ 圆心为(r，0)，半径为r的圆 ρ＝2rcos__θ 圆心为，半径为r的圆 ρ＝2rsin__θ ‎(0≤θ<π)‎ 过极点，倾斜角为α的直线 θ＝α(ρ∈R)‎ 或θ＝α＋π(ρ∈R)‎ 过点(a，0)，与极轴垂直的直线 ρcos__θ＝a 过点，与极轴平行的直线 ρsin__θ＝a ‎(0<θ<π)‎ ‎[微点提醒]‎ 关于极坐标系 ‎1.极坐标系的四要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，四者缺一不可.‎ ‎2.由极径的意义知ρ≥0，当极角θ的取值范围是[0，2π)时，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系，约定极点的极坐标是极径ρ＝0，极角可取任意角.‎ ‎3.极坐标与直角坐标的重要区别：多值性.‎ 基 础 自 测 ‎1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系.(　　)‎ ‎(2)若点P的直角坐标为(1，－)，则点P的一个极坐标是.(　　)‎ ‎(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的.(　　)‎ ‎(4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线.(　　)‎ 解析　(1)一般认为ρ≥0，当θ∈[0，2π)时，平面上的点(除去极点)才与极坐标建立一一对应关系；(4)极坐标θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条射线．‎ 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×‎ ‎2.(选修4－4P15习题T3改编)若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为(　　)‎ A.ρ＝，0≤θ≤ B.ρ＝，0≤θ≤ C.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤ D.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤ 解析　∵y＝1－x(0≤x≤1)，‎ ‎∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)；‎ ‎∴ρ＝.‎ 答案　A ‎3.(选修4－4P15T4改编)在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是(　　)‎ A. B. C.(1，0) D.(1，π)‎ 解析　法一　由ρ＝－2sin θ得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，即x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为.‎ 法二　由ρ＝－2sin θ＝2cos，知圆心的极坐标为，故选B.‎ 答案　B ‎4.(2015·湖南卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C的直角坐标方程为________.‎ 解析　由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，即x2＋(y－1)2＝1.‎ 答案　x2＋(y－1)2＝1‎ ‎5.(2014·广东卷)在极坐标系中，曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ＝sin θ与ρcos θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1与C2交点的直角坐标为________.‎ 解析　将2ρcos2 θ＝sin θ两边同乘以ρ，得2(ρcos θ)2＝ρsin θ，化为直角坐标方程为2x2＝y①，C2：ρcos θ＝1化为直角坐标方程为x＝1②，联立①②可解得所以曲线C1与C2交点的直角坐标为(1，2)．‎ 答案　(1，2)‎ ‎6.(2014·陕西卷)在极坐标系中，点到直线ρsin(θ－)＝1的距离是________.‎ 解析　将极坐标转化为直角坐标为(，1)．极坐标方程ρsin＝1转化为直角坐标方程为x－y＋2＝0，则点(，1)到直线x－y＋2＝0的距离d＝＝1.‎ 答案　1‎ 考点一　平面直角坐标系中的伸缩变换　易错警示 ‎【例1】 在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形.‎ ‎(1)5x＋2y＝0；(2)x2＋y2＝1.‎ 解　伸缩变换则 ‎(1)若5x＋2y＝0，则5(2x′)＋2(3y′)＝0，‎ 所以5x＋2y＝0经过伸缩变换后的方程为5x′＋3y′＝0，为一条直线.‎ ‎(2)若x2＋y2＝1，则(2x′)2＋(3y′)2＝1，‎ 则x2＋y2＝1经过伸缩变换后的方程为4x′2＋9y′2＝1，为椭圆.‎ 规律方法　伸缩变换后方程的求法 平面上的曲线y＝f(x)在变换φ：的作用下的变换方程的求法是将代入y＝f(x)，得＝f，整理之后得到y′＝h(x′)，即为所求变换之后的方程．‎ 易错警示　应用伸缩变换时，要分清变换前的点坐标(x，y)与变换后的点坐标(x′，y′)．‎ ‎【训练1】 在同一坐标系中，求将曲线y＝sin 3x变为曲线y＝sin x的伸缩变换公式.‎ 解　将曲线y＝sin 3x①经过伸缩变换变为y＝sin x，即y′＝sin x′②，‎ 设伸缩变换公式是(λ>0，μ>0)，‎ 把伸缩变换关系式代入②式得：μy＝sin λx与①式的系数对应相等得到 所以，变换公式为 考点二　极坐标与直角坐标的互化 ‎【例2】 (2019·德阳诊断)已知极坐标系的极点为平面直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，曲线C的参数方程为(α为参数)，直线l过点(－1，0)，且斜率为，射线OM的极坐标方程为θ＝.‎ ‎(1)求曲线C和直线l的极坐标方程；‎ ‎(2)已知射线OM与曲线C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，则线段PQ的长.‎ 解　(1)∵曲线C的参数方程为(α为参数)，‎ ‎∴曲线C的普通方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2，‎ 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入整理得ρ＋2cos θ－2sin θ＝0，‎ 即曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin.‎ ‎∵直线l过点(－1，0)，且斜率为，‎ ‎∴直线l的方程为y＝(x＋1)，‎ ‎∴直线l的极坐标方程为ρcos θ－2ρsin θ＋1＝0.‎ ‎(2)当θ＝时，|OP|＝2sin＝2，‎ ‎|OQ|＝＝，‎ 故线段PQ的长为2－＝.‎ 规律方法　1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式；x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0)．‎ ‎2．进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意ρ，θ的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等技巧. ‎ ‎【训练2】 (1)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点A的极坐标为，直线的极坐标方程为ρcos＝a，且点A在直线上，求a的值及直线的直角坐标方程.‎ ‎(2)把曲线C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0化为极坐标方程.‎ 解　(1)∵点A在直线ρcos＝a上，‎ ‎∴a＝cos＝，‎ 所以直线的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，‎ 从而直线的直角坐标方程为x＋y－2＝0.‎ ‎(2)将代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0，‎ 得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0，‎ 所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.‎ 考点三　曲线极坐标方程的应用 ‎【例3－1】 (2019·太原二模)点P是曲线C1：(x－2)2＋y2＝4上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中点，将点P逆时针旋转90°得到点Q，设点Q的轨迹为曲线C2.‎ ‎(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；‎ ‎(2)射线θ＝(ρ>0)与曲线C1，C2分别交于A，B两点，定点M(2，0)，求△MAB的面积.‎ 解　(1)由曲线C1的直角坐标方程(x－2)2＋y2＝4可得曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cos θ.‎ 设Q(ρ，θ)，则P，‎ 则有ρ＝4cos ＝4sin θ.‎ 所以曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sin θ.‎ ‎(2)M到射线θ＝(ρ>0)的距离d＝2sin ＝，‎ ‎|AB|＝ρB－ρA＝4＝2(－1)，‎ 所以S△MAB＝|AB|×d＝×2(－1)×＝3－.‎ ‎【例3－2】 (2017·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.‎ ‎(1)设点M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值.‎ 解　(1)设点P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0).‎ 由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.‎ 由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ>0).‎ 因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0).‎ ‎(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0).‎ 由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，‎ 于是△OAB的面积 S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α·＝2≤2＋.‎ 当α＝－时，S取得最大值2＋.‎ 所以△OAB面积的最大值为2＋.‎ 规律方法　求线段的长度有两种方法．方法一，先将极坐标系下点的坐标、曲线方程转化为平面直角坐标系下的点的坐标、曲线方程，然后求线段的长度．方法二，直接在极坐标系下求解，设A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ2)，则|AB|＝；如果直线过极点且与另一曲线相交，求交点之间的距离时，求出曲线的极坐标方程和直线的极坐标方程及交点的极坐标，则|ρ1－ρ2|即为所求．‎ ‎【训练3】 (1)在极坐标系中，求直线ρsin＝2被圆ρ＝4截得的弦长.‎ ‎(2)(2019·衡阳二模)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(φ为参数).以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A，B为C上两点，且OA⊥OB，设射线OA：θ＝α，其中0<α<.‎ ‎(ⅰ)求曲线C的极坐标方程；‎ ‎(ⅱ)求|OA|·|OB|的最小值.‎ 解　(1)由ρsin＝2，得(ρsin θ＋ρcos θ)＝2，可化为x＋y－2＝0.圆ρ＝4可化为x2＋y2＝16，‎ 圆心(0，0)到直线x＋y－2＝0的距离d＝＝2，‎ 由圆中的弦长公式，得弦长 l＝2＝2＝4.‎ 故所求弦长为4.‎ ‎(2)(ⅰ)将曲线C的参数方程(φ为参数)化为普通坐标方程为＋y2＝1.‎ 因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，‎ 所以曲线C的极坐标方程为ρ2＝.‎ ‎(ⅱ)根据题意：射线OB的极坐标方程为θ＝α＋或θ＝α－，‎ 所以|OA|＝，‎ ‎|OB|＝＝，‎ 所以|OA|·|OB|＝ ‎＝≥＝.‎ 当且仅当sin2 α＝cos2 α，即α＝时，|OA|·|OB|取得最小值为.‎ ‎[思维升华]‎ ‎1.曲线的极坐标方程化成直角坐标方程：对于简单的我们可以直接代入公式ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，ρ2＝x2＋y2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同时乘以ρ等．‎ ‎2.直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)的步骤：‎ ‎(1)运用ρ＝，tan θ＝(x≠0)；‎ ‎(2)在[0，2π)内由tan θ＝(x≠0)求θ时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限(即θ的终边位置)．‎ ‎[易错防范]‎ ‎1.确定极坐标方程，极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可．‎ ‎2．平面上点的直角坐标的表示形式是唯一的，但点的极坐标的表示形式不唯一．当规定ρ≥0，0≤θ＜2π，使得平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的，但仍然不包括极点．‎ ‎3．进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，应注意两点：‎ ‎(1)注意ρ，θ的取值范围及其影响．‎ ‎(2)重视方程的变形及公式的正用、逆用、变形使用.‎ 基础巩固题组 ‎(建议用时：60分钟)‎ ‎1.求双曲线C：x2－＝1经过φ：变换后所得曲线C′的焦点坐标.‎ 解　设曲线C′上任意一点P′(x′，y′)，‎ 由上述可知，得代入x2－＝1，‎ 得－＝1，化简得－＝1，‎ 即－＝1为曲线C′的方程，‎ 可见仍是双曲线，则焦点F1(－5，0)，F2(5，0)为所求.‎ ‎2.(2018·武汉模拟)在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin＝.‎ ‎(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；‎ ‎(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标.‎ 解　(1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，‎ 圆O的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y，‎ 即x2＋y2－x－y＝0，‎ 直线l：ρsin＝，‎ 即ρsin θ－ρcos θ＝1，‎ 则直线l的直角坐标方程为：y－x＝1，即x－y＋1＝0.‎ ‎(2)由得 故直线l与圆O公共点的一个极坐标为.‎ ‎3.以直角坐标系中的原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为ρ＝.‎ ‎(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)过极点O作直线l交曲线于点P，Q，若|OP|＝3|OQ|，求直线l的极坐标方程.‎ 解　(1)∵ρ＝，ρsin θ＝y，‎ ‎∴ρ＝化为ρ－ρsin θ＝2，得ρ2＝(2＋ρsin θ)2，‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为x2＝4y＋4.‎ ‎(2)设直线l的极坐标方程为θ＝θ0(ρ∈R)，‎ 根据题意＝3·，‎ 解得θ0＝或θ0＝，‎ 直线l的极坐标方程θ＝(ρ∈R)或θ＝(ρ∈R).‎ ‎4.(2019·安阳二模)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x＋y＝5，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4sin θ.‎ ‎(1)求直线l的极坐标方程和圆C的直角坐标方程；‎ ‎(2)射线OP：θ＝与圆C的交点为O，A，与直线l的交点为B，求线段AB的长.‎ 解　(1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，直线l：x＋y＝5，‎ 所以直线l的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝5，‎ 化简得2ρsin＝5，即为直线l的极坐标方程.‎ 由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ，‎ 所以x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4，‎ 即为圆C的直角坐标方程.‎ ‎(2)由题意得ρA＝4sin ＝2，‎ ρB＝＝5，‎ 所以|AB|＝|ρA－ρB|＝3.‎ ‎5.(2019·福州四校期末联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，直线C2的方程为y＝x.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求曲线C1和曲线C2的极坐标方程；‎ ‎(2)若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求＋.‎ 解　(1)由曲线C1的参数方程为(α为参数)，得曲线C1的普通方程为(x－2)2＋(y－2)2＝1，‎ 则C1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，‎ 由于直线C2过原点，且倾斜角为，故其极坐标方程为θ＝(ρ∈R).‎ ‎(2)由得ρ2－(2＋2)ρ＋7＝0，设A，B对应的极径分别为ρ1，ρ2，‎ 则ρ1＋ρ2＝2＋2，ρ1ρ2＝7，‎ ‎∴＋＝＝＝.‎ ‎6.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(其中φ为参数)，曲线C2：x2＋y2－2y＝0.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l：θ＝α(ρ≥0)与曲线C1，C2分别交于点A，B(均异于原点O).‎ ‎(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；‎ ‎(2)当0<α<时，求|OA|2＋|OB|2的取值范围.‎ 解　(1)∵∴＋y2＝1，由 得曲线C1的极坐标方程为ρ2＝；‎ ‎∵x2＋y2－2y＝0，‎ ‎∴曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.‎ ‎(2)设A，B对应的极径分别为ρ1，ρ2，则由(1)得 ‎|OA|2＝ρ＝，|OB|2＝ρ＝4sin2 α，‎ ‎∴|OA|2＋|OB|2＝＋4sin2 α＝＋4(1＋sin2α)－4，‎ ‎∵0<α<，∴1<1＋sin2α<2，‎ ‎∴6<＋4(1＋sin2α)<9，‎ ‎∴|OA|2＋|OB|2的取值范围为(2，5).‎ 能力提升题组 ‎(建议用时：20分钟)‎ ‎7.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数).以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求曲线C的极坐标方程；‎ ‎(2)过原点O的直线l1，l2分别与曲线C交于除原点外的A，B两点，若∠AOB＝，求△AOB的面积的最大值.‎ 解　(1)曲线C的普通方程为(x－)2＋(y－1)2＝4，‎ 即x2＋y2－2x－2y＝0，‎ 所以，曲线C的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ＝0，即ρ＝4sin.‎ ‎(2)不妨设A(ρ1，θ)，B，θ∈.‎ 则ρ1＝4sin，ρ2＝4sin，‎ ‎△AOB的面积S＝|OA|·|OB|sin ‎＝ρ1ρ2sin ‎＝4sinsin ‎＝2cos 2θ＋≤3.‎ 所以，当θ＝0时，△AOB的面积取最大值3.‎ ‎8.(2018·厦门外国语中学模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)；在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρcos2 θ＝sin θ.‎ ‎(1)求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)若射线l：y＝kx(x≥0)与曲线C1，C2的交点分别为A，B(A，B异于原点)，当斜率k∈(1，]时，求|OA|·|OB|的取值范围.‎ 解　(1)曲线C1的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2－2x＋y2＝0，将代入并化简得曲线C1的极坐标方程为ρ＝2cos θ.‎ 由ρcos2 θ＝sin θ两边同时乘ρ，得ρ2cos2 θ＝ρsin θ，结合得曲线C2的直角坐标方程为x2＝y.‎ ‎(2)设射线l：y＝kx(x≥0)的倾斜角为φ，则射线的极坐标方程为θ＝φ，且k＝‎ tan φ∈(1，].‎ 联立得|OA|＝ρA＝2cos φ，‎ 联立得|OB|＝ρB＝，‎ 所以|OA|·|OB|＝ρA·ρB＝2cos φ·＝2tan φ＝2k∈(2，2]，即|OA|·|OB|的取值范围是(2，2].‎