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  • 2021-06-30 发布

【数学】2020届一轮复习人教A版坐标系学案

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第1课时 坐标系 最新考纲 1.了解坐标系的作用,了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况;2.了解极坐标的基本概念,会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,能进行极坐标和直角坐标的互化;3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.‎ 知 识 梳 理 ‎1.平面直角坐标系中的伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:的作用下,点P(x,y)对应到点P′(x′,y′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.‎ ‎2.极坐标系 ‎ (1)极坐标与极坐标系的概念 在平面内取一个定点O,自点O引一条射线Ox,同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.点O称为极点,射线Ox称为极轴.平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从射线Ox到射线OM的角度θ来刻画(如图所示).这两个数组成的有序数对(ρ,θ)称为点M的极坐标.ρ称为点M的极径,θ称为点M的极角.一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ,θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系.我们设定,极点的极坐标中,极径ρ=0,极角θ可取任意角.‎ ‎(2)极坐标与直角坐标的互化 设M为平面上的一点,它的直角坐标为(x,y),极坐标为(ρ,θ ‎).由图可知下面的关系式成立:‎ 或 这就是极坐标与直角坐标的互化公式.‎ ‎3.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点,半径为r的圆 ρ=r(0≤θ<2π)‎ 圆心为(r,0),半径为r的圆 ρ=2rcos__θ 圆心为,半径为r的圆 ρ=2rsin__θ ‎(0≤θ<π)‎ 过极点,倾斜角为α的直线 θ=α(ρ∈R)‎ 或θ=α+π(ρ∈R)‎ 过点(a,0),与极轴垂直的直线 ρcos__θ=a 过点,与极轴平行的直线 ρsin__θ=a ‎(0<θ<π)‎ ‎[微点提醒]‎ 关于极坐标系 ‎1.极坐标系的四要素:①极点;②极轴;③长度单位;④角度单位和它的正方向,四者缺一不可.‎ ‎2.由极径的意义知ρ≥0,当极角θ的取值范围是[0,2π)时,平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ,θ)(ρ≠0)建立一一对应关系,约定极点的极坐标是极径ρ=0,极角可取任意角.‎ ‎3.极坐标与直角坐标的重要区别:多值性.‎ 基 础 自 测 ‎1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系,在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系.(  )‎ ‎(2)若点P的直角坐标为(1,-),则点P的一个极坐标是.(  )‎ ‎(3)在极坐标系中,曲线的极坐标方程不是唯一的.(  )‎ ‎(4)极坐标方程θ=π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线.(  )‎ 解析 (1)一般认为ρ≥0,当θ∈[0,2π)时,平面上的点(除去极点)才与极坐标建立一一对应关系;(4)极坐标θ=π(ρ≥0)表示的曲线是一条射线.‎ 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×‎ ‎2.(选修4-4P15习题T3改编)若以直角坐标系的原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段y=1-x(0≤x≤1)的极坐标方程为(  )‎ A.ρ=,0≤θ≤ B.ρ=,0≤θ≤ C.ρ=cos θ+sin θ,0≤θ≤ D.ρ=cos θ+sin θ,0≤θ≤ 解析 ∵y=1-x(0≤x≤1),‎ ‎∴ρsin θ=1-ρcos θ(0≤ρcos θ≤1);‎ ‎∴ρ=.‎ 答案 A ‎3.(选修4-4P15T4改编)在极坐标系中,圆ρ=-2sin θ的圆心的极坐标是(  )‎ A. B. C.(1,0) D.(1,π)‎ 解析 法一 由ρ=-2sin θ得ρ2=-2ρsin θ,化成直角坐标方程为x2+y2=-2y,即x2+(y+1)2=1,圆心坐标为(0,-1),其对应的极坐标为.‎ 法二 由ρ=-2sin θ=2cos,知圆心的极坐标为,故选B.‎ 答案 B ‎4.(2015·湖南卷)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为ρ=2sin θ,则曲线C的直角坐标方程为________.‎ 解析 由ρ=2sin θ,得ρ2=2ρsin θ,所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,即x2+(y-1)2=1.‎ 答案 x2+(y-1)2=1‎ ‎5.(2014·广东卷)在极坐标系中,曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ=sin θ与ρcos θ=1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线C1与C2交点的直角坐标为________.‎ 解析 将2ρcos2 θ=sin θ两边同乘以ρ,得2(ρcos θ)2=ρsin θ,化为直角坐标方程为2x2=y①,C2:ρcos θ=1化为直角坐标方程为x=1②,联立①②可解得所以曲线C1与C2交点的直角坐标为(1,2).‎ 答案 (1,2)‎ ‎6.(2014·陕西卷)在极坐标系中,点到直线ρsin(θ-)=1的距离是________.‎ 解析 将极坐标转化为直角坐标为(,1).极坐标方程ρsin=1转化为直角坐标方程为x-y+2=0,则点(,1)到直线x-y+2=0的距离d==1.‎ 答案 1‎ 考点一 平面直角坐标系中的伸缩变换 易错警示 ‎【例1】 在平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形.‎ ‎(1)5x+2y=0;(2)x2+y2=1.‎ 解 伸缩变换则 ‎(1)若5x+2y=0,则5(2x′)+2(3y′)=0,‎ 所以5x+2y=0经过伸缩变换后的方程为5x′+3y′=0,为一条直线.‎ ‎(2)若x2+y2=1,则(2x′)2+(3y′)2=1,‎ 则x2+y2=1经过伸缩变换后的方程为4x′2+9y′2=1,为椭圆.‎ 规律方法 伸缩变换后方程的求法 平面上的曲线y=f(x)在变换φ:的作用下的变换方程的求法是将代入y=f(x),得=f,整理之后得到y′=h(x′),即为所求变换之后的方程.‎ 易错警示 应用伸缩变换时,要分清变换前的点坐标(x,y)与变换后的点坐标(x′,y′).‎ ‎【训练1】 在同一坐标系中,求将曲线y=sin 3x变为曲线y=sin x的伸缩变换公式.‎ 解 将曲线y=sin 3x①经过伸缩变换变为y=sin x,即y′=sin x′②,‎ 设伸缩变换公式是(λ>0,μ>0),‎ 把伸缩变换关系式代入②式得:μy=sin λx与①式的系数对应相等得到 所以,变换公式为 考点二 极坐标与直角坐标的互化 ‎【例2】 (2019·德阳诊断)已知极坐标系的极点为平面直角坐标系xOy的原点,极轴为x轴的正半轴,两种坐标系中的长度单位相同,曲线C的参数方程为(α为参数),直线l过点(-1,0),且斜率为,射线OM的极坐标方程为θ=.‎ ‎(1)求曲线C和直线l的极坐标方程;‎ ‎(2)已知射线OM与曲线C的交点为O,P,与直线l的交点为Q,则线段PQ的长.‎ 解 (1)∵曲线C的参数方程为(α为参数),‎ ‎∴曲线C的普通方程为(x+1)2+(y-1)2=2,‎ 将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入整理得ρ+2cos θ-2sin θ=0,‎ 即曲线C的极坐标方程为ρ=2sin.‎ ‎∵直线l过点(-1,0),且斜率为,‎ ‎∴直线l的方程为y=(x+1),‎ ‎∴直线l的极坐标方程为ρcos θ-2ρsin θ+1=0.‎ ‎(2)当θ=时,|OP|=2sin=2,‎ ‎|OQ|==,‎ 故线段PQ的长为2-=.‎ 规律方法 1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式;x=ρcos θ,y=ρsin θ,ρ2=x2+y2,tan θ=(x≠0).‎ ‎2.进行极坐标方程与直角坐标方程互化时,要注意ρ,θ的取值范围及其影响;要善于对方程进行合理变形,并重视公式的逆向与变形使用;要灵活运用代入法和平方法等技巧. ‎ ‎【训练2】 (1)在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点A的极坐标为,直线的极坐标方程为ρcos=a,且点A在直线上,求a的值及直线的直角坐标方程.‎ ‎(2)把曲线C1:x2+y2-8x-10y+16=0化为极坐标方程.‎ 解 (1)∵点A在直线ρcos=a上,‎ ‎∴a=cos=,‎ 所以直线的方程可化为ρcos θ+ρsin θ=2,‎ 从而直线的直角坐标方程为x+y-2=0.‎ ‎(2)将代入x2+y2-8x-10y+16=0,‎ 得ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0,‎ 所以C1的极坐标方程为ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.‎ 考点三 曲线极坐标方程的应用 ‎【例3-1】 (2019·太原二模)点P是曲线C1:(x-2)2+y2=4上的动点,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,以极点O为中点,将点P逆时针旋转90°得到点Q,设点Q的轨迹为曲线C2.‎ ‎(1)求曲线C1,C2的极坐标方程;‎ ‎(2)射线θ=(ρ>0)与曲线C1,C2分别交于A,B两点,定点M(2,0),求△MAB的面积.‎ 解 (1)由曲线C1的直角坐标方程(x-2)2+y2=4可得曲线C1的极坐标方程为ρ=4cos θ.‎ 设Q(ρ,θ),则P,‎ 则有ρ=4cos =4sin θ.‎ 所以曲线C2的极坐标方程为ρ=4sin θ.‎ ‎(2)M到射线θ=(ρ>0)的距离d=2sin =,‎ ‎|AB|=ρB-ρA=4=2(-1),‎ 所以S△MAB=|AB|×d=×2(-1)×=3-.‎ ‎【例3-2】 (2017·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcos θ=4.‎ ‎(1)设点M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值.‎ 解 (1)设点P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).‎ 由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=.‎ 由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程为ρ=4cos θ(ρ>0).‎ 因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).‎ ‎(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0).‎ 由题设知|OA|=2,ρB=4cos α,‎ 于是△OAB的面积 S=|OA|·ρB·sin∠AOB=4cos α·=2≤2+.‎ 当α=-时,S取得最大值2+.‎ 所以△OAB面积的最大值为2+.‎ 规律方法 求线段的长度有两种方法.方法一,先将极坐标系下点的坐标、曲线方程转化为平面直角坐标系下的点的坐标、曲线方程,然后求线段的长度.方法二,直接在极坐标系下求解,设A(ρ1,θ1),B(ρ2,θ2),则|AB|=;如果直线过极点且与另一曲线相交,求交点之间的距离时,求出曲线的极坐标方程和直线的极坐标方程及交点的极坐标,则|ρ1-ρ2|即为所求.‎ ‎【训练3】 (1)在极坐标系中,求直线ρsin=2被圆ρ=4截得的弦长.‎ ‎(2)(2019·衡阳二模)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(φ为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,A,B为C上两点,且OA⊥OB,设射线OA:θ=α,其中0<α<.‎ ‎(ⅰ)求曲线C的极坐标方程;‎ ‎(ⅱ)求|OA|·|OB|的最小值.‎ 解 (1)由ρsin=2,得(ρsin θ+ρcos θ)=2,可化为x+y-2=0.圆ρ=4可化为x2+y2=16,‎ 圆心(0,0)到直线x+y-2=0的距离d==2,‎ 由圆中的弦长公式,得弦长 l=2=2=4.‎ 故所求弦长为4.‎ ‎(2)(ⅰ)将曲线C的参数方程(φ为参数)化为普通坐标方程为+y2=1.‎ 因为x=ρcos θ,y=ρsin θ,‎ 所以曲线C的极坐标方程为ρ2=.‎ ‎(ⅱ)根据题意:射线OB的极坐标方程为θ=α+或θ=α-,‎ 所以|OA|=,‎ ‎|OB|==,‎ 所以|OA|·|OB|= ‎=≥=.‎ 当且仅当sin2 α=cos2 α,即α=时,|OA|·|OB|取得最小值为.‎ ‎[思维升华]‎ ‎1.曲线的极坐标方程化成直角坐标方程:对于简单的我们可以直接代入公式ρcos θ=x,ρsin θ=y,ρ2=x2+y2,但有时需要作适当的变化,如将式子的两边同时平方,两边同时乘以ρ等.‎ ‎2.直角坐标(x,y)化为极坐标(ρ,θ)的步骤:‎ ‎(1)运用ρ=,tan θ=(x≠0);‎ ‎(2)在[0,2π)内由tan θ=(x≠0)求θ时,由直角坐标的符号特征判断点所在的象限(即θ的终边位置).‎ ‎[易错防范]‎ ‎1.确定极坐标方程,极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向,四者缺一不可.‎ ‎2.平面上点的直角坐标的表示形式是唯一的,但点的极坐标的表示形式不唯一.当规定ρ≥0,0≤θ<2π,使得平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的,但仍然不包括极点.‎ ‎3.进行极坐标方程与直角坐标方程互化时,应注意两点:‎ ‎(1)注意ρ,θ的取值范围及其影响.‎ ‎(2)重视方程的变形及公式的正用、逆用、变形使用.‎ 基础巩固题组 ‎(建议用时:60分钟)‎ ‎1.求双曲线C:x2-=1经过φ:变换后所得曲线C′的焦点坐标.‎ 解 设曲线C′上任意一点P′(x′,y′),‎ 由上述可知,得代入x2-=1,‎ 得-=1,化简得-=1,‎ 即-=1为曲线C′的方程,‎ 可见仍是双曲线,则焦点F1(-5,0),F2(5,0)为所求.‎ ‎2.(2018·武汉模拟)在极坐标系下,已知圆O:ρ=cos θ+sin θ和直线l:ρsin=.‎ ‎(1)求圆O和直线l的直角坐标方程;‎ ‎(2)当θ∈(0,π)时,求直线l与圆O公共点的一个极坐标.‎ 解 (1)圆O:ρ=cos θ+sin θ,即ρ2=ρcos θ+ρsin θ,‎ 圆O的直角坐标方程为:x2+y2=x+y,‎ 即x2+y2-x-y=0,‎ 直线l:ρsin=,‎ 即ρsin θ-ρcos θ=1,‎ 则直线l的直角坐标方程为:y-x=1,即x-y+1=0.‎ ‎(2)由得 故直线l与圆O公共点的一个极坐标为.‎ ‎3.以直角坐标系中的原点O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,已知曲线的极坐标方程为ρ=.‎ ‎(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程;‎ ‎(2)过极点O作直线l交曲线于点P,Q,若|OP|=3|OQ|,求直线l的极坐标方程.‎ 解 (1)∵ρ=,ρsin θ=y,‎ ‎∴ρ=化为ρ-ρsin θ=2,得ρ2=(2+ρsin θ)2,‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为x2=4y+4.‎ ‎(2)设直线l的极坐标方程为θ=θ0(ρ∈R),‎ 根据题意=3·,‎ 解得θ0=或θ0=,‎ 直线l的极坐标方程θ=(ρ∈R)或θ=(ρ∈R).‎ ‎4.(2019·安阳二模)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x+y=5,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=4sin θ.‎ ‎(1)求直线l的极坐标方程和圆C的直角坐标方程;‎ ‎(2)射线OP:θ=与圆C的交点为O,A,与直线l的交点为B,求线段AB的长.‎ 解 (1)因为x=ρcos θ,y=ρsin θ,直线l:x+y=5,‎ 所以直线l的极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ=5,‎ 化简得2ρsin=5,即为直线l的极坐标方程.‎ 由ρ=4sin θ,得ρ2=4ρsin θ,‎ 所以x2+y2=4y,即x2+(y-2)2=4,‎ 即为圆C的直角坐标方程.‎ ‎(2)由题意得ρA=4sin =2,‎ ρB==5,‎ 所以|AB|=|ρA-ρB|=3.‎ ‎5.(2019·福州四校期末联考)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),直线C2的方程为y=x.以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求曲线C1和曲线C2的极坐标方程;‎ ‎(2)若直线C2与曲线C1交于A,B两点,求+.‎ 解 (1)由曲线C1的参数方程为(α为参数),得曲线C1的普通方程为(x-2)2+(y-2)2=1,‎ 则C1的极坐标方程为ρ2-4ρcos θ-4ρsin θ+7=0,‎ 由于直线C2过原点,且倾斜角为,故其极坐标方程为θ=(ρ∈R).‎ ‎(2)由得ρ2-(2+2)ρ+7=0,设A,B对应的极径分别为ρ1,ρ2,‎ 则ρ1+ρ2=2+2,ρ1ρ2=7,‎ ‎∴+===.‎ ‎6.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(其中φ为参数),曲线C2:x2+y2-2y=0.以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线l:θ=α(ρ≥0)与曲线C1,C2分别交于点A,B(均异于原点O).‎ ‎(1)求曲线C1,C2的极坐标方程;‎ ‎(2)当0<α<时,求|OA|2+|OB|2的取值范围.‎ 解 (1)∵∴+y2=1,由 得曲线C1的极坐标方程为ρ2=;‎ ‎∵x2+y2-2y=0,‎ ‎∴曲线C2的极坐标方程为ρ=2sin θ.‎ ‎(2)设A,B对应的极径分别为ρ1,ρ2,则由(1)得 ‎|OA|2=ρ=,|OB|2=ρ=4sin2 α,‎ ‎∴|OA|2+|OB|2=+4sin2 α=+4(1+sin2α)-4,‎ ‎∵0<α<,∴1<1+sin2α<2,‎ ‎∴6<+4(1+sin2α)<9,‎ ‎∴|OA|2+|OB|2的取值范围为(2,5).‎ 能力提升题组 ‎(建议用时:20分钟)‎ ‎7.在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α为参数).以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求曲线C的极坐标方程;‎ ‎(2)过原点O的直线l1,l2分别与曲线C交于除原点外的A,B两点,若∠AOB=,求△AOB的面积的最大值.‎ 解 (1)曲线C的普通方程为(x-)2+(y-1)2=4,‎ 即x2+y2-2x-2y=0,‎ 所以,曲线C的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-2ρsin θ=0,即ρ=4sin.‎ ‎(2)不妨设A(ρ1,θ),B,θ∈.‎ 则ρ1=4sin,ρ2=4sin,‎ ‎△AOB的面积S=|OA|·|OB|sin ‎=ρ1ρ2sin ‎=4sinsin ‎=2cos 2θ+≤3.‎ 所以,当θ=0时,△AOB的面积取最大值3.‎ ‎8.(2018·厦门外国语中学模拟)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数);在以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2的极坐标方程为ρcos2 θ=sin θ.‎ ‎(1)求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)若射线l:y=kx(x≥0)与曲线C1,C2的交点分别为A,B(A,B异于原点),当斜率k∈(1,]时,求|OA|·|OB|的取值范围.‎ 解 (1)曲线C1的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,即x2-2x+y2=0,将代入并化简得曲线C1的极坐标方程为ρ=2cos θ.‎ 由ρcos2 θ=sin θ两边同时乘ρ,得ρ2cos2 θ=ρsin θ,结合得曲线C2的直角坐标方程为x2=y.‎ ‎(2)设射线l:y=kx(x≥0)的倾斜角为φ,则射线的极坐标方程为θ=φ,且k=‎ tan φ∈(1,].‎ 联立得|OA|=ρA=2cos φ,‎ 联立得|OB|=ρB=,‎ 所以|OA|·|OB|=ρA·ρB=2cos φ·=2tan φ=2k∈(2,2],即|OA|·|OB|的取值范围是(2,2].‎

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