【数学】2020届一轮复习（文）通用版1-1集合学案 11页

第一节集__合 一、基础知识批注——理解深一点 ‎1．集合的有关概念 ‎(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．‎ 元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中．‎ ‎(2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．‎ ‎(3)元素与集合的两种关系：属于，记为；不属于，记为.‎ ‎(4)五个特定的集合及其关系图：‎ N*或N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集．‎ ‎2．集合间的基本关系 ‎(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称A是B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)．‎ ‎(2)真子集：如果集合A是集合B的子集，但集合B中至少有一个元素不属于A，则称A是B的真子集，记作AB或BA.‎ AB⇔既要说明A中任何一个元素都属于B，也要说明B中存在一个元素不属于A.‎ ‎(3)集合相等：如果A⊆B，并且B⊆A，则A＝B.‎ 两集合相等：A＝B⇔A中任意一个元素都符合B中元素的特性，B中任意一个元素也符合A中元素的特性．　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　 ‎ ‎(4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集．记作∅.‎ ‎0，{0}，∅，{∅}之间的关系：∅≠{∅}，‎ ‎∅∈{∅}，∅⊆{∅}，0∉∅，0∉{∅},0∈{0}，∅⊆{0}．‎ ‎3．集合间的基本运算 ‎(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．‎ ‎(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．‎ ‎(3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．‎ 求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为∁UA.‎ 二、常用结论汇总——规律多一点 ‎(1)子集的性质：A⊆A，∅⊆A，A∩B⊆A，A∩B⊆B.‎ ‎(2)交集的性质：A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.‎ ‎(3)并集的性质：A∪B＝B∪A，A∪B⊇A，A∪B⊇B，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A.‎ ‎(4)补集的性质：A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝∅，∁U(∁UA)＝A，∁AA＝∅，∁A∅＝A.‎ ‎(5)含有n个元素的集合共有2n个子集，其中有2n－1个真子集，2n－1个非空子集．‎ ‎(6)等价关系：A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔A⊇B.‎ 三、基础小题强化——功底牢一点 ‎(1)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.(　　)‎ ‎(2){x|x≤1}＝{t|t≤1}．(　　)‎ ‎(3){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(　　)‎ ‎(4)任何一个集合都至少有两个子集．(　　)‎ ‎(5)若AB，则A⊆B且A≠B.(　　)‎ ‎(6)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．(　　)‎ ‎(7)若A∩B＝A∩C，则B＝C.(　　)‎ 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√　(6)√　(7)×‎ ‎(二)选一选 ‎1．已知集合A＝{x∈R|0<3－x≤2}，B＝{x∈R|0≤x≤2}，则A∪B＝(　　)‎ A．[0,3]　　　　　　　 　B．[1,2]‎ C．[0,3) D．[1,3]‎ 解析：选C　因为A＝{x∈R|0<3－x≤2}＝{x∈R|1≤x<3}，所以A∪B＝{x∈‎ R|0≤x<3}.‎ ‎2．若集合A＝{x∈N|x≤}，a＝2，则下面结论中正确的是(　　)‎ A．{a}⊆A B．a⊆A C．{a}∈A D．a∉A 解析：选D　因为2不是自然数，所以a∉A.‎ ‎3．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为(　　)‎ A．9 B．8‎ C．5 D．4‎ 解析：选A　法一：将满足x2＋y2≤3的整数x，y全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．故选A.‎ 法二：根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x2＋y2＝3中有9个整点，即为集合A的元素个数，故选A.‎ ‎(三)填一填 ‎4．若集合A＝{x|－23}，则A∩B＝________.‎ 解析：由集合交集的定义可得A∩B＝{x|－20时，因为A＝{x|－10}，B＝{x|－2≤x≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为(　　)‎ A．{x|－2≤x<4} ‎ B．{x|x≤2或x≥4}‎ C．{x|－2≤x≤－1} ‎ D．{x|－1≤x≤2}‎ ‎[解析]　(1)∵A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，‎ ‎∴A∪B＝{－1,0,1,2,3,4}．‎ 又C＝{x∈R|－1≤x＜2}，‎ ‎∴(A∪B)∩C＝{－1,0,1}．‎ ‎(2)依题意得A＝{x|x<－1或x>4}，‎ 因此∁RA＝{x|－1≤x≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁RA)∩B＝{x|－1≤x≤2}．‎ ‎[答案]　(1)C　(2)D ‎[解题技法]　集合基本运算的方法技巧 ‎(1)当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算．‎ ‎(2)当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验．‎ ‎(3)集合的交、并、补运算口诀如下：‎ 交集元素仔细找，属于A且属于B；‎ 并集元素勿遗漏，切记重复仅取一；‎ 全集U是大范围，去掉U中a元素，剩余元素成补集．‎ 考法(二)　根据集合运算结果求参数 ‎[典例]　(1)已知集合A＝{x|x2－x－12>0}，B＝{x|x≥m}．若A∩B＝{x|x>4}，则实数m的取值范围是(　　)‎ A．(－4,3) B．[－3,4]‎ C．(－3,4) D．(－∞，4]‎ ‎(2)(2019·河南名校联盟联考)已知A＝{1,2,3,4}，B＝{a＋1,2a}，若A∩B＝{4}，则a＝(　　)‎ A．3 B．2‎ C．2或3 D．3或1‎ ‎[解析]　(1)集合A＝{x|x<－3或x>4}，∵A∩B＝{x|x>4}，∴－3≤m≤4，故选B.‎ ‎(2)∵A∩B＝{4}，∴a＋1＝4或2a＝4.若a＋1＝4，则a＝3，此时B＝{4,6}，符合题意；若2a＝4，则a＝2，此时B＝{3,4}，不符合题意．综上，a＝3，故选A.‎ ‎[答案]　(1)B　(2)A ‎[解题技法]‎ 根据集合的运算结果求参数值或范围的方法 ‎(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集合，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．‎ ‎(2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解．‎ ‎(3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围．‎ ‎[题组训练]‎ ‎1．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B＝(　　)‎ A．{1} B．{1,2}‎ C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}‎ 解析：选C　因为集合B＝{x|－10，所以该方程有两个不相等的实根，所以A∩B中含有2个元素．‎ 答案：2‎ ‎12．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是__________．‎ 解析：由log2x≤2，得0＜x≤4，‎ 即A＝{x|0＜x≤4}，而B＝{x|x＜a}，‎ 由于A⊆B，在数轴上标出集合A，B，如图所示，则a＞4.‎ 答案：(4，＋∞)‎ ‎13．设全集U＝R，A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2