【数学】2020届一轮复习人教B版不等式选讲学案 15页

微专题97 不等式选讲 一、基础知识：‎ ‎（一）不等式的形式与常见不等式：‎ ‎1、不等式的基本性质：‎ ‎（1） ‎ ‎（2）（不等式的传递性）‎ 注：，等号成立当且仅当前两个等号同时成立 ‎（3） ‎ ‎（4） ‎ ‎（5） ‎ ‎（6）‎ ‎2、绝对值不等式： ‎ ‎（1）等号成立条件当且仅当 ‎ ‎（2）等号成立条件当且仅当 ‎ ‎（3）：此性质可用于求含绝对值函数的最小值，其中等号成立当且仅当 ‎ ‎3、均值不等式 ‎（1）涉及的几个平均数：‎ ‎① 调和平均数： ‎ ‎② 几何平均数： ‎ ‎③ 代数平均数： ‎ ‎④ 平方平均数：‎ ‎（2）均值不等式：，等号成立的条件均为： ‎ ‎（3）三项均值不等式：‎ ‎① ‎ ‎② ‎ ‎③ ‎ ‎4、柯西不等式： ‎ 等号成立条件当且仅当或 ‎ ‎（1）二元柯西不等式：，等号成立当且仅当 ‎ ‎（2）柯西不等式的几个常用变形 ‎① 柯西不等式的三角公式：‎ ‎ ‎ ‎② ‎ ‎②式体现的是当各项系数不同时，其“平方和”与“项的和”之间的不等关系，刚好是均值不等式的一个补充。‎ ‎③ ‎ ‎5、排序不等式：设为两组实数，是的任一排列，则有：‎ 即“反序和乱序和顺序和”‎ ‎（二）不等式选讲的考察内容：‎ ‎1、利用不等式的变形与常见不等式证明不等式成立 ‎2、利用常见不等式（均值不等式，柯西不等式）求表达式的最值，要注意求最值的思路与利用基本不等式求最值的思路相似，即“寻找合适的模型→将式子向定值放缩（消元）→验证等号成立条件”‎ ‎3、解不等式（特别是含绝对值的不等式——可参见“不等式的解法”一节）‎ 二、典型例题：‎ 例1：若不等式恒成立，则的取值范围为________．‎ 思路：本题为恒成立问题，可知，所以只需求出的最小值即可，一种思路可以构造函数，通过对绝对值里的符号进行分类讨论得到分段函数：，进而得到，另一种思路可以想到绝对值不等式：，进而直接得到最小值，所以，从而 ‎ 答案： ‎ 例2：若存在实数使得成立，求实数的取值范围 思路：本题可从方程有根出发，得到关于的不等式，从而解出的范围 解：依题意可知二次方程有解 ‎ ‎ 即 当时， ‎ 当时，恒成立 ‎ 当时， ‎ 综上所述，可得 ‎ 例3：已知函数 ‎ ‎（1）当时，解不等式 ‎ ‎（2）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围 ‎（1）思路：所解不等式为，可通过分类讨论去掉绝对值进而解出不等式 解：（1）当时， ‎ 当时， ‎ 当时， ‎ 综上所述：不等式的解集为 ‎ ‎（2）思路：若不等式恒成立，可知只需即可，含绝对值，从而可通过分类讨论将其变为分段函数，通过分析函数性质即可得到，所以 ‎ 解：恒成立 ‎ ‎ 考虑 在单调递减，在单调递增 ‎ ‎ ‎ ‎ 例4：已知都是正数,且,求的最大值 思路一：已知为常数，从所求入手，发现被开方数的和为也为常数，所以想到均值不等式中“代数平均数平方平均数”，进而求得最大值 解： ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 等号成立当且仅当 ‎ 思路二：由所求可联想到柯西不等式（活用1）：，从而可得：即，所以可知 小炼有话说：本题分为两个思路只是想到的常用不等式不同（分别为均值不等式和柯西不等式），但实质上利用柯西不等式是可以证明“代数平均数平方平均数”。证明的过程如下：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 例5：已知是实数，且，则的最大值是__________‎ 思路：考虑将向进行靠拢，由柯西不等式可知 ‎，对照条件可知令即可，所以，则 答案： ‎ 小炼有话说：使用柯西不等式的关键在于构造符合条件的形式。首先要选择合适的柯西不等式形式，然后找到所求与已知之间的联系，确定系数在柯西不等式的位置即可求解。‎ 例6：已知实数满足，则的取值范围是____________‎ 思路：本题的核心元素为，若要求的取值范围，则需要寻找两个等式中项的不等关系，即关于的不等关系，考虑到，联想到柯西不等式，则有，代入可得：解得：，验证等号成立条件：在时均有解。‎ 答案：‎ 例7：已知均为正数，求证：，并确定为何值时，等号成立 思路：观察到不等式左边的项作和且存在倒数关系，右侧为常数，所以可想到基本不等式中互为倒数时，，右侧为一个常数。，从而将左侧的项均转化为与相关的项，然后再利用基本不等式即可得到最小值，即不等式得证 解：由均值不等式可得：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 等号成立条件： ‎ 例8：已知 ‎（1）若，求的最小值 ‎（2）求证： ‎ ‎（1）思路：从所求出发可发现其分母若作和，则可与找到联系，从而想到柯西不等式的变式：，从而 解：‎ 由柯西不等式可得：‎ ‎ ‎ ‎（2）所证不等式等价于：，观察左右的项可发现对左边任意两项使用均值不等式，即可得到右边的某项，即： ，三式相加即完成证明 证明：由均值不等式可得：‎ 三式相加：‎ 即 小炼有话说：对于求倒数和（即为常数）的最值，有两个柯西不等式的变式可供使用：和，其不同之处在于对分母变形时运算的选择，第一个式子的变形为“分母作和”第二个式子的变形为“分母乘以对应系数再作和”，在解题时要根据题目中不同的定值条件来选择对应的不等式。‎ 例9：设，求证： ‎ 思路：所证不等式中的变量位于指数和底数位置，且为乘法与乘方运算，并不利于不等式变形；所以考虑利用两边同取对数使得指数变为系数，同时将乘法运算转为加法运算。则所证不等式等价于，化简后可得：①，所证不等式为轮换对称式，则不妨给定序，即，则，由①的特点想到排序不等式，则为顺序和，是最大的，剩下的组合为乱序和或反序和，必然较小，所以有，两式相加即可完成证明。‎ 证明： ‎ ‎ 将所证不等式两边同取对数可得：‎ ‎ ‎ ‎ 所证不等式为轮换对称式 不妨设 ‎ ‎ ‎ 可得：‎ 即证明不等式 小炼有话说：使用排序不等式的关键在于首先要有一个“顺序”，本题已知条件虽然没有的大小关系，但由所证不等式“轮换对称”的特点，可添加大小关系的条件，即，从而能够使用排序不等式。‎ 例10：设正数满足 ‎（1）求的最大值 ‎（2）证明： ‎ ‎（1）思路：所求表达式为多元表达式，所以考虑减少变量个数，由得，则，下面考虑将进行转化，向 靠拢，利用基本不等式进行放缩，可得：，再求关于的表达式的最大值即可。‎ 解： ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 的最大值为，此时 ‎ ‎（2）思路：由（1）可知的最大值为，且所证不等式的左边分母含有项，所以考虑向的形式进行靠拢，联想到柯西不等式的一个变形公式：，可得：‎ ‎，进而结合第（1）问的结果再进行放缩即可证明不等式 解：由柯西不等式可得：‎ 由（1）知 等号成立条件：‎ 三、历年好题精选 ‎1、设 ‎（1）求证：‎ ‎（2）若不等式对任意非零实数恒成立，求的取值范围 ‎2、（2014吉林九校联考二模，24）已知关于的不等式 ‎（1）当时，求此不等式的解集；‎ ‎（2）若此不等式的解集为，求实数 的取值范围．‎ ‎3、（2015，福建）已知，函数的最小值为4‎ ‎（1）求的值 ‎（2）求的最小值 ‎4、（2015，新课标II）设均为正数，且，证明：‎ ‎（1）若，则 ‎ ‎（2）是的充要条件 ‎5、（2015，陕西）已知关于的不等式的解集为 ‎ ‎（1）求实数的值 ‎（2）求的最大值 ‎6、已知定义在上的函数的最小值为 ‎ ‎（1）求的值 ‎（2）若是正实数，且满足，求证： ‎ ‎7、（江西）对任意的，的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8、（浙江）（1）解不等式： ‎ ‎（2）设正数满足，求证：，并给出等号成立条件 ‎9、（2016，苏州高三调研）设函数 ‎（1）证明：‎ ‎（2）若，求实数的取值范围 习题答案：‎ ‎1、解析：（1）‎ ‎（2）恒成立不等式为：‎ 设 ‎ ‎ 当时，‎ 当时，不成立 当时， ‎ ‎2、解析：（1）时，不等式为 ‎ 或，解得 ‎ ‎（2）问题转化为，不等式恒成立 ‎ ‎ 设 ‎ 或 ‎ ‎3、解析：（1）‎ ‎ ‎ ‎（2）‎ ‎，等号成立条件： ‎ ‎4、解析：（1）‎ ‎ ‎ 从而不等式得证 ‎（2）若，则 ‎ 即 ‎ ‎，由（1）可得 若，则 即 ‎ ‎ 综上所述：是的充要条件 ‎5、解析：（1）‎ 不等式解得： ‎ ‎ ‎ ‎（2）由（1）可得：‎ 由柯西不等式可得：‎ ‎6、解析：（1）‎ ‎ ‎ ‎（2）由柯西不等式可得：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎7、答案：C 解析：‎ ‎8、解析：（1）当时，解得 ‎ 当时，解得 ‎ 当时。解得 ‎ 综上所述：解集为 ‎ ‎（2）由可得： ‎ 由柯西不等式可得：‎ ‎ ‎ 等号成立条件： ‎ ‎9、解析：（1）‎ ‎（2）即 时，不等式转化为：‎ 解得：‎ 当时，‎ 解得：‎ 综上所述：不等式的解集为：‎