2019届二轮复习（文）第九章平面解析几何第2节课件（37张）（全国通用） 37页

第 2 节　两直线的位置关系 最新考纲　 1. 能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直； 2. 能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标； 3. 掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离 . 1. 两条直线平行与垂直的判定 (1) 两条直线平行 对于两条不重合的直线 l 1 ， l 2 ，其斜率分别为 k 1 ， k 2 ，则有 l 1 ∥ l 2 ⇔__________ . 特别地，当直线 l 1 ， l 2 的斜率都不存在时， l 1 与 l 2_________ . (2) 两条直线垂直 如果两条直线 l 1 ， l 2 斜率都存在，设为 k 1 ， k 2 ，则 l 1 ⊥ l 2 ⇔_____________ ， 当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直 线 _________ . 知 识 梳 理 k 1 ＝ k 2 平行 k 1 · k 2 ＝－ 1 垂直 2. 两直线相交 唯一解 无解 无数个解 3. 距离公式 (1) 两点间的距离公式 (3) 两条平行线间的距离公式 一般地，两条平行直线 l 1 ： Ax ＋ By ＋ C 1 ＝ 0 ， l 2 ： Ax ＋ By ＋ C 2 ＝ 0 间的距 离 d ＝ ______________ . [ 常用结论与微点提醒 ] 诊 断 自 测 1. 思考辨析 ( 在括号内打 “√” 或 “×” ) (1) 当直线 l 1 和 l 2 的斜率都存在时，一定有 k 1 ＝ k 2 ⇒ l 1 ∥ l 2 .( 　　 ) (2) 如果两条直线 l 1 与 l 2 垂直，则它们的斜率之积一定等于－ 1.( 　　 ) (3) 若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交 .( 　　 ) (4) 已知直线 l 1 ： A 1 x ＋ B 1 y ＋ C 1 ＝ 0 ， l 2 ： A 2 x ＋ B 2 y ＋ C 2 ＝ 0( A 1 ， B 1 ， C 1 ， A 2 ， B 2 ， C 2 为常数 ) ，若直线 l 1 ⊥ l 2 ，则 A 1 A 2 ＋ B 1 B 2 ＝ 0.( 　　 ) (5) 直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离 .( 　　 ) 解析　 (1) 两直线 l 1 ， l 2 有可能重合 . (2) 如果 l 1 ⊥ l 2 ，若 l 1 的斜率 k 1 ＝ 0 ，则 l 2 的斜率不存在 . 答案　 (1) × 　 (2) × 　 (3) √ 　 (4) √ 　 (5) √ 2. 圆 ( x ＋ 1) 2 ＋ y 2 ＝ 2 的圆心到直线 y ＝ x ＋ 3 的距离为 ( 　　 ) 答案 　 C 3. (2018· 东阳月考 ) 直线 2 x ＋ ( m ＋ 1) y ＋ 4 ＝ 0 与直线 mx ＋ 3 y － 2 ＝ 0 平行，则 m ＝ ( 　　 ) A.2 B . － 3 C.2 或－ 3 D . － 2 或－ 3 答案 　 C 4. ( 必修 2P89 练习 2 改编 ) 已知 P ( － 2 ， m ) ， Q ( m ， 4) ，且直线 PQ 垂直于直线 x ＋ y ＋ 1 ＝ 0 ，则 m ＝ ________. 答案 　 1 5. 直线 2 x ＋ 2 y ＋ 1 ＝ 0 ， x ＋ y ＋ 2 ＝ 0 之间的距离是 ________. 6. (2017· 浙江五校联考 ) 已知动点 P 的坐标为 ( x ， 1 － x ) ， x ∈ R ，则动点 P 的轨迹方程为 ________ ，它到原点距离的最小值为 ________. 考点一　两直线的平行与垂直 【例 1 】 (1) 若直线 l 1 ： ( a － 1) x ＋ y － 1 ＝ 0 和直线 l 2 ： 3 x ＋ ay ＋ 2 ＝ 0 垂直，则实数 a 的值为 ( 　　 ) (2) (2018· 诸暨模拟 ) 已知 a ， b 为正数，且直线 ax ＋ by － 6 ＝ 0 与直线 2 x ＋ ( b － 3) y ＋ 5 ＝ 0 平行，则 2 a ＋ 3 b 的最小值为 ________. 答案 　 (1)D 　 (2)25 规律方法 　 (1) 当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意 x ， y 的系数不能同时为零这一隐含条件 . (2) 在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论 . 【训练 1 】 (1) 已知两条直线 l 1 ： ( a － 1) x ＋ 2 y ＋ 1 ＝ 0 ， l 2 ： x ＋ ay ＋ 3 ＝ 0 平行，则 a 等于 ( 　　 ) A . － 1 B.2 C.0 或－ 2 D. － 1 或 2 ( 2) 已知两直线方程分别为 l 1 ： x ＋ y ＝ 1 ， l 2 ： ax ＋ 2 y ＝ 0 ，若 l 1 ⊥ l 2 ，则 a ＝ ________. 答案 　 (1)D 　 (2) － 2 考点二　两直线的交点与距离问题 规律方法 　 (1) 求过两直线交点的直线方程的方法 求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程 . (2) 利用距离公式应注意： ① 点 P ( x 0 ， y 0 ) 到直线 x ＝ a 的距离 d ＝ | x 0 － a | ，到直线 y ＝ b 的距离 d ＝ | y 0 － b | ； ② 两平行线间的距离公式要把两直线方程中 x ， y 的系数分别化为对应相等 . 【训练 2 】 (1) 曲线 y ＝ 2 x － x 3 在横坐标为－ 1 的点处的切线为 l ，则点 P (3 ， 2) 到直线 l 的距离为 ( 　　 ) (2) (2017· 衢州模拟 ) 若直线 l 1 ： x ＋ ay ＋ 6 ＝ 0 与 l 2 ： ( a － 2) x ＋ 3 y ＋ 2 a ＝ 0 平行，则 l 1 与 l 2 间的距离为 ( 　　 ) 答案 　 (1)A 　 (2)B 考点三　对称问题 【例 3 】 已知直线 l ： 2 x － 3 y ＋ 1 ＝ 0 ，点 A ( － 1 ，－ 2). 求： ( 1) 点 A 关于直线 l 的对称点 A ′ 的坐标； ( 2) 直线 m ： 3 x － 2 y － 6 ＝ 0 关于直线 l 的对称直线 m ′ 的方程； ( 3) ( 一题多解 ) 直线 l 关于点 A ( － 1 ，－ 2) 对称的直线 l ′ 的方程 . 解　 (1) 设 A ′( x ， y ) ，再由已知 (3) 法一　 在 l ： 2 x － 3 y ＋ 1 ＝ 0 上任取两点， 如 M (1 ， 1) ， N (4 ， 3) ， 则 M ， N 关于点 A 的对称点 M ′ ， N ′ 均在直线 l ′ 上 . 易知 M ′( － 3 ，－ 5) ， N ′( － 6 ，－ 7) ，由两点式可得 l ′ 的方程为 2 x － 3 y － 9 ＝ 0. 法二 　设 P ( x ， y ) 为 l ′ 上任意一点， 则 P ( x ， y ) 关于点 A ( － 1 ，－ 2) 的对称点为 P ′( － 2 － x ，－ 4 － y ) ， ∵ P ′ 在直线 l 上， ∴ 2( － 2 － x ) － 3( － 4 － y ) ＋ 1 ＝ 0 ， 即 2 x － 3 y － 9 ＝ 0. 规律方法 　 (1) 解决点关于直线对称问题要把握两点，点 M 与点 N 关于直线 l 对称，则线段 MN 的中点在直线 l 上，直线 l 与直线 MN 垂直 . (2) 如果直线或点关于点成中心对称问题，则只需运用中点公式就可解决问题 . (3) 若直线 l 1 ， l 2 关于直线 l 对称，则有如下性质： ① 若直线 l 1 与 l 2 相交，则交点在直线 l 上； ② 若点 B 在直线 l 1 上，则其关于直线 l 的对称点 B ′ 在直线 l 2 上 . 【训练 3 】 ( 一题多解 ) 光线沿直线 l 1 ： x － 2 y ＋ 5 ＝ 0 射入，遇直线 l ： 3 x － 2 y ＋ 7 ＝ 0 后反射，求反射光线所在的直线方程 . ∴ 反射点 M 的坐标为 ( － 1 ， 2). 又取直线 x － 2 y ＋ 5 ＝ 0 上一点 P ( － 5 ， 0) ，设 P 关于直线 l 的对称点 P ′( x 0 ， y 0 ) ，