【数学】2019届一轮复习人教A版第7章推理与证明第1课时合情推理与演绎推理学案 7页

第七章 推理与证明 第 1 课时　合情推理与演绎推理 能用归纳和类比等方法进行简单的推理，了 解合情推理在数学发现中的作用；掌握演绎 推理的基本方法，并能运用它们进行一些简 单的推理；了解合情推理和演绎推理的联系 和区别． ① 了解合情推理的含义，能利用归纳和类比 等进行简单的推理，了解合情推理在数学发 现中的作用.②了解演绎推理的重要性，掌握 演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一 些简单推理.③ 了解合情推理和演绎推理之 间的联系和差异． 1. 已知 2＋ 2 3＝2 2 3， 3＋ 3 8＝3 3 8， 4＋ 4 15＝4 4 15，…，类比这些等式，若 6＋ a b ＝6 a b(a，b 均为正数)，则 a＋b＝________． 答案：41 解析：观察等式 2＋ 2 3＝2 2 3， 3＋ 3 8＝3 3 8， 4＋ 4 15＝4 4 15，…，第 n 个应该是 n＋1＋ n＋1 （n＋1）2－1＝(n＋1) n＋1 （n＋1）2－1，则第 5 个等式中 a＝6，b＝a2－1＝35，a＋ b＝41. 2. 在平面几何中有如下结论：正三角形 ABC 的内切圆面积为 S1，外接圆面积为 S2，则 S1 S2＝ 1 4，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体 PABC 的内切球体积为 V1，外接球体积 为 V2，则 V1 V2＝________． 答案： 1 27 解析：正四面体的内切球与外接球的半径之比为 1∶3，故 V1 V2＝ 1 27. 3. 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若存在正整数 m，n(mc＋h；② a2＋b2c3＋h3；④ a4＋b4a>b>c，a，b，c∈N . (1) 8>a>b>4⇒bmax＝6. (2) cmin＝3，6>a>b>3⇒a＝5，b＝4⇒a＋b＋c＝12. 4. 已知 an＝(1 3 ) n ，把数列{an}的各项排成如下的三角形： a1 a2　a3　a4 a5　a6　a7　a8　a9 …… 记 A(s，t)表示第 s 行的第 t 个数，则 A(11，12)＝________． 答案：(1 3 )112 解析：该三角形数阵每行所对应元素的个数为 1，3，5，…，那么第 10 行的最后一个 数为 a100，第 11 行的第 12 个数为 a112，即 A(11，12)＝(1 3 )112 . 5. 某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度相等，两两 夹角为 120°；二级分形图是从一级分形图的每条线段末端出发再生成两条长度为原来 1 3的 线段，且这两条线段与原线段两两夹角为 120°，……，依此规律得到 n 级分形图． n 级分形图中共有________条线段． 答案：(3×2n－3)(n∈N ) 解析：从分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图知，一级分形图中有 3 ＝(3×2－3)条线段，二级分形图中有 9＝(3×22－3)条线段，三级分形图中有 21＝(3×23－ 3)条线段，按此规律，n 级分形图中的线段条数为(3×2n－3)(n∈N )． 1. 如图所示的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，有 1 1＝ 1 2＋ 1 2， 1 2＝ 1 3＋ 1 6， 1 3＝ 1 4＋ 1 12，…，则运用归纳推理得到第 11 行第 2 个数(从左往右数)为________． 　　　　　 答案： 1 110 解析：由“莱布尼茨调和三角形”中数的排列规律，我们可以推断：第 10 行的第一个 数为 1 10，第 11 行的第一个数为 1 11，则第 11 行的第二个数为 1 10－ 1 11＝ 1 110. 2. 有一个游戏，将标有数字 1，2，3，4 的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁 4 个 人，每人一张，并请这 4 人在看自己的卡片之前进行预测：甲说：乙或丙拿到标有 3 的卡片； 乙说：甲或丙拿到标有 2 的卡片；丙说：标有 1 的卡片在甲手中；丁说：甲拿到标有 3 的卡 片．结果显示：这 4 人的预测都不正确，那么甲、乙、丙、丁 4 个人拿到的卡片上的数字依 次为____，____，____，____． 答案：4　2　1　3 解析：由于 4 个人预测不正确，其各自的对立事件正确，即甲：乙、丙没拿到 3；乙： 甲、丙没拿到 2；丙：甲没拿到 1；丁：甲没拿到 3.综上，甲没拿到 1，2，3，故甲拿到了 4，丁拿到了 3，丙拿到了 1，乙拿到了 2. 3. 观察下列等式： 13＝12，13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，则第 n 个等式为________． 答案：13＋23＋33＋43＋…＋n3＝[n（n＋1） 2 ] 2 解析：因为 13＝12，13＋23＝(1＋2)2，13＋23＋33＝(1＋2＋3)2，13＋23＋33＋43＝(1＋ 2＋3＋4)2，…，由此可以看出左边是连续的自然数的立方和，右边是左边的连续的自然数 的和的平方，照此规律，第 n 个等式为 13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋…＋n) 2＝ [n（n＋1） 2 ] 2 . 4.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上通过画点或用小石子来表示数．他 们研究过如图所示的三角形数： 将三角形数 1，3，6，10，…记为数列{an}，将可被 5 整除的三角形数按从小到大的顺 序组成一个新数列{bn}，可以推测： (1) b2 018 是数列{an}的第________项； (2) b2 －1＝________．(用 表示) 答案：(1) 5 045　(2) 5k（5k－1） 2 解析：(1) an＝1＋2＋…＋n＝ n（n＋1） 2 ， b1＝ 4 × 5 2 ＝a4，b2＝ 5 × 6 2 ＝a5，b3＝ 9 × （2 × 5） 2 ＝a9， b4＝ （2 × 5） × 11 2 ＝a10， b5＝ 14 × （3 × 5） 2 ＝a14， b6＝ （3 × 5） × 16 2 ＝a15， … b2 018＝ (2 018 2 × 5)(2 018 2 × 5＋1) 2 ＝a5 045. (2) 由(1)知 b2 －1＝ (2k－1＋1 2 × 5－1)(2k－1＋1 2 × 5) 2 ＝ 5k（5k－1） 2 . 5. 某市为了缓解交通压力，实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限 行一天，周末(周六和周日)不限行．某公司有 A，B，C，D，E 五辆车，保证每天至少有四辆 车可以上路行驶．已知 E 车周四限行，B 车昨天限行，从今天算起，A，C 两车连续四天都能 上路行驶，E 车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是__________．(填序号) ① 今天是周六；② 今天是周四； ③ A 车周三限行；④ C 车周五限行． 答案：② 解析：因为每天至少有四辆车可以上路行驶，E 车明天可以上路，E 车周四限行，所以 今天不是周三；因为 B 车昨天限行，所以今天不是周一，也不是周日；因为 A，C 两车连续 四天都能上路行驶，所以今天不是周五，周二和周六，所以今天是周四，所以①错误，②正 确．因为 B 车昨天限行，即 B 车周三限行，所以③错误．因为从今天算起，A、C 两车连续 四天都能上路行驶，所以④错误． 1. 合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新的结论前，合 情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路 和方法． 2. 合情推理的过程概括为：从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→ 提出猜想． 3. 演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到 特殊的推理，常用的一般模式是三段论，数学问题的证明主要通过演绎推理来进行． 4. 合情推理仅是符合情理的推理，得到的结论不一定正确，而演绎推理得到的结论一 定正确(在前提和推理形式都正确的前提下)．[备课札记]