2020届二轮复习数列的性质和递推公式课件（26张）（全国通用） 26页

课标要求 : 1. 了解数列递推公式的概念 ; 知道递推公式是给出数列的一种方法 .2. 能根据数列的递推公式写出数列 .3. 能根据数列的通项公式研究数列的单调性 , 会求数列中的最大 ( 小 ) 项 .4. 了解数列的周期性 , 能解决相关的简单问题 . 自主学习 知识探究 1. 递推公式的定义 如果已知数列的第 1 项 ( 或前几项 ), 且从第 2 项 ( 或某一项 ) 开始的任一项 a n 与它的前一项 a n-1 ( 或前几项 )(n≥2) 间的关系可以用一个公式表示 , 那么这个公式叫做这个数列的递推公式 . 拓展 : 类似 b n =a n · a n+1 的式子不是递推公式 , 它只是说明数列 {b n } 中的各项是由数列 {a n } 中的项 a n 与 a n+1 的积构成的 . 2.理解数列的递推公式的注意点 (1)与“不一定所有数列都有通项公式”一样,并不是所有的数列都有递推公式. (2)用递推公式给出一个数列,必须给出; ①“基础”——数列{a n }的第1项(或前几项); ②递推关系——数列{a n }的任意一项a n 与它的前一项a n-1 (n≥2)(或前几项)间的关系,并且这个关系可以用一个公式来表示. 拓展 : 数列表示方法的优缺点 优点 缺点 通项 公式法 便于求出数列中任意指定的一项 , 利于对数列性质进行研究 一些数列的通项公式表示比较困难 列表法 内容具体、方法简单 , 给定项的序号 , 易得相应项 要确切表示一个无穷数列或项数比较多的有穷数列时比较困难 图象法 能直观形象地表示出随着序号的变化 , 相应项变化的趋势 数列项数较多时用图象表示比较困难 递推 公式法 可以揭示数列的一些性质 , 如前后几项之间的关系 不容易了解数列的全貌 , 计算也不方便 3.由递推公式求通项公式的方法 给出递推公式求通项公式,常用方法有: (1)从特例入手,归纳、猜想数列的通项公式,一般是依次写出前几项,观察项与项的序号的关系,从中寻找规律; (2)从一般入手,抓住递推公式,充分运用迭代、累加、累乘等常用方法推导通项公式. 4. 数列单调性的判断 (1) 利用数列单调性的定义 : ① 作差法 : 即作差 a n+1 -a n 后与 0 比较 . 若 a n+1 -a n >0 对于任意 n(n∈ N * ) 恒成立 , 则数列 {a n } 是递增数列 ; 若 a n+1 -a n <0 对于任意 n(n∈ N * ) 恒成立 , 则数列 {a n } 是递减数列 ; 若 a n+1 -a n =0 对于任意 n(n∈ N * ) 恒成立 , 则数列 {a n } 是常数列 . (2) 利用数列的图象直观地判断 . 5. 周期数列的概念 对于摆动数列 -1,1,-1,1,-1,1,-1,1, … , 我们观察后可以发现 , 数列的项 -1,1 重复出现 , 用公式表示为 a n =a n+2 . 若记 f(n)=a n , 则可以表示为 f(n)= f(n+2), 即数列中的项循环出现 , 我们称此类数列为周期数列 . 周期数列的递推公式的一般形式为 a n+k =a n (n∈ N * ,k∈ N * ,k≥2), 如数列 1,2, 3,1,2,3,1,2,3, … 是周期为 3 的周期数列 , 满足 a n+3 =a n (n∈ N * ) . 6. 判断周期数列的方法 要判断一个数列是否具有周期性或求解一个周期数列 , 主要方法是通过递推公式求出数列的若干项 , 观察得到规律或由递推公式直接发现规律 . 自我检测 1. 已知 a n+1 -a n -3=0, 则数列 {a n } 是 ( 　 　 ) (A) 递增数列 (B) 递减数列 (C) 常数列 (D) 不能确定 A 解析 : a n+1 -a n =3>0, 所以 a n+1 >a n . 故选 A. C 答案 : 2 4.已知数列{a n }的通项公式为a n =-2n 2 +29n+3,则{a n }中的最大项是第 　 项.   答案 : 7 题型一 利用数列的函数性质判断数列的单调性 课堂探究 【 例 1 】 已知函数 f(x)=2 x -2 -x , 数列 {a n } 满足 f(log 2 a n )=-2n(n∈ N * ). (1) 求数列 {a n } 的通项公式 ; (2) 判断数列 {a n } 的增减性 . 方法技巧 根据函数单调性的定义,采用作差法或作商法比较a n 与a n+1 的大小关系,从而判断数列{a n }的单调性,若a n+1 >a n 恒成立,则{a n }是递增数列;若a n+1 0, 即 a n+1 >a n (n∈ N * ), 故数列 {a n } 是递增数列 . 即时训练 1 - 1: 已知数列 {a n }, 其通项公式为 a n =3n 2 -n(n∈ N * ), 判断数列 {a n } 的单调性 . 题型二 求数列的最大 ( 小 ) 项 【 例 2 】 已知数列 {a n } 的通项公式 a n =n 2 -7n-8. (1) 数列中有多少项为负数 ? 解 : (1) 令 a n <0, 即 n 2 -7n-8<0, 得 -1