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- 2021-06-30 发布
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高三 一轮复习 5.2 等差数列及其前n项和
【教学目标】
1.理解等差数列的概念.
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列有关知识解决相应的问题.
4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.
【重点难点】
1.教学重点理解等差数列的概念并掌握等差数列的通项公式与前n项和公式
2.教学难点学会对知识进行整理达到系统化,提高分析问题和解决问题的能力;
【教学策略与方法】
自主学习、小组讨论法、师生互动法
【教学过程】
教学流程
教师活动
学生活动
设计意图
考纲传真
1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.
真题再现;
1. (2013·课标全国卷Ⅱ)已知等差数列{an}的公差不为零,a1=25,且a1,a11,a13成等比数列.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求a1+a4+a7+…+a3n-2.
【解】 (1)设{an}的公差为d,由题意得a=a1a13,即(a1+10d)2=a1(a1+12d).于是d(2a1+25d)=0.又a1=25,所以d=0(舍去),d=-2.故an=-2n+27.
(2)令Sn=a1+a4+a7+…+a3n-2.由(1)知a3n-2=-6n+31,故{a3n-2}是首项为25,公差为-6的 等差数列.从而Sn=(a1+a3n-2)=(-6n+56)=-3n2+28n.
。
学生通过对高考真题的解决,发现自己对知识的掌握情况。
通过对考纲的解读和分析。让学生明确考试要求,做到有的放矢
知识梳理
知识点1 等差数列
1.定义an+1-an=d(常数)(n∈N*).
2.通项公式an=a1+(n-1)d,an=am+(n-m)d.
3.前n项和公式Sn=na1+=.
4.a,b的等差中项A=.
知识点2 等差数列的性质
已知数列{an}是等差数列,Sn是其前n项和.
(1)若m,n,p,q,k是正整数,且m+n=p+q=2k,
则am+an=ap+aq=2ak.
(2)am,am+k,am+2k,am+3k,…仍是等差数列,公差为kd.
(3)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}是等差数列.
(4)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…,也是等差数列.
(5)若数列{an}的前n项和为Sn,则S2n-1=(2n-1)an,
S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1).
名师点睛 1.必会结论
(1)等差数列的增减性d>0时为递增数列,且当a1<0时,前n项和Sn有最小值,d<0时为递减数列,且当a1>0时,前n项和Sn有最大值.
(2)数列{an}的前n项和Sn=An2+Bn(A≠0)是{an}成等差数列的充分条件.
(3)两个等差数列{an},{bn}的前n项和Sn,Tn之间的关系为=.
(4)若数列{an},{bn}是公差分别为d1,d2的等差数列,则数列{pan},{an+p},{pan+qbn}都是等差数列(p,q都是常数),且公差分别为pd1,d1,pd1+qd2.
2.必知联系;(1)当公差d≠0时,等差数列的通项公式是n的一次函数,当公差d=0时,an为常数.
(2)公差不为0的等差数列的前n项和公式是n
的二次函数,且常数项为0.若某数列的前n项和公式是常数项不为0的二次函数,则该数列不是等差数列,它从第二项起成等差数列.
考点分项突破
考点一等差数列的基本运算
1.(2015·重庆高考)在等差数列{an}中,若a2=4,a4=2,则a6=( )
A.-1 B.0 C.1 D.6
【解析】 ∵{an}为等差数列,∴2a4=a2+a6,∴a6=2a4-a2,即a6=2×2-4=0.【答案】 B
2.(2015·陕西高考)中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2015,则该数列的首项为__________.
【解析】 设数列首项为a1,则=1 010,故a1=5.【答案】 5
归纳 1.等差数列运算问题的通性通法
(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.
(2)等差数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.
2.等差数列前n项和公式的应用方法
根据不同的已知条件选用两个求和公式,如已知首项和公差,则使用公式Sn=na1+d,若已知通项公式,则使用公式Sn=.
考点二等差数列的判定与证明
(1)设an=(n+1)2,bn=n2-n(n∈N*),则下列命题中不正确的是( )
A.{an+1-an}是等差数列
B.{bn+1-bn}是等差数列
C.{an-bn}是等差数列
D.{an+bn}是等差数列
学生通过对高考真题的解决,感受高考题的考察视角。
环节二
(2)(2014·全国卷Ⅰ)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ为常数.
①证明an+2-an=λ;
②是否存在λ,使得{an}为等差数列?并说明理由.
【解析】 (1)对于A,∵an=(n+1)2,∴an+1-an=(n+2)2-(n+1)2=2n+3,设cn=2n+3,∴cn+1-cn=2.∴{an+1-an}是等差数列.故A正确.对于B,∵bn=n2-n(n∈N*),∴bn+1-bn=2n,设cn=2n,∴cn+1-cn=2,∴{bn+1-bn}是等差数列.故B正确.
对于C,∵an=(n+1)2,bn=n2-n(n∈N*),∴an-bn=(n+1)2-(n2-n)=3n+1,设cn=an-bn=3n+1,
∴cn+1-cn=3,∴{an-bn}是等差数列.故C正确.
对于D,an+bn=2n2+n+1,设cn=an+bn,
cn+1-cn不是常数.故D错误.【答案】 D
(2)①证明由题设知anan+1=λSn-1,an+1an+2=λSn+1-1,两式相减得an+1(an+2-an)=λan+1,由于an+1≠0,所以an+2-an=λ.②由题设知a1=1,a1a2=λS1-1,
可得a2=λ-1.由①知,a3=λ+1,令2a2=a1+a3,解得λ=4.故an+2-an=4,由此可得{a2n-1}是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=4n-3;{a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1.所以an=2n-1,an+1-an=2,因此存在λ=4,使得数列{an}为等差数列.
跟踪训练(2014·大纲全国卷)数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2.
(1)设bn=an+1-an,证明{bn}是等差数列;
(2)求{an}的通项公式.
【解】 (1)证明由an+2=2an+1-an+2得
an+2-an+1=an+1-an+2,即bn+1=bn+2.
又b1=a2-a1=1,所以{bn}是首项为1,公差为2的等差数列.
(2)由(1)得bn=1+2(n-1)=2n-1,即an+1-an=2n-1.
于是(ak+1-ak)=(2k-1),所以an+1-a1=n2,即an+1=n2+a1.又a1=1,所以{an}的通项公式为an=n2-2n+2.
归纳等差数列的四个判定方法
1.定义法证明对任意正整数n都有an+1-an等于同一个常数.
2.等差中项法证明对任意正整数n都有2an+1=an+an+2后,可递推得出an+2-an+1=an+1-an=an-an-1=an-1-an-2=…=a2-a1,根据定义得出数列{an}为等差数列.
3.通项公式法得出an=pn+q后,得an+1-an=p对任意正整数n恒成立,根据定义判定数列{an}为等差数列.
4.前n项和公式法得出Sn=An2+Bn后,根据Sn,an的关系,得出an,再使用定义法证明数列{an}为等差数列.
考点三 等差数列性质的应用
(1)(2015·广东高考)在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8=________.
(2)已知等差数列{an}满足a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前10项和S10=________.
(3)设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知前6项和为36,最后6项的和为180,Sn=324(n>6),求数列{an}的项数及a9+a10.
【解析】 (1)因为等差数列{an}中,a3+a4+a5+a6+a7=25,所以5a5=25,即a5=5.所以a2+a8=2a5=10.
(2)∵a2+a4=2a3=4,∴a3=2,又a3+a5=2a4=10,∴a4=5,∴d=a4-a3=3,又a3=a1+2d=2,∴a1=-4,S10=10×(-4)+×3=95.
【答案】 (1)10 (2)95
(3)由题意知a1+a2+…+a6=36,①
an+an-1+an-2+…+an-5=180,②
教师引导学生及时总结,以帮助学生形成完整的认知结构。
引导学生通过对基础知识的逐点扫描,来澄清概念,加强理解。从而为后面的练习奠定基础.
由常见问题的解决和总结,使学生形成解题模块,提高模式识别能力和解题效率。
教师引导学生及时总结,以帮助学生形成完整的认知结构。
①+②得(a1+an)+(a2+an-1)+…+(a6+an-5)=6(a1+an)=216,∴a1+an=36,又Sn==324,∴18n=324,∴n=18.即a1+a18=36,从而a9+a10=a1+a18=36.
跟踪训练1.在等差数列{an}中,3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=24,则该数列前13项和是________.
【解析】 3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=3×2a4+2×3a10
=6a4+6a10=24,∴a4+a10=4,∴a1+a13=4.
S13==26.【答案】 26
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S10=10,S20=30,则S30=________.
【解析】 ∵S10,S20-S10,S30-S20成等差数列,且S10=10,S20=30,∴S20-S10=20,∴S30-S20=2×20-10=30,∴S30=60.【答案】 60
归纳1.本例中主要使用了等差数列中两项和的性质,即若m+n=p+q=2k,则am+an=ap+aq=2ak.
2.掌握等差数列的性质,悉心研究每个性质的使用条件及应用方法,认真分析项数、序号、项的值的特征,这是解题的突破口.
考向4等差数列的前n项和
●命题角度1 等差数列前n项和的最值
1.(2014·北京高考)若等差数列{an}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n=________时,{an}的前n项和最大.
【解析】 ∵a7+a8+a9=3a8>0,∴a8>0.∵a7+a10=a8+a9<0,∴a9<-a8<0.∴数列的前8项和最大,即n=8.【答案】 8
2.等差数列{an}中,设Sn为其前n项和,且a1>0,S3=S11,则当n为多少时,Sn最大?
【解】 法一 由S3=S11,得3a1+d=11a1+d,则d=-a1.从而Sn=n2+n=-(n-7)2
在解题中注意引导学生自主分析和解决问题,教师及时点拨从而提高学生的解题能力和兴趣。
教师引导学生及时总结,以帮助学生形成完整的认知结构。
教师引导学生及时总结,以帮助学生形成完整的认知结构。
引导学生对所学的知识进行小结,由利于学生对已有的知识结构进行编码处理,加强理解记忆,提高解题技能。
+a1,又a1>0,所以-<0.故当n=7时,Sn最大.
法二 由于Sn=an2+bn是关于n的二次函数,由S3=S11,可知Sn=an2+bn的图象关于n==7对称.由方法一可知a=-<0,故当n=7时,Sn最大.
法三 由方法一可知,d=-a1.要使Sn最大,则有即
解得6.5≤n≤7.5,故当n=7时,Sn最大.
法四 由S3=S11,可得2a1+13d=0,即(a1+6d)+(a1+7d)=0,故a7+a8=0,又由a1>0,S3=S11可知d<0,所以a7>0,a8<0,所以当n=7时,Sn最大.
●命题角度2 求数列{|an|}的前n项和
3.在公差为d的等差数列{an}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.
(1)求d,an;
(2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.
【解】 (1)由题意得,a1·5a3=(2a2+2)2,
即a1·5(a1+2d)=[2(a1+d)+2]2,整理得d2-3d-4=0,解得d=-1或d=4.当d=-1时,an=-n+11,
当d=4时,an=4n+6.总上知d=-1,an=-n+11(n∈N*)或d=4,an=4n+6(n∈N*).
(2)设数列{an}的前n项和为Sn.因为d<0,由(1)得d=-1,an=-n+11.令an≥0,即-n+11≥0得n≤11,
从而当n≤11时,an≥0,当n≥12时,an<0.所以当n≤11时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=Sn=-n2+n;
当n≥12时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=(a1+a2+…+a11)-(a12+a13+…+an)=2S11-Sn=n2-n+110.
综上所述,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|
=
归纳1.求等差数列前n项和最值的方法
(1)二次函数法用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n项和的最值,但要注意n∈N*.
(2)图象法利用二次函数图象的对称性来确定n的值,使Sn取得最值.
(3)项的符号法当a1>0,d<0时,满足的项数n,使Sn取最大值;当a1<0,d>0时,满足的项数n,使Sn取最小值,即正项变负项处最大,负项变正项处最小,若有零项,则使Sn取最值的n有两个.
2.求数列{|an|}前n项和的方法
(1)先求an,令an≥0(an≤0)找出an≥0与an<0的项.
(2)根据n的取值范围,分类讨论求和.
环节三
课堂小结
1.理解等差数列的概念.
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列有关知识解决相应的问题.
4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.
学生回顾,总结.
引导学生对学习过程进行反思,为在今后的学习中,进行有效调控打下良好的基础。
环节四
课后作业学生版练与测
学生通过作业进行课外反思,通过思考发散巩固所学的知识。