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- 2021-06-30 发布
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____第8课__函数的性质(2)____
1. 理解函数奇偶性的概念,掌握判断一些简单函数奇偶性的方法.
2. 掌握奇、偶函数的对称性,体会数学的对称美.
3. 能解决与单调性、奇偶性等有关的一些综合题.
1. 阅读:必修1第41~45页.
2. 解悟:①判断函数奇偶性的一般步骤是什么?②具备奇偶性的函数,其定义域必须具有怎样的特点?这一特点是函数奇偶性定义的要求吗?③请尝试写出具备奇偶性的函数的其他性质;④什么是周期函数?你能用数学符号表示吗?你知道的周期函数有哪些?
3. 践习:在教材空白处,完成第43页练习第1、2、4、6、7题.
基础诊断
1. 若函数f(x)=在定义域上为奇函数,则实数k=__±1__.
解析:由题意得f(-x)=-f(x),
则=-,
即=,
所以k=±1.
2. 若定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则f(6)=__0__;若g(x)是偶函数,则函数g(x+1)图象的对称轴为直线__x=-1__.
解析:因为f(x+2)=-f(x),
所以f(x+4)=-f(x+2),
所以f(x)=f(x+4),所以函数f(x)是以4为周期的函数,所以f(6)=f(2).因为f(x+2)=-f(x),所以f(2)=-f(0)=f(6).
因为函数f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,所以f(6)=0.因为g(x)是偶函数,所以函数g(x)的图象关于y轴,即直线x=0对称,g(x+1)是将函数g(x)的图象向左平移1个单位长度得到的,所以函数g(x+1)图象的对称轴为直线x=-1.
3. 已知定义在R上的偶函数f(x)在区间[0,+∞)上是单调增函数,若f(-1)1,即lgx>1或lgx<-1,解得x>10或00,所以f(-x)=x2+2x.因为函数f(x)是R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以-f(x)=x2+2x,即f(x)=-x2-2x,故当x<0时,f(x)=-x2-2x.
5. 设函数f(x)(x∈R)为奇函数,f(1)=,f(x+2)=f(x)+f(2),则f(5)=____.
解析:由题意得f(-1)=-f(1)=-,
f(1)=f(-1+2)=f(-1)+f(2),
所以=-+f(2),即f(2)=1,
所以f(3)=f(1)+f(2)=+1=,
f(5)=f(3)+f(2)=+1=.
范例导航
考向❶ 判断函数的奇偶性
例1 判断下列函数的奇偶性.
(1) f(x)=;
(2) f(x)=lg(x+);
(3) f(x)=.
解析:(1) 由题意得函数f(x)的定义域为R,
f(x)==+2+2x,则f(-x)=+2+2-x=2x+2+,即f(x)=f(-x),所以函数f(x)为偶函数.
(2) 由题意得函数f(x)的定义域为R.因为f(x)=lg(x+),所以f(-x)+f(x)=lg(-x+)+lg(x+)=lg[(-x+)·(x+)]=lg1=0,所以f(-x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数.
(3) 由题意得,函数f(x)的定义域为(-2,0)∪(0,2),
所以x+3>0,所以f(x)=,f(-x)=,f(-x)=-f(x),所以函数f(x)是奇函数.
判断函数f(x)=x2+|x-a|+1,a∈R,x∈R的奇偶性.
解析:当a=0时,f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x),
此时f(x)为偶函数;
当a≠0时,f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,
f(a)≠-f(-a),f(a)≠f(-a),
此时f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
考向❷ 单调性、奇偶性的综合
例2 已知函数f(x)=是奇函数.
(1) 求实数m的值;
(2) 若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围.
解析:(1) 设x<0,则-x>0,
所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.
又f(x)为奇函数,所以-f(-x)=f(x),
于是当x<0时,f(x)=x2+2x=x2+mx,
所以m=2.
(2) 由(1)知f(x)在[-1,1]上是增函数,要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增,
则所以1m2-1,解得-20的x的取值范围是__(-1,0)∪(1,+∞)__.
解析:由已知条件可得,函数f(x)的解析式为f(x)=其图象如图所示,故f(x)>0的解集为(-1,0)∪(1,+∞).
3. 已知函数f(x)是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,且g(x)=f(x-1),若f(2)=2,则f(2 018)=__2__.
解析:由题意得,f(x)=f(-x),g(-x)=-g(x).因为g(x)=f(x-1),所以g(-x)=f(-x-1),即-g(x)=f(-x-1)=f(x+1),
所以f(x+1)=-f(x-1),所以f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=f(x),所以f(x)为周期函数,周期为4,所以f(2 018)=f(4×504+2)=f(2)=2,即f(2 018)=2.
4. 设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1]上,f(x)=(其中a,b∈R),若f=f,则a+3b的值为__-10__.
解析:由题意得f=f=1-,f==.
因为f=f,所以1-a=①.
又因为f(-1)=f(1),所以-a+1=②.
联立①②得,解得
所以a+3b=2+3×(-4)=-10.
1. 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称,反之也成立.利用这一性质可简化一些函数图象的画法,也可以利用它去判断函数的奇偶性.
2. 若对于函数f(x)的定义域内任一个自变量x的值都有f(x+a)=-f(x)或f(x+a)=或f(x+a)=-(a是常数且a≠0),则f(x)是一个周期为2a的周期函数.
3. 你还有哪些体悟,写下来: