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  • 2021-06-30 发布

【数学】2020届一轮复习人教A版第8课函数的性质(2)学案(江苏专用)

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‎____第8课__函数的性质(2)____‎ ‎1. 理解函数奇偶性的概念,掌握判断一些简单函数奇偶性的方法.‎ ‎2. 掌握奇、偶函数的对称性,体会数学的对称美.‎ ‎3. 能解决与单调性、奇偶性等有关的一些综合题.‎ ‎1. 阅读:必修1第41~45页.‎ ‎2. 解悟:①判断函数奇偶性的一般步骤是什么?②具备奇偶性的函数,其定义域必须具有怎样的特点?这一特点是函数奇偶性定义的要求吗?③请尝试写出具备奇偶性的函数的其他性质;④什么是周期函数?你能用数学符号表示吗?你知道的周期函数有哪些?‎ ‎3. 践习:在教材空白处,完成第43页练习第1、2、4、6、7题.‎ ‎ 基础诊断 ‎ ‎1. 若函数f(x)=在定义域上为奇函数,则实数k=__±1__.‎ 解析:由题意得f(-x)=-f(x),‎ 则=-,‎ 即=,‎ 所以k=±1.‎ ‎2. 若定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则f(6)=__0__;若g(x)是偶函数,则函数g(x+1)图象的对称轴为直线__x=-1__.‎ 解析:因为f(x+2)=-f(x),‎ 所以f(x+4)=-f(x+2),‎ 所以f(x)=f(x+4),所以函数f(x)是以4为周期的函数,所以f(6)=f(2).因为f(x+2)=-f(x),所以f(2)=-f(0)=f(6).‎ 因为函数f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,所以f(6)=0.因为g(x)是偶函数,所以函数g(x)的图象关于y轴,即直线x=0对称,g(x+1)是将函数g(x)的图象向左平移1个单位长度得到的,所以函数g(x+1)图象的对称轴为直线x=-1.‎ ‎3. 已知定义在R上的偶函数f(x)在区间[0,+∞)上是单调增函数,若f(-1)1,即lgx>1或lgx<-1,解得x>10或00,所以f(-x)=x2+2x.因为函数f(x)是R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以-f(x)=x2+2x,即f(x)=-x2-2x,故当x<0时,f(x)=-x2-2x.‎ ‎5. 设函数f(x)(x∈R)为奇函数,f(1)=,f(x+2)=f(x)+f(2),则f(5)=____.‎ 解析:由题意得f(-1)=-f(1)=-,‎ f(1)=f(-1+2)=f(-1)+f(2),‎ 所以=-+f(2),即f(2)=1,‎ 所以f(3)=f(1)+f(2)=+1=,‎ f(5)=f(3)+f(2)=+1=.‎ ‎ 范例导航 ‎ 考向❶ 判断函数的奇偶性 例1 判断下列函数的奇偶性.‎ ‎(1) f(x)=;‎ ‎(2) f(x)=lg(x+); ‎ ‎(3) f(x)=.‎ 解析:(1) 由题意得函数f(x)的定义域为R,‎ f(x)==+2+2x,则f(-x)=+2+2-x=2x+2+,即f(x)=f(-x),所以函数f(x)为偶函数.‎ ‎(2) 由题意得函数f(x)的定义域为R.因为f(x)=lg(x+),所以f(-x)+f(x)=lg(-x+)+lg(x+)=lg[(-x+)·(x+)]=lg1=0,所以f(-x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数.‎ ‎(3) 由题意得,函数f(x)的定义域为(-2,0)∪(0,2),‎ 所以x+3>0,所以f(x)=,f(-x)=,f(-x)=-f(x),所以函数f(x)是奇函数.‎ 判断函数f(x)=x2+|x-a|+1,a∈R,x∈R的奇偶性.‎ 解析:当a=0时,f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x),‎ 此时f(x)为偶函数;‎ 当a≠0时,f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,‎ f(a)≠-f(-a),f(a)≠f(-a),‎ 此时f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.‎ 考向❷ 单调性、奇偶性的综合 例2 已知函数f(x)=是奇函数.‎ ‎(1) 求实数m的值;‎ ‎(2) 若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围.‎ 解析:(1) 设x<0,则-x>0,‎ 所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x. ‎ 又f(x)为奇函数,所以-f(-x)=f(x),‎ 于是当x<0时,f(x)=x2+2x=x2+mx,‎ 所以m=2.‎ ‎(2) 由(1)知f(x)在[-1,1]上是增函数,要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增,‎ 则所以1m2-1,解得-20的x的取值范围是__(-1,0)∪(1,+∞)__.‎ 解析:由已知条件可得,函数f(x)的解析式为f(x)=其图象如图所示,故f(x)>0的解集为(-1,0)∪(1,+∞).‎ ‎3. 已知函数f(x)是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,且g(x)=f(x-1),若f(2)=2,则f(2 018)=__2__.‎ 解析:由题意得,f(x)=f(-x),g(-x)=-g(x).因为g(x)=f(x-1),所以g(-x)=f(-x-1),即-g(x)=f(-x-1)=f(x+1),‎ 所以f(x+1)=-f(x-1),所以f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=f(x),所以f(x)为周期函数,周期为4,所以f(2 018)=f(4×504+2)=f(2)=2,即f(2 018)=2.‎ ‎4. 设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1]上,f(x)=(其中a,b∈R),若f=f,则a+3b的值为__-10__.‎ 解析:由题意得f=f=1-,f==.‎ 因为f=f,所以1-a=①.‎ 又因为f(-1)=f(1),所以-a+1=②.‎ 联立①②得,解得 所以a+3b=2+3×(-4)=-10.‎ ‎1. 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称,反之也成立.利用这一性质可简化一些函数图象的画法,也可以利用它去判断函数的奇偶性.‎ ‎2. 若对于函数f(x)的定义域内任一个自变量x的值都有f(x+a)=-f(x)或f(x+a)=或f(x+a)=-(a是常数且a≠0),则f(x)是一个周期为2a的周期函数. ‎ ‎3. 你还有哪些体悟,写下来:‎ ‎                                    ‎ ‎                                    ‎

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