【数学】2020届一轮复习人教A版第8课函数的性质(2)学案（江苏专用） 6页

‎____第8课__函数的性质(2)____‎ ‎1. 理解函数奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数奇偶性的方法．‎ ‎2. 掌握奇、偶函数的对称性，体会数学的对称美．‎ ‎3. 能解决与单调性、奇偶性等有关的一些综合题.‎ ‎1. 阅读：必修1第41～45页．‎ ‎2. 解悟：①判断函数奇偶性的一般步骤是什么？②具备奇偶性的函数，其定义域必须具有怎样的特点？这一特点是函数奇偶性定义的要求吗？③请尝试写出具备奇偶性的函数的其他性质；④什么是周期函数？你能用数学符号表示吗？你知道的周期函数有哪些？‎ ‎3. 践习：在教材空白处，完成第43页练习第1、2、4、6、7题.‎ ‎　基础诊断　‎ ‎1. 若函数f(x)＝在定义域上为奇函数，则实数k＝__±1__．‎ 解析：由题意得f(－x)＝－f(x)，‎ 则＝－，‎ 即＝，‎ 所以k＝±1.‎ ‎2. 若定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)＝__0__；若g(x)是偶函数，则函数g(x＋1)图象的对称轴为直线__x＝－1__．‎ 解析：因为f(x＋2)＝－f(x)，‎ 所以f(x＋4)＝－f(x＋2)，‎ 所以f(x)＝f(x＋4)，所以函数f(x)是以4为周期的函数，所以f(6)＝f(2)．因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(2)＝－f(0)＝f(6)．‎ 因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，所以f(6)＝0.因为g(x)是偶函数，所以函数g(x)的图象关于y轴，即直线x＝0对称，g(x＋1)是将函数g(x)的图象向左平移1个单位长度得到的，所以函数g(x＋1)图象的对称轴为直线x＝－1.‎ ‎3. 已知定义在R上的偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调增函数，若f(－1)1，即lgx>1或lgx<－1，解得x>10或00，所以f(－x)＝x2＋2x.因为函数f(x)是R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以－f(x)＝x2＋2x，即f(x)＝－x2－2x，故当x<0时，f(x)＝－x2－2x.‎ ‎5. 设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)＝，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)＝____．‎ 解析：由题意得f(－1)＝－f(1)＝－，‎ f(1)＝f(－1＋2)＝f(－1)＋f(2)，‎ 所以＝－＋f(2)，即f(2)＝1，‎ 所以f(3)＝f(1)＋f(2)＝＋1＝，‎ f(5)＝f(3)＋f(2)＝＋1＝.‎ ‎　范例导航　‎ 考向❶ 判断函数的奇偶性 例1　判断下列函数的奇偶性．‎ ‎(1) f(x)＝；‎ ‎(2) f(x)＝lg(x＋); ‎ ‎(3) f(x)＝.‎ 解析：(1) 由题意得函数f(x)的定义域为R，‎ f(x)＝＝＋2＋2x，则f(－x)＝＋2＋2－x＝2x＋2＋，即f(x)＝f(－x)，所以函数f(x)为偶函数．‎ ‎(2) 由题意得函数f(x)的定义域为R.因为f(x)＝lg(x＋)，所以f(－x)＋f(x)＝lg(－x＋)＋lg(x＋)＝lg[(－x＋)·(x＋)]＝lg1＝0，所以f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．‎ ‎(3) 由题意得，函数f(x)的定义域为(－2，0)∪(0，2)，‎ 所以x＋3>0，所以f(x)＝，f(－x)＝，f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数．‎ 判断函数f(x)＝x2＋|x－a|＋1，a∈R，x∈R的奇偶性．‎ 解析：当a＝0时，f(－x)＝(－x)2＋|－x|＋1＝f(x)，‎ 此时f(x)为偶函数；‎ 当a≠0时，f(a)＝a2＋1，f(－a)＝a2＋2|a|＋1，‎ f(a)≠－f(－a)，f(a)≠f(－a)，‎ 此时f(x)既不是奇函数，也不是偶函数.‎ 考向❷ 单调性、奇偶性的综合 例2　已知函数f(x)＝是奇函数．‎ ‎(1) 求实数m的值；‎ ‎(2) 若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．‎ 解析：(1) 设x<0，则－x>0，‎ 所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x. ‎ 又f(x)为奇函数，所以－f(－x)＝f(x)，‎ 于是当x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，‎ 所以m＝2.‎ ‎(2) 由(1)知f(x)在[－1，1]上是增函数，要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，‎ 则所以1m2－1，解得－20的x的取值范围是__(－1，0)∪(1，＋∞)__．‎ 解析：由已知条件可得，函数f(x)的解析式为f(x)＝其图象如图所示，故f(x)>0的解集为(－1，0)∪(1，＋∞)．‎ ‎3. 已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，若f(2)＝2，则f(2 018)＝__2__．‎ 解析：由题意得，f(x)＝f(－x)，g(－x)＝－g(x)．因为g(x)＝f(x－1)，所以g(－x)＝f(－x－1)，即－g(x)＝f(－x－1)＝f(x＋1)，‎ 所以f(x＋1)＝－f(x－1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)为周期函数，周期为4，所以f(2 018)＝f(4×504＋2)＝f(2)＝2，即f(2 018)＝2.‎ ‎4. 设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f(x)＝(其中a，b∈R)，若f＝f，则a＋3b的值为__－10__．‎ 解析：由题意得f＝f＝1－，f＝＝.‎ 因为f＝f，所以1－a＝①.‎ 又因为f(－1)＝f(1)，所以－a＋1＝②.‎ 联立①②得，解得 所以a＋3b＝2＋3×(－4)＝－10.‎ ‎1. 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．‎ ‎2. 若对于函数f(x)的定义域内任一个自变量x的值都有f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝或f(x＋a)＝－(a是常数且a≠0)，则f(x)是一个周期为2a的周期函数. ‎ ‎3. 你还有哪些体悟，写下来：‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎