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- 2021-06-30 发布
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一.方法综述
( 对于创新型问题,包括
(Ⅰ)将实际问题抽象为数学问题,此类问题往往含有文字语言、符号语言、图表语言,要明确题中已知量与未知量的数学关系,要理解生疏的情境、名词、概念,将实际问题数学化,将现实问题转化为数学问题,构建数学模型,运用恰当的数学方法解模(如借助不等式、导数等工具加以解决)。
(Ⅱ)创新性问题
①以新概念、新定义给出的信息迁移型创新题,运用“老知识”解决新问题是关键.
②以新运算给出的发散型创新题,检验运算能力、数据处理能力.
③以命题的推广给出的类比、归纳型创新题,要注意观察特征、寻找规律,充分运用特殊与一般的辩证关系进行求解.
二.解题策略
类型一 实际应用问题
【例1】【北京市石景山区 第一学期期末】小明在如图1所示的跑道上匀速跑步,他从点出发,沿箭头方向经过点跑到点,共用时,他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程,设小明跑步的时间为,他与教练间的距离为,表示与的函数关系的图象大致如图2所示,则这个固定位置可能是图1中的( )
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
【答案】D
【指点迷津】解答应用性问题要先审清题意,然后将文字语言转化为数学符号语言,最后建立恰当的数学模型求解.其中,函数、数列、不等式、概率统计是较为常见的模型.
【举一反三】【辽宁省沈阳市郊联体2017-2018上学期期末】2016年1月14日,国防 工局宣布,嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过,正式开始实施,如图所示,假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后,在月球附近一点变轨进入月球球为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行,之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行,若用和分别表示椭圆轨道I和II的焦距,用和
分别表示椭圆轨道I和II的长轴长,给出下列式子
① ② ③ ④
其中正确的式子的序号是( )
A. ②③ B. ①④ C. ①③ D. ②④
【答案】B
类型二 创新性问题
【例2】设D是函数y=f(x)定义域内的一个区间,若存在x0∈D,使得f(x0)=-x0,则称x0是f(x)的一个“次不动点”,也称f(x)在区间D上存在“次不动点”.若函数f(x)=ax2-3x-a+在区间[1,4]上存在“次不动点”,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,0] B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意,方程ax2-3x-a+=-x在区间[1,4]上有解,显然x≠1,所以方程ax2-3x-a+=-x在区间(1,4]上有解,即求函数a=在区间(1,4]上的值域,学*
令t=4x-5,则t∈(-1,11],a=,当t∈(-1,0]时,a≤0;
当t∈(0,11]时,0<a=≤=,当且仅当t=3时取等号.
综上,实数a的取值范围是.学*
【指点迷津】高中数学创新试题呈现的形式是多样化的,但是考查的知识和能力并没有太大的变化,解决创新性问题应注意三点 认真审题,确定目标;深刻理解题意;开阔思路,发散思维,运用观察、比较、类比、猜想等进行合理推理,以便为逻辑思维定向.方向确定后,又需借助逻辑思维,进行严格推理论证,这两种推理的灵活运用,两种思维成分的交织融合,便是处理这类问题的基本思想方法和解题策略.
【例3】定义 如果一个列从第二项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常,那么这个列叫作等差列,这个常叫作等差列的公差.已知向量列{an}是以a1=(1,3)为首项,公差为d=(1,0)的等差向量列,若向量an与非零向量bn=(xn,xn+1)(n∈N*)垂直,则=________.
【答案】-
【解析】易知an=(1,3)+(n-1,0)=(n,3),因为向量an与非零向量bn=(xn,xn+1)(n∈N*)垂直,
所以=-,所以=········=××××××××=-.
【指点迷津】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种,然后根据此新定义去解决问题,有时还需要用类比的方法去理解新的定义,这样有助于对新定义的透彻理解。对于此题中的新概念,对阅读理解能力有一定的要求。但是,透过现象看本质,它们考查的还是基础数学知识,所以说“新题”不一定是“难题”,掌握好三基,以不变应万变才是制胜法宝。
【举一反三】【2017·青岛一模】如果对定义在R上的函数f(x),对任意两个不相等的实数x1,x2,都有x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1),则称函数f(x)为“H函数”.
给出下列函数 ①y=x2;②y=ex+1;③y=2x-sin ;④f(x)=以上函数是“H函数”的所有序号为________.
【答案】②③
④显然,函数f(x)为偶函数,而偶函数在y轴两侧的单调性相反,故不合题意.
综上,②③为“H函数”.学*
3.如图,在平面斜坐标系xOy中,∠xOy=θ,平面上任意一点P关于斜坐标系的斜坐标这样定义 若=xe1+ye2(其中e1,e2分别是x轴,y轴正方向上的单位向量),则点P的斜坐标为(x,y),向量的斜坐标为 (x,y).
给出以下结论
①若θ=60°,P(2,-1),则||=;
②若P(x1,y1),Q(x2,y2),则+=(x1+x2,y1+y2);
③若=(x1,y1),=(x2,y2),则·=x1x2+y1y2;
④若θ=60°,以O为圆心、1为半径的圆的斜坐标方程为x2+y2+xy-1=0.
其中所有正确结论的序号是________.
【答案】①②④
三.强化训练
1.【北京市朝阳区 第一学期期末】伟大的数学家高斯说过 几何学唯美的直观能够帮助我们了解大自然界的基本问题.一位同学受到启发,借助以下两个相同的矩形图形,按以下步骤给出了不等式 的一种“图形证明”.
证明思路
(1)左图中白色区域面积等于右图中白色区域面积;
(2)左图中阴影区域的面积为,右图中,设,右图阴影区域的面积可表示为_________(用含, 的式子表示);
(3)由图中阴影面积相等,即可导出不等式. 当且仅当满足条件__________________时,等号成立.
【答案】
2.若直角坐标平面内不同两点P,Q满足条件 ①P,Q都在函数y=f(x)的图象上;
②P,Q关于原点对称,则称(P,Q)是函数y=f(x)的一个“伙伴点组”(点组(P,Q)与(Q,P)可看成同一个“伙伴点组”).已知函数f(x)=有两个“伙伴点组”,则实数 的取值范围是______________.
【答案】
【解析】设点是函数的一个“伙伴点组”中的一个点,则其关于原点的对称点必在该函数图象上,故,消去,整理得.若函数有两个“伙伴点组”,则该方程有两个不等的正实数根,得,解得,即实数的取值范围是,故答案为.学*
3.【湖北省襄阳市 1月调研统测】若函数对定义域D内的每一个x1,都存在唯一的x2∈D,使得成立,则称f (x)为“自倒函数”.给出下列命题
①是自倒函数;
②自倒函数f (x)可以是奇函数;
③自倒函数f (x)的值域可以是R;
④若都是自倒函数,且定义域相同,则也是自倒函数.
则以上命题正确的是_______(写出所有正确命题的序号).
【答案】①②
4.已知函数f(x)=alog2|x|+1(a≠0),定义函数给出下列命题
①F(x)=|f(x)|;
②函数F(x)是奇函数;
③当a>0时,若x1x2<0,x1+x2>0,则F(x1)+F(x2)>0成立;
④当a<0时,函数y=F(x2-2x-3)存在最大值,不存在最小值.
其中所有正确命题的序号是________.
【答案】②③
【解析】 ①因为,而,这两个函数的定义域不同,不是同一函数,即不成立,①错误;学*
②当时, ,
;
当时, ,
,
所以函数是奇函数,②正确;
③当时, 在上是单调增函数.若,不妨设,所以,又因为函数是奇函数, ,所以,③正确;
④函数,
当时,因为,
所以既没有最大值,也没有最小值.
5.如图所示,放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动,点B恰好经过原点.设顶点P(x,y)的轨迹方程是y=f(x),则对函数y=f(x)有下列判断
①若-2≤x≤2,则函数y=f(x)是偶函数;
②对任意的x∈R,都有f(x+2)=f(x-2);
③函数y=f(x)在区间[2,3]上单调递减;
④函数y=f(x)在区间[4,6]上是减函数.
其中判断正确的序号是________.(写出所有正确结论的序号)
【答案】①②④
∴函数的周期是4,因此最终构成的图象如下 [ , , ]
①根据图象的对称性可知函数y=f(x)是偶函数,[ 学* * *X*X* ]
∴①正确;
②由图象可知函数的周期是4,∴②正确;
③由图象可判断函数y=f(x)在区间[2,3]上单调递增,∴③错误;
④由图象可判断函数y=f(x)在区间[4,6]上是减函数,∴④正确.
故答案为①②④.
6.【河北省定州中学2017-2018上学期第二次月考】设函数的定义域为,若函数满足下列两个条件,则称在定义域上是闭函数.①在上是单调函数;②存在区间,使在上值域为.如果函数为闭函数,则的取值范围是_______.
【答案】
故答案为
7.【湖南省长郡中学 高三月考】设函数的定义域为,如果, ,使(为常数)成立,则称函数在上的均值为.给出下列四个函数 ①;②;③;④.则其中满足在其定义域上均值为2的函数是__________.
【答案】③
8.【北京丰台二中 上学期期中考试】对于的子集,定义的“特征数列”为,, ,,其中,其余项均为.例如 子集的“特征数列”为, , , , , , .
()子集的“特征数列”的前项和等于__________.
()若的子集的“特征数列”, , , 满足, , ; 的子集的“特征数列”, , , 满足, , ,则的元素个数为__________.
【答案】 2 17
【解析】()据“特征数列”的定义可知子集的“特征数列”为, , , , , , , ,故其前三项和为.
9.【2016·开封联考】如图所示,由曲线y=x2,直线x=a,x=a+1(a>0)及x轴围成的曲边梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间,即.运用类比推理,若对∀n∈N*, 恒成立,则实数A=________.
【答案】
【解析】令,
依据类比推理可得A1=dx=ln(n+1)-lnn,A2=dx=ln(n+2)-ln(n+1),…,An=dx=ln(2n)-ln(2n-1),所以A=A1+A2+…+An=ln(n+1)-lnn+ln(n+2)-ln(n+1)+…+ln(2n)-ln(2n-1)=ln(2n)-lnn=ln 2.
10.在某种金属材料的耐高温实验中,温度随着时间变化的情况由微机记录后显示的图象如图325所示.现给出下列说法
图325
①前5min温度增加的速度越来越快;②前5min温度增加的速度越来越慢;③5min以后温度保持匀速增加;④5min以后温度保持不变.
其中正确的说法是________.(填序号)
【答案】②④
【解析】由图像可知前5min中温度增加,但是增加速度越来越慢,所以②对,①错。5min以后温度图像是一条水平线,所以温度保持不变,④对,③错,选②④。
11.【湖北省枣阳市高级中学 上学期10月份月考】如图,多边形由一个矩形和一个去掉一个角的正方形组成, 现有距离为且与边平行的两条直线截取该多边形所得图形(阴影部分)的面积为,其中表示与间的距离,当 时, =__________.
【答案】
12.【湖南省株洲市 质量统测】如表给出一个“等差数阵” 其中每行、每列都是等差数列, 表示位于第行第列的数.则112在这“等差数阵”中出现的次数为__________.
【答案】7
13.【辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校2017-2018上学期期末考试】一个容器装有细沙,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地均速漏出, 后剩余的细沙量为,经过后发现容器内还有一半的沙子,则再经过( ),容器中的沙子只有开始时的八分之一.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】依题意有= ,即 ,两边取对数得 当容器中只有开始时的八分之一,则有 两边取对数得,所以再经过的时间为24-8=16.故选B.
14.【河北衡水金卷 高考模拟一】若函数, ,对于给定的非零实数,总存在非零常数,使得定义域内的任意实数,都有恒成立,此时为的类周期,函数是上的级类周期函数.若函数是定义在区间内的2级类周期函数,且,当时,函数.若, ,使成立,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
15.【江西省赣州市寻乌中学 上学期期末考试】若直线与曲线满足下列两个条件
(i)直线在点处与曲线相切;(ii)曲线在点附近位于直线的两侧.则称直线在点处“切过”曲线.
下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号).
①直线在点处“切过”曲线;
②直线在点处“切过”曲线;
③直线在点处“切过”曲线;
④直线在点处“切过”曲线;
⑤直线在点处“切过”曲线.
【答案】①③④
【解析】对于①,由于,得,则,直线是过点曲线的切线,又当时, ,当时, ,满足曲线在
附近位于直线两侧, 命题①正确;对于②,由,得,则,而直线斜率不存在,在点处不与曲线相切, 命题②错误;对于③,由,得,则,直线是过点