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- 2021-06-30 发布
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§2 两角和与差的三角函数公式
2.1 两角和与差的余弦公式及其应用
必备知识·自主学习
两角和与差的余弦公式
简记
符号 公式 使用
条件
Cα-β
cos(α-
β)=______________________
α,β∈R
Cα+β
cos(α+β)=_____________________
_
cosαcosβ+sinαsinβ
cosαcosβ-sinαsinβ
【思考】
(1)cos(α-β)与cos α-cos β相等吗?
提示:一般情况下不相等,但在特殊情况下也有相等的时候.
例如当α=0°,β=60°时cos(0°-60°)=cos 0°-cos 60°.
(2)两角和与差的余弦公式有怎样的结构特点?
提示:公式的左边是差角的余弦,右边的式子是含有同名函数之积的和式,可用
口诀“余余正正号相反”记忆公式.
(3)两角和与差的余弦公式有怎样的适用条件?
提示:公式中的α,β不仅可以是任意具体的角,也可以是一个“团体”,如
cos 中的“ ”相当于公式中的角α,“ ”相当于公式中
的角β.可用两角差的余弦公式展开,因此对公式的理解要注意结构形式,而不
要局限于具体的角.
( )2 2
－－ 2
2
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)cos(70°+40°)=cos 70°-cos 40°. ( )
(2)对于任意实数α,β,cos(α-β)=cos α-cos β都不成立. ( )
(3)对任意α,β∈R,cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β都成立. ( )
(4)cos 30°cos60°+sin 30°sin 60°=1. ( )
提示:(1)×.cos(70°+40°)=cos 110°≠cos 70°-cos 40°.
(2)×.当α=-45°,β=45°时,cos(α-β)=cos(-45°-45°)
=cos(-90°)=0,cos α-cos β=cos(-45°)-cos 45°=0,
此时cos(α-β)=cos α-cos β.
(3)√.结论为两角和的余弦公式.
(4) ×.cos 30°cos 60°+sin 30°sin 60°=cos(60°-30°)=cos 30°= .3
2
2.cos 75°cos 15°-sin 75°sin 15°的值等于________.
【解析】逆用两角和的余弦公式可得:
cos 75°cos 15°-sin 75°sin 15°=cos(75°+15°)=cos 90°=0.
答案:0
3.(教材二次开发:例题改编)计算cos(60°-45°)=________.
【解析】cos(60°-45°)=cos 60°cos 45°+sin 60°sin 45°
= × + × = .
答案:
1
2
2
2
2
2
3
2
2 6
4
2 6
4
4.计算:cos 80°cos 20°+sin 80°sin 20°=________.
【解析】原式=cos(80°-20°)=cos 60°= .
答案:
1
2
1
2
关键能力·合作学习
类型一 两角和与差的公式的简单应用(数学运算)
【题组训练】
1.(2020·台州高一检测)计算sin 46°cos 14°+sin 44°cos 76°的结果
等于 ( )
A. B. C. D. 1
2
2
2
3
2
3
3
2.cos 75°的值为 ( )
A. B.
C.- D.-
3.(2020·菏泽高一检测) cos 15°+ sin 15°的值是 ( )
A. B.- C. D.-
6 2
4
6 2
4
6 2
4
6 2
4
1
2
3
2
2
2
2
2
6
2
6
2
【解析】1.选C.原式=cos 44°cos 14°+sin 44°sin 14°
=cos(44°-14°)=cos 30°= .
2.选B.cos 75°=cos(135°-60°)=cos 135°cos 60°+sin 135°sin 60°
=- × + × = .
3.选A. cos 15°+ sin 15°
=cos 60°cos 15°+sin 60°sin 15°
=cos(60°-15°)=cos 45°= .
3
2
2
2
1
2
2
2
3
2
6 2
4
1
2
3
2
2
2
【解题策略】
利用两角和与差的余弦公式求值的一般思路
(1)把非特殊角转化为特殊角的和差,利用公式直接求解.
(2)在转化过程中,充分利用诱导公式,构造两角差的余弦公式右边形式,然后逆
用公式求值.
【补偿训练】
求下列各式的值:(1)cos .
(2)sin 400°sin(-160°)+cos 560°cos(-220°).
13
12
π
【解析】(1)cos =cos =-cos
=-cos（ ）=-cos（ ）
=-
=- .
(2)原式=-sin 40°sin 160°+cos 200°cos 220°
=-sin 40°sin 20°+cos 20°cos 40°
=cos 40°cos 20°-sin 40°sin 20°
=cos 60°= .
13
12
π
12
（ ＋ ） 12
π
3 2
12 12
4 6
(cos cos sin sin )4 6 4 6
2 3 2 1 6 2( 2 2 2 2 4
)＝－
1
2
类型二 给值求值问题(数学运算)
角度1 代入求值问题
【典例】已知sin = ,则cos α+ sin α的值为 ( )
A.- B. C.2 D.-1
【思路导引】对所求式逐步变形,直至可代入已知条件即可.
( )6
＋ 1
4 3
1
4
1
2
【解析】选B.cos α+ sin α=2
= .
3
1 3( cos sin ) 2cos( )2 2 3
＝
1 12sin[ ( )] 2sin( ) 22 3 6 4 2
＝ ＝ ＝
角度2 角的“拼凑”问题
【典例】设α,β都是锐角,且cos α= ,sin(α+β)= ,则cos β等
于( )
A. B.
C. 或 D. 或
【思路导引】考虑如何用已知角α,α+β的差来表示所求角β,进而利用两角
差的余弦公式解决.
5
5
3
5
2 5
25
2 5
5
2 5
25
2 5
5
5
5
5
25
【解析】选A.依题意得sin α= = ,
cos(α+β)=± =± .
又α,β均为锐角,
所以0<α<α+β<π,cos α>cos(α+β).
因为 > >- ,所以cos(α+β)=- .
于是cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α
=- × + × = .
21 cos －
2 5
5
21 sin ( ) － ＋ 4
5
4
5
5
5
4
5
4
5
4
5
5
5
3
5
2 5
5
2 5
25
【变式探究】
本例若改为:已知α,β为锐角,且cos α= ,cos(α+β)=- ,求cos β的值.
【解析】因为0<α< ,0<β< ,所以0<α+β<π.
由cos(α+β)=- ,得sin(α+β)= .
又因为cos α= ,所以sin α= .
所以cos β=cos[(α+β)-α]
=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α
= .
4
5
16
65
16
65
2
π
4
5
3
5
63
65
2
π
16 4 63 3 5( )65 5 65 5 13
＋ ＝
【解题策略】
给值求值的解题策略
(1)已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,要注意观察已知角
与所求表达式中角的关系,即拆角与凑角.
(2)由于和、差角与单角是相对的,因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或
凑角的变换.常见角的变换有:
①α=(α-β)+β;
②α= + ;
③2α=(α+β)+(α-β);
④2β=(α+β)-(α-β).
2
＋
2
【题组训练】
1.已知α为锐角,β为第三象限角,且cos α= ,sin β=- ,则cos(α+β)
的值为 ( )
A.- B.- C. D.
【解析】选B.因为α为锐角,且cos α= ,所以sin α= = .因为
β为第三象限角,且sin β=- ,所以cos β=- =- ,所以cos(α+β)
=cos αcos β-sin αsin β= ×（- ）- ×（- ）=- .
12
13
3
5
63
65
33
65
63
65
33
65
12
13
21 cos －
5
13
3
5
21 sin － 4
5
12
13
4
5
5
13
3
5
33
65
2.已知cos = ,则cos α+ sin α的值为________.
【解析】因为cos =cos cos α+sin sin α
= cos α+ sin α= ,所以cos α+ sin α= .
答案:
( )3
－ 1
8 3
( )3
－
3
3
1
2
3
2
1
8 3 1
4
1
4
类型三 给值求角问题(数学运算)
【典例】已知cos（α－β）=- ,cos（α+β）= ,且α-β∈（ ）,
α+β∈（ ）,求角β的值.
12
13
12
13
,2
3 ,22
四步 内容
理解
题意
条件:①cos（α－β）=- , cos（α+β）= ,
②α-β∈ （ ）,α+β∈（ ）.
结论:求角β
思路
探求
由α-β与α+β的范围,先分别求得两角的正弦值,利用
cos 2β
=cos[(α+β)-(α-β)]这一关系,求得三角函数值,再确
定角
的值.
12
13
12
13
,2
3 ,22
四步 内容
书写
表达
由α-β∈（ ）,且cos(α-β)=- ,得sin(α-β)= ,
由α+β∈（ ） ,且cos(α+β)= ,得sin(α+β)=- ,
cos 2β=cos[(α+β)-(α-β)]
=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)
= ×（- ）+（- ）× =-1.
又因为α-β∈( ) ,α+β∈( ),
所以2β∈（ ）,∴2β=π,则β= .
注意书写的规范性:①cos 2β=cos[(α+β)-(α-β)].
,2
3 ,22
12
13
5
1312
13
5
13
12
13
12
13
5
13
5
13
,2
3 ,22
3,2 2
2
四步 内容
书写
表达 ②由cos 2β=-1确定角β时,一定要明确2β的范围.
题后
反思
对于给值求角问题,确定好求该角的哪种三角函数值,是解题
的关
键,为避免出现增解,一般来说,当已知角范围为(0,π)时,应
取该
角的余弦值;当角的范围是(- )时,应取该角的正弦值或
正切值.
,2 2
【解题策略】
已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围,根据条件确定所求角的范围.
(2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角
函数.
(3)结合三角函数值及角的范围求角.
【跟踪训练】
1.已知α为钝角,β为锐角,满足cos α=- ,sin β= ,则α-β
=________.
2 5
5
10
10
【解析】由于α为钝角,β为锐角,
cos α=- ,sin β= ,
所以sin α= ,cos β= ,
所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β
=- × + ×
=- .
又因为α为钝角,β为锐角,所以0<α-β<π,所以α-β= .
答案:
2 5
5
10
10
5
5
3 10
10
2 5
5
3 10
10
5
5
10
10
2
2
3
4
π
3
4
π
2.已知α,β为锐角,cos α= ,sin(α+β)= .求角β的值.
【解题指南】可采用角的变换求解,为此可将角β写成(α+β)-α的形式,进而
利用两角差的余弦求解.
【解析】因为α为锐角,cos α= ,所以sin α= .
又因为β为锐角,所以0<α+β<π.
因为sin(α+β)= sin α,
所以β>α,β-α∈（ ） .所以β-α= .
答案:
0 2
，
0 2
，
1
2
3
3
4.计算: =________.
【解析】 = = .
答案:
2cos 10 sin 20
cos 20
2cos 10 sin 20
cos 20
2cos(30 20 ) sin 20
cos 20
－ － 3cos 20 sin 20 sin 20 3cos 20
＋ － ＝
3
5.已知sin αcos α= ,0<α< ,求 cos 的值.
【解析】因为 cos = =cos α+sin α,
所以 =(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=1+2× = .
因为0<α< ,
所以- <-α<0,- < -α< ,
所以cos >0.所以 cos = .
12
25 2
2 ( )4
－
2 ( )4
－ 2(cos cos sin sin )4 4
g＋
2[ 2cos( )]4
－ 12
25
49
25
2
4
4
4
( )4
－ 2 ( )4
－ 7
5
2
【能力进阶——水平二】
(20分钟 40分)
一、单选题(每小题5分,共15分)
1.cos 80°cos 35°+cos 10°cos 55°的值为 ( )
A. B.- C. D.-
【解析】选A.cos 80°cos 35°+cos 10°cos 55°=cos 80°cos 35°
+sin 80°sin 35°=cos(80°-35°)=cos 45°= .
【误区警示】此类问题易对公式结构特征把握不清而致错.
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2. (cos 75°+sin 75°)的值为 ( )
A. B.- C. D.-
【解析】选C.原式=cos 45°cos 75°+sin 45°sin 75°=cos(-30°)= .
2
2
1
2
1
2
3
2
3
2
3
2
3.若 sin x+ cos x=cos(x+φ),则φ的可能取值为 ( )
A.- B.- C. D.
【解析】选A. sin x+ cos x=cos xcos +sin xsin =cos ,
故φ的一个可能值为- .
1
2
3
2
6
3
6
3
1
2
3
2 6
6
(x )6
6
【补偿训练】
计算cos πcos π-sin πsin π的值应为 ( )
A. B. C. D.-
【解析】选A.原式=cos cos -sin ·sin =
cos cos -sin sin =cos =cos = .
2
2
25
12
11
6
11
12
5
6
2
22 3
(2 )12
＋ (2 )6
－ ( )12
－ ( )6
－
12
6
12
6
( )12 6
4
2
2
二、多选题(共5分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
4.在△ABC中,sin A= ,sin B= ,则cos (A+B)的值可能为 ( )
A.- B. C.- D.
【解析】选BC.因为在△ABC中,sin A= > =sin B,所以A>B,所以B一定
为锐角,所以cos A=± =± ,cos B= = .所以
cos(A+B)=cos Acos B-sin A sin B=± × - × = 或- .
3 1010
5
5
10
10
2
2
7 2
10
2
2
7 2
10
5
5
10
10
21 sin A－
2 55
21 sin B－
2 55
3 1010
5
5
10
10
2
2
7 2
10
三、填空题(每小题5分,共10分)
5.cos 105°+sin 195°=________.
【解析】cos 105°+sin 195°=cos 105°+sin(90°+105°)=cos 105°+
cos 105°=2cos 105°=2cos(60°+45°)
=2(cos 60°cos 45°-sin 60°sin 45°)
=2
= .
答案:
1 2 3 2( )2 2 2 2
－
2 6
2
－
2 6
2
－
【补偿训练】
sin 15°+cos 15°=________.
【解析】sin 15°+cos 15°=cos 75°+cos 15°
=cos(45°+30°)+cos(45°-30°)
=cos 45°cos 30°-sin 45°sin 30°+cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°
=2cos 45°cos 30°= .
答案:
6
2
6
2
6.若cos θ=- ,θ∈ ,则sin θ=________,cos =________.
【解析】因为cos θ=- ,θ∈ ,
所以sin θ=- ,
所以cos =cos θcos +sin θsin
=- .
答案:- -
12
13
3( )2
， ( )4
－
12
13
3( )2
，
5
13
( )4
－ 4
12 2 5 2 17 2( )13 2 13 2 26
－ ＝－
17 2
26
5
13
4
四、解答题
7.(10分)已知sin θ= ,θ∈ ,求cos 的值.
【解题指南】利用两角差的余弦公式展开cos ,由sin θ= ,θ∈ ,
可求出cos θ的值再代入求解.
【解析】因为sin θ= ,θ∈ ,所以cos θ=- ,所以cos =cos θ
cos +sin θsin = .
1
5 ( , )2
( )3
－
( )3
－
1
5
( , )2
1
5 ( , )2
2 6
5 ( )3
－
3
3
2 6 1 1 3 3 2 6
5 2 5 2 10
－－
【补偿训练】
已知cos = , ,求cos α.
【解析】由于0<α- < ,cos = ,
所以sin = .
所以cos α=cos
=cos cos -sin sin
= .
12
13
( )6 2
6
3
( )6
－ 12
13
( )6
－ 5
13
[( ]6 6
－ )＋
( )6
－ 6
( )6
－ 6
12 3 5 1 12 3 5
13 2 13 2 26
－－ ＝
( )6
－
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