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- 2021-06-30 发布
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1.等比数列的定义
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示(q≠0).
2.等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则它的通项an=a1·qn-1.
3.等比中项
如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.
4.等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广:an=am·qn-m(n,m∈N*).
(2)若{an}为等比数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak·al=am·an.
(3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0),,{a},{an·bn},仍是等比数列.
5.等比数列的前n项和公式
等比数列{an}的公比为q(q≠0),其前n项和为Sn,
当q=1时,Sn=na1;
当q≠1时,Sn==.
6.等比数列前n项和的性质
公比不为-1的等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为qn.
【知识拓展】
等比数列{an}的单调性
(1)满足或时,{an}是递增数列.
(2)满足或时,{an}是递减数列.
(3)当时,{an}为常数列.
(4)当q<0时,{an}为摆动数列.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)满足an+1=qan(n∈N*,q为常数)的数列{an}为等比数列.( × )
(2)G为a,b的等比中项⇔G2=ab.( × )
(3)如果数列{an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n,则数列{bn}也是等比数列.( × )
(4)如果数列{an}为等比数列,则数列{ln an}是等差数列.( × )
1.(教材改编)已知{an}是等比数列,a2=2,a5=,则公比q等于( )
A.- B.-2
C.2 D.
答案 D
解析 由题意知q3==,∴q=.
2.(2015·课标全国Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7等于( )
A.21 B.42 C.63 D.84
答案 B
解析 设等比数列{an}的公比为q,则由a1=3,a1+a3+a5=21,得3(1+q2+q4)=21,解得q2=-3(舍去)或q2=2,于是a3+a5+a7=q2(a1+a3+a5)=2×21=42,故选B.
3.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2=3,S4=15,则S6等于( )
A.31 B.32 C.63 D.64
答案 C
解析 根据题意知,等比数列{an}的公比不是-1.由等比数列的性质,得(S4-S2)2=S2·(S6-S4),即122=3×(S6-15),解得S6=63.故选C.
4.(教材改编)在9与243中间插入两个数,使它们同这两个数成等比数列,则这两个数为________.
答案 27,81
解析 设该数列的公比为q,由题意知,
243=9×q3,q3=27,∴q=3.
∴插入的两个数分别为9×3=27,27×3=81.
5.设Sn为等比数列{an}的前n项和,8a2+a5=0,则=________.
答案 -11
解析 设等比数列{an}的公比为q,
∵8a2+a5=0,∴8a1q+a1q4=0.
∴q3+8=0,∴q=-2,
∴=·
===-11.
题型一 等比数列基本量的运算
例1 (1)(2015·课标全国Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1=,a3a5=4(a4-1),则a2等于( )
A.2 B.1 C. D.
(2)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a3=,a2+a4=,则=________.
答案 (1)C (2)2n-1
解析 (1)由{an}为等比数列,得a3a5=a,
又a3a5=4(a4-1),所以a=4(a4-1),
解得a4=2.设等比数列{an}的公比为q,
则由a4=a1q3,得2=q3,解得q=2,
所以a2=a1q=.故选C.
(2)∵∴
由①除以②可得=2,
解得q=,代入①得a1=2,
∴an=2×()n-1=,
∴Sn==4(1-),
∴==2n-1.
思维升华 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)可迎刃而解.
(1)设{an}是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和.已知a2a4=1,S3=7,则S5等于( )
A. B. C. D.
(2)(2015·湖南)设Sn为等比数列{an}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则an=________.
答案 (1)B (2)3n-1
解析 (1)显然公比q≠1,由题意得
解得或(舍去),
∴S5===.
(2)由3S1,2S2,S3成等差数列知,4S2=3S1+S3,
可得a3=3a2,所以公比q=3,
故等比数列通项an=a1qn-1=3n-1.
题型二 等比数列的判定与证明
例2 设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2.
(1)设bn=an+1-2an,证明:数列{bn}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
(1)证明 由a1=1及Sn+1=4an+2,
得a1+a2=S2=4a1+2.
∴a2=5,∴b1=a2-2a1=3.
又
由①-②,得an+1=4an-4an-1(n≥2),
∴an+1-2an=2(an-2an-1)(n≥2).
∵bn=an+1-2an,∴bn=2bn-1(n≥2),
故{bn}是首项b1=3,公比为2的等比数列.
(2)解 由(1)知bn=an+1-2an=3·2n-1,
∴-=,
故{}是首项为,公差为的等差数列.
∴=+(n-1)·=,
故an=(3n-1)·2n-2.
引申探究
若将本例中“Sn+1=4an+2”改为“Sn+1=2Sn+(n+1)”,其他不变,求数列{an}的通项公式.
解 由已知得n≥2时,Sn=2Sn-1+n.
∴Sn+1-Sn=2Sn-2Sn-1+1,
∴an+1=2an+1,
∴an+1+1=2(an+1),n≥2,(*)
又a1=1,S2=a1+a2=2a1+2,即a2+1=2(a1+1),
∴当n=1时(*)式也成立,
故{an+1}是以2为首项,以2为公比的等比数列,
∴an+1=2·2n-1=2n,∴an=2n-1.
思维升华 (1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法,其他方法只用于选择题、填空题中的判定;若证明某数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.(2)利用递推关系时要注意对n=1时的情况进行验证.
已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.
(1)证明:{an+}是等比数列,并求{an}的通项公式;
(2)证明:++…+<.
证明 (1)由an+1=3an+1,得an+1+=3(an+).
又a1+=,
所以{an+}是首项为,公比为3的等比数列.
所以an+=,因此{an}的通项公式为an=.
(2)由(1)知=.
因为当n≥1时,3n-1≥2×3n-1,所以≤.
于是++…+≤1++…+
=(1-)<,
所以++…+<.
题型三 等比数列性质的应用
例3 (1)若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则ln a1+ln a2+…+ln a20=________.
(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若=,则=________.
答案 (1)50 (2)
解析 (1)因为a10a11+a9a12=2a10a11=2e5,
所以a10a11=e5.
所以ln a1+ln a2+…+ln a20
=ln(a1a2…a20)
=ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]
=ln(a10a11)10=10ln(a10a11)
=10ln e5=50ln e=50.
(2)方法一 ∵S6∶S3=1∶2,∴{an}的公比q≠1.
由÷=,得q3=-,
∴==.
方法二 ∵{an}是等比数列,且=,∴公比q≠-1,
∴S3,S6-S3,S9-S6也成等比数列,即(S6-S3)2=S3·(S9-S6),
将S6=S3代入得=.
思维升华 等比数列常见性质的应用
等比数列性质的应用可以分为三类:(1)通项公式的变形;(2)等比中项的变形;(3)前n项和公式的变形.根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.
(1)已知在等比数列{an}中,a1a4=10,则数列{lg an}的前4项和等于( )
A.4 B.3
C.2 D.1
(2)设等比数列{an}中,前n项和为Sn,已知S3=8,S6=7,则a7+a8+a9等于( )
A. B.-
C. D.
答案 (1)C (2)A
解析 (1)前4项和S4=lg a1+lg a2+lg a3+lg a4=lg(a1a2a3a4),又∵等比数列{an}中,a2a3=a1a4=10,
∴S4=lg 100=2.
(2)因为a7+a8+a9=S9-S6,且公比不等于-1,在等比数列中,S3,S6-S3,S9-S6也成等比数列,即8,-1,S9-S6成等比数列,所以有8(S9-S6)=(-1)2,S9-S6=,即a7+a8+a9=.
13.分类讨论思想在等比数列中的应用
典例 (12分)已知首项为的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),且-2S2,S3,4S4成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)证明:Sn+≤(n∈N*).
思想方法指导 (1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比,写出通项公式;
(2)求出前n项和,根据函数的单调性证明.
规范解答
(1)解 设等比数列{an}的公比为q,
因为-2S2,S3,4S4成等差数列,
所以S3+2S2=4S4-S3,即S4-S3=S2-S4,
可得2a4=-a3,于是q==-.[2分]
又a1=,所以等比数列{an}的通项公式为
an=×n-1=(-1)n-1·.[3分]
(2)证明 由(1)知,Sn=1-n,
Sn+=1-n+
=[6分]
当n为奇数时,Sn+随n的增大而减小,
所以Sn+≤S1+=.[8分]
当n为偶数时,Sn+随n的增大而减小,
所以Sn+≤S2+=.[10分]
故对于n∈N*,有Sn+≤.[12分]
1.在各项均为正数的等比数列{an}中,a3=-1,a5=+1,则a+2a2a6+a3a7等于( )
A.4 B.6
C.8 D.8-4
答案 C
解析 在等比数列中,a3a7=a,a2a6=a3a5,所以a+2a2a6+a3a7=a+2a3a5+a=(a3+a5)2=(-1++1)2=(2)2=8.
2.(2016·珠海模拟)在等比数列{an}中,若a1<0,a2=18,a4=8,则公比q等于( )
A. B.
C.- D.或-
答案 C
解析 由解得或
又a1<0,因此q=-.
3.在正项等比数列{an}中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,则n等于( )
A.12 B.13
C.14 D.15
答案 C
解析 设数列{an}的公比为q,
由a1a2a3=4=aq3与a4a5a6=12=aq12,
可得q9=3,an-1anan+1=aq3n-3=324,
因此q3n-6=81=34=q36,
所以n=14,故选C.
*4.(2015·福建)若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于( )
A.6 B.7 C.8 D.9
答案 D
解析 由题意知:a+b=p,ab=q,∵p>0,q>0,∴a>0,b>0.在a,b,-2这三个数的6种排序中,成等差数列的情况有a,b,-2;b,a,-2;-2,a,b;-2,b,a;成等比数列的情况有a,-2,b;b,-2,a.
∴或解得或
∴p=5,q=4,∴p+q=9,故选D.
5.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为:有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,请问第二天走了( )
A.192里 B.96里 C.48里 D.24里
答案 B
解析 设等比数列{an}的首项为a1,公比为q=,
依题意有=378,
解得a1=192,则a2=192×=96,
即第二天走了96里,故选B.
6.(2016·铜仁质检)在由正数组成的等比数列{an}中,若a3a4a5=3π,则sin(log3a1+log3a2+…+log3a7)的值为( )
A. B.
C.1 D.-
答案 B
解析 因为a3a4a5=3π=a,所以a4=.
log3a1+log3a2+…+log3a7=log3(a1a2…a7)
=log3a=7log3=,
所以sin(log3a1+log3a2+…+log3a7)=.
7.设Sn为等比数列{an}的前n项和,已知3S3=a4-2,3S2=a3-2,则公比q=________.
答案 4
解析 因为
由①-②,得3a3=a4-a3,即4a3=a4,
则q==4.
8.设各项都是正数的等比数列{an},Sn为前n项和且S10=10,S30=70,那么S40=________.
答案 150
解析 依题意,知数列{an}的公比q≠-1,数列S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30成等比数列,因此有(S20-S10)2=S10(S30-S20),即(S20-10)2=10(70-S20),故S20=-20或S20=30;又S20>0,因此S20=30,S20-S10=20,S30-S20=40,故S40-S30=80,S40=150.
9.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+Sn=1(n∈N*),则通项an=________.
答案
解析 ∵an+Sn=1,①
∴a1=,an-1+Sn-1=1(n≥2),②
由①-②,得an-an-1+an=0,即=(n≥2),
∴数列{an}是首项为,公比为的等比数列,
则an=×()n-1=.
10.已知数列{an}的首项为1,数列{bn}为等比数列且bn=,若b10·b11=2,则a21=________.
答案 1 024
解析 ∵b1==a2,b2=,
∴a3=b2a2=b1b2,∵b3=,
∴a4=b1b2b3,…,an=b1b2b3·…·bn-1,
∴a21=b1b2b3·…·b20=(b10b11)10=210=1 024.
11.已知{an}是首项为1,公差为2的等差数列,Sn表示{an}的前n项和.
(1)求an及Sn;
(2)设{bn}是首项为2的等比数列,公比q满足q2-(a4+1)q+S4=0,求{bn}的通项公式及其前n项和Tn.
解 (1)因为{an}是首项a1=1,公差d=2的等差数列,所以an=a1+(n-1)d=2n-1.
故Sn=1+3+…+(2n-1)
===n2.
(2)由(1)得a4=7,S4=16.
因为q2-(a4+1)q+S4=0,即q2-8q+16=0,
所以(q-4)2=0,从而q=4.
又因为b1=2,{bn}是公比q=4的等比数列,
所以bn=b1qn-1=2·4n-1=22n-1.
从而{bn}的前n项和Tn==(4n-1).
12.(2016·全国丙卷)已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1,a-(2an+1-1)an-2an+1=0.
(1)求a2,a3;
(2)求{an}的通项公式.
解 (1)由题意,得a2=,a3=.
(2)由a-(2an+1-1)an-2an+1=0,得
2an+1(an+1)=an(an+1).
因为{an}的各项都为正数,所以=.
故{an}是首项为1,公比为的等比数列,
因此an=.
13.已知数列{an}中,a1=1,an·an+1=n,记T2n为{an}的前2n项的和,bn=a2n+a2n-1,n∈N*.
(1)判断数列{bn}是否为等比数列,并求出bn;
(2)求T2n.
解 (1)∵an·an+1=n,
∴an+1·an+2=n+1,
∴=,即an+2=an.
∵bn=a2n+a2n-1,
∴===,
∵a1=1,a1·a2=,
∴a2=⇒b1=a1+a2=.
∴{bn}是首项为,公比为的等比数列.
∴bn=×n-1=.
(2)由(1)可知,an+2=an,
∴a1,a3,a5,…是以a1=1为首项,以为公比的等比数列;a2,a4,a6,…是以a2=为首项,以为公比的等比数列,
∴T2n=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)
=+
=3-.