【数学】2020届一轮复习（文）人教通用版2-3函数的奇偶性与周期性学案 15页

‎§2.3　函数的奇偶性与周期性 最新考纲 考情考向分析 ‎1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．‎ ‎2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性．‎ ‎3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.‎ 以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，题型以选择、填空题为主，中等偏上难度.‎ ‎1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 奇函数 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数 关于坐标原点对称 偶函数 设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数 关于y轴对称 ‎2.周期性 ‎(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．‎ ‎(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．‎ 概念方法微思考 ‎1．如果已知函数f(x)，g(x)的奇偶性，那么函数f(x)±g(x)，f(x)·g(x)的奇偶性有什么结论？‎ 提示　在函数f(x)，g(x)公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．‎ ‎2．已知函数f(x)满足下列条件，你能得到什么结论？‎ ‎(1)f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)．‎ ‎(2)f(x＋a)＝(a≠0)．‎ ‎(3)f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)．‎ 提示　(1)T＝2|a|；(2)T＝2|a|；(3)T＝|a－b|.‎ 题组一　思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．(　×　)‎ ‎(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(　×　)‎ ‎(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(　√　)‎ 题组二　教材改编 ‎2．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－1)＝______.‎ 答案　－2‎ 解析　f(1)＝1×2＝2，又f(x)为奇函数，‎ ‎∴f(－1)＝－f(1)＝－2.‎ ‎3．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝则f ＝______.‎ 答案　1‎ 解析　f ＝f ＝－4×2＋2＝1.‎ ‎4.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集为________．‎ 答案　(－2,0)∪(2,5]‎ 解析　由图象可知，当00；当20.‎ 综上，f(x)<0的解集为(－2,0)∪(2,5]．‎ 题组三　易错自纠 ‎5．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　)‎ A．－ B. C. D．－ 答案　B 解析　∵f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，∴a－1＋2a＝0，∴a＝.‎ 又f(－x)＝f(x)，∴b＝0，∴a＋b＝.‎ ‎6．偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________.‎ 答案　3‎ 解析　∵f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1)．‎ 又f(x)的图象关于直线x＝2对称，‎ ‎∴f(1)＝f(3)．∴f(－1)＝3.‎ 题型一　函数奇偶性的判断 例1 判断下列函数的奇偶性：‎ ‎(1)f(x)＝＋；‎ ‎(2)f(x)＝；‎ ‎(3)f(x)＝ 解　(1)由得x2＝36，解得x＝±6，‎ 即函数f(x)的定义域为{－6,6}，关于原点对称，‎ ‎∴f(x)＝＋＝0.‎ ‎∴f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，‎ ‎∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数．‎ ‎(2)由得定义域为(－1,0)∪(0,1)，‎ 关于原点对称．‎ ‎∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝.‎ 又∵f(－x)＝＝＝－f(x)，‎ ‎∴函数f(x)为奇函数．‎ ‎(3)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．‎ ‎∵当x<0时，－x>0，‎ 则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；‎ 当x>0时，－x<0，‎ 则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；‎ 综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)，‎ ‎∴函数f(x)为奇函数．‎ 思维升华 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：‎ ‎(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；‎ ‎(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．‎ 在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．‎ 跟踪训练1 (1)下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是(　　)‎ A．f(x)＝x＋sin 2x B．f(x)＝x2－cos x C．f(x)＝3x－ D．f(x)＝x2＋tan x 答案　D 解析　对于选项A，函数的定义域为R，f(－x)＝－x＋sin 2(－x)＝－(x＋sin 2x)＝－f(x)，所以f(x)＝x＋sin 2x为奇函数；对于选项B，函数的定义域为R，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos x＝f(x)，所以f(x)＝x2－cos x为偶函数；对于选项C，函数的定义域为R，f(－x)＝3－x－＝－＝－f(x)，所以f(x)＝3x－为奇函数；只有f(x)＝x2＋tan x既不是奇函数也不是偶函数．故选D.‎ ‎(2)函数f(x)＝lg|sin x|是(　　)‎ A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为2π的奇函数 C．最小正周期为π的偶函数 D．最小正周期为2π的偶函数 答案　C 解析　易知函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，关于原点对称，又f(－x)＝lg|sin(－x)|＝lg|－sin x|＝lg|sin x|＝f(x)，所以f(x)是偶函数，又函数y＝|sin x|的最小正周期为π，所以函数f(x)＝lg|sin x|是最小正周期为π的偶函数．‎ 题型二　函数的周期性及其应用 ‎1．(2018·抚顺模拟)已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝________.‎ 答案　－2‎ 解析　f(7)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.‎ ‎2．已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)＝2－，且对任意的x都有f(x＋2)＝，则f(2 020)＝________.‎ 答案　－2－ 解析　由f(x＋2)＝，得f(x＋4)＝＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所以f(2 020)＝f(4)．因为f(2＋2)＝，所以f(4)＝－＝－＝－2－.故f(2 020)＝－2－.‎ ‎3．(2017·山东)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.‎ 答案　6‎ 解析　∵f(x＋4)＝f(x－2)，‎ ‎∴f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)，‎ ‎∴f(x)是周期为6的周期函数，‎ ‎∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．‎ 又f(x)是定义在R上的偶函数，‎ ‎∴f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6.‎ ‎4．设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x<1时，f(x)＝2x－1，则f＋f(1)＋f＋f(2)＋f＝________.‎ 答案　－1‎ 解析　依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2，‎ 则f(1)＋f(－1)＝0，f(－1)＝f(1)，即f(1)＝0.‎ ‎∴f＋f(1)＋f＋f(2)＋f ‎＝f＋0＋f＋f(0)＋f ‎＝f－f＋f(0)＋f ‎＝f＋f(0)＝－1＋20－1＝－1.‎ 思维升华 利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．‎ 题型三　函数性质的综合应用 命题点1　求函数值或函数解析式 例2 (1)设f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，若在区间[－2,0)∪(0,2]上，f(x)＝ 则f(2 021)＝________.‎ 答案　－ 解析　设00时，－x<0，‎ ‎∴f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x，‎ ‎∴f(x)＝ 命题点2　求参数问题 例3 (1)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝__________.‎ 答案　1‎ 解析　∵f(－x)＝f(x)，‎ ‎∴－xln(－x)＝xln(x＋)，‎ ‎∴ln[()2－x2]＝0.‎ ‎∴ln a＝0，∴a＝1.‎ ‎(2)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f(x)＝其中a，b∈R.若f ＝f，则a＋3b的值为________．‎ 答案　－10‎ 解析　因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，‎ 所以f＝f且f(－1)＝f(1)，‎ 故f＝f，‎ 从而＝－a＋1，即3a＋2b＝－2.①‎ 由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝，‎ 即b＝－2a.②‎ 由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10.‎ ‎(3)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝－x2＋ax－1－a，若函数f(x)为R上的减函数，则a的取值范围是____________．‎ 答案　[－1,0]‎ 解析　因为函数f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，若函数f(x)为R上的减函数，则满足当x>0时，函数为减函数，且－1－a≤0，此时 即即－1≤a≤0.‎ 命题点3　利用函数的性质解不等式 例4 (1)已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，若f(ln x)f(2x－1)成立的x的取值范围为______________．‎ 答案　 解析　由已知得函数f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(|x|)，‎ 由f(x)>f(2x－1)，可得f(|x|)>f(|2x－1|)．‎ 当x>0时，f(x)＝ln(1＋x)－，‎ 因为y＝ln(1＋x)与y＝－在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．‎ 由f(|x|)>f(|2x－1|)，可得|x|>|2x－1|，‎ 两边平方可得x2>(2x－1)2，整理得3x2－4x＋1<0，‎ 解得0 B．减函数且f(x)<0‎ C．增函数且f(x)>0 D．增函数且f(x)<0‎ 答案　D 解析　当x∈时，由f(x)＝(1－x)可知，f(x)单调递增且f(x)>0，又函数f(x)为奇函数，所以在区间上函数也单调递增，且f(x)<0.由f＝f(x)知，函数的周期为，所以在区间上，函数单调递增且f(x)<0.故选D.‎ ‎(2)设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f＝________.‎ 答案　－ 解析　由题意可知，f＝f＝－f＝－2××＝－.‎ ‎(3)已知函数g(x)是R上的奇函数，且当x<0时，g(x)＝－ln(1－x)，函数f(x)＝若f(6－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是________．‎ 答案　(－3,2)‎ 解析　∵g(x)是奇函数，‎ ‎∴当x>0时，g(x)＝－g(－x)＝ln(1＋x)，‎ 易知f(x)在R上是增函数，‎ 由f(6－x2)>f(x)，可得6－x2>x，‎ 即x2＋x－6<0，∴－30的实数a的取值范围为__________．‎ 答案　{a|a>4或a<0}‎ 解析　∵偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，∴函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数，f(2)＝0，∴不等式f(a－2)>0等价于f(|a－2|)>f(2)，即|a－2|>2，即a－2>2或a－2<－2，解得a>4或a<0.‎ ‎1．下列函数中，既是偶函数又在区间(1,2)内单调递减的是(　　)‎ A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝2x＋2－x D．f(x)＝－cos x 答案　B 解析　函数f(x)＝是偶函数，且在(1,2)内单调递减，符合题意．‎ ‎2．已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(－2)等于(　　)‎ A．－3 B．－ C. D．3‎ 答案　A 解析　由f(x)为R上的奇函数，知f(0)＝0，‎ 即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1，‎ 则f(－2)＝－f(2)＝－(22－1)＝－3.‎ ‎3．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是(　　)‎ ‎①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x.‎ A．①③ B．②③ C．①④ D．②④‎ 答案　D 解析　由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)验证，‎ ‎①f(|－x|)＝f(|x|)，为偶函数；‎ ‎②f(－(－x))＝f(x)＝－f(－x)，为奇函数；‎ ‎③－xf(－x)＝－x·[－f(x)]＝xf(x)，为偶函数；‎ ‎④f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，为奇函数．‎ 可知②④正确，故选D.‎ ‎4．已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当02的解集为(　　)‎ A．(2，＋∞) B.∪(2，＋∞)‎ C.∪(，＋∞) D．(，＋∞)‎ 答案　B 解析　f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，所以f(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以f(log2x)>2＝f(1)⇔f(|log2x|)>f(1)⇔|log2x|>1⇔log2x>1或log2x<－1⇔x>2或00时，f(x)＝ln x，则f的值为________．‎ 答案　－ln 2‎ 解析　由已知可得f＝ln ＝－2，‎ 所以f＝f(－2)．‎ 又因为f(x)是奇函数，‎ 所以f＝f(－2)＝－f(2)＝－ln 2. ‎ ‎9．奇函数f(x)在区间[3,6]上是增函数，且在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则f(6)＋f(－3)的值为________．‎ 答案　9‎ 解析　由于f(x)在[3,6]上为增函数，所以f(x)的最大值为f(6)＝8，f(x)的最小值为f(3)＝－1，因为f(x)为奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝1，所以f(6)＋f(－3)＝8＋1＝9.‎ ‎10．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增的．如果实数t满足f(ln t)＋f≤2f(1)，那么t的取值范围是________．‎ 答案　 解析　由于函数f(x)是定义在R上的偶函数，‎ 所以f(ln t)＝f，‎ 由f(ln t)＋f≤2f(1)，得f(ln t)≤f(1)．‎ 又函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调递增的，‎ 所以|ln t|≤1，即－1≤ln t≤1，故≤t≤e.‎ ‎11．已知函数f(x)＝是奇函数．‎ ‎(1)求实数m的值；‎ ‎(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．‎ 解　(1)设x<0，则－x>0，‎ 所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.‎ 又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，‎ 于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.‎ ‎(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象(如图所示)知所以10，f(x＋2)＝对任意x∈R恒成立，则f(2 023)＝________.‎ 答案　1‎ 解析　因为f(x)>0，f(x＋2)＝，‎ 所以f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]‎ ‎＝＝＝f(x)，‎ 即函数f(x)的周期是4，‎ 所以f(2 023)＝f(506×4－1)＝f(－1)．‎ 因为函数f(x)为偶函数，‎ 所以f(2 023)＝f(－1)＝f(1)．‎ 当x＝－1时，f(－1＋2)＝，得f(1)＝.‎ 由f(x)>0，得f(1)＝1，所以f(2 023)＝f(1)＝1.‎ ‎14．已知函数f(x)＝x3＋2x，若f(1)＋f(3)>0(a>0且a≠1)，则实数a的取值范围是 ‎____________．‎ 答案　(0,1)∪(3，＋∞)‎ 解析　因为函数f(x)＝x3＋2x是奇函数，且在R上是增函数，f(1)＋f(3)>0，所以f(3)>－f(1)＝f(－1)，所以3>－1，所以或 所以a∈(0,1)∪(3，＋∞)．‎ ‎15．已知函数f(x)＝sin x＋x，对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，则x的取值范围为__________．‎ 答案　 解析　易知f(x)在R上为单调递增函数，且f(x)为奇函数，故f(mx－2)＋f(x)<0等价于f(mx－2)<－f(x)＝f(－x)，则mx－2<－x，即mx＋x－2<0对所有m∈[－2,2]恒成立，令h(m)＝mx＋x－2，m∈[－2,2]，此时，只需即可，解得－2