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- 2021-06-30 发布
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母题十五 应用正弦定理、余弦定理解三角形
【母题原题1】【2018天津,文16】
在中,内角所对的边分别为.已知.
(I)求角的大小;
(II)设,求和的值.
【考点分析】本小题主要考查同角三角函数的基本关系,两角差的正弦与余弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力.满分13分.
【答案】(I);(II).
由,可得.,故.
因此,
.
【名师点睛】在处理三角形中的边角关系时,一般全部化为角的关系,或全部化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理,出现边的二次式一般采用到余弦定理.应用正、余弦定理时,注意公式变式的应用.解决三角形问题时,注意角的限制范围.
【母题原题2】【2017天津,文15】
在中,内角所对的边分别为.已知,.
(I)求的值;
(II)求的值.
【答案】(I) ;(II).
试题解析:(Ⅰ)由及得,
由及余弦定理得.
【考点】1.正余弦定理;2.三角恒等变换.
【名师点睛】高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理实现边角互化;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”,其中的核心是“变角”,即注意角之间的结构差异,弥补这种结构差异的依据就是三角公式.
【母题原题3】【2016天津,文15】
在中,内角所对应的边分别为,已知.
(I)求B;
(II)若,求sinC的值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】试题分析:(Ⅰ)利用正弦定理,将边化为角:,再根据三角形内角范围化简得,;(Ⅱ)问题为“已知两角,求第三角”,先利用三角形内角和为,将
考点:同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式、两角和的正弦公式以及正弦定理
【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数,因此解三角函数题,首先从角进行分析,善于用已知角表示所求角,即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数关系、两角和与差公式、二倍角公式、配角公式等,选用恰当的公式,是解决三角问题的关键,明确角的范围,对开方时正负取舍是解题正确的保证.
【母题原题4】【2015天津,文16】△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为,
(I)求a和sinC的值;
(II)求 的值.
【答案】(I)a=8,;(II).
(II),
【考点定位】本题主要考查三角变换及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查基本运算求解能力.
【名师点睛】解三角形问题实质是附加条件的三角变换,因此在解三角形问题的处理中,正弦定理、余弦定理就起到了适时、适度转化边角的作用,分析近几年的高考试卷,有关的三角题,大部分以三角形为载体考查三角变换.
【命题意图】考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式,考查三角函数中同角三角函数关系、诱导公式、两角和与差三角函数公式、二倍角公式在恒等变形中的应用,考查化简变形能力、数形结合思想、等价转换思想. 学
【命题规律】解三角形是高考的必考内容,重点是正弦定理、余弦定理和三角形面积公式,考题灵活多样,选择题、填空题和解答题都有考到,难度中低中档题均有.以求边长、求角(三角函数值)或研究三角形的面积为目标,往往是利用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式进行有效的边角转换,利用和差倍半的三角函数公式,对等式进行恒等变形,有时会结合角的范围,研究三角函数式的取值范围等.
【答题模板】
(1)通过正弦定理实施边角转换;
(II)通过余弦定理实施边角转换;
(3)通过三角变换找出角之间的关系;
(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论;学;
(5)若涉及两个(或两个以上)三角形,这时需作出这些三角形,先解条件多的三角形,再逐步求出其他三角形的边和角,其中往往用到三角形内角和定理,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组)求解.
【方法总结】学
1.三角形中判断边、角关系的具体方法:
(1)通过正弦定理实施边角转换;
(II)通过余弦定理实施边角转换;
(3)通过三角变换找出角之间的关系;
(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论;
(5)若涉及两个(或两个以上)三角形,这时需作出这些三角形,先解条件多的三角形,再逐步求出其他三角形的边和角,其中往往用到三角形内角和定理,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组)求解.
2.三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用,如利用“三角形的内角和等于π”和诱导公式可得到sin(A+B)=sin C,sin=cos 等,利用“大边对大角”可以解决解三角形中的增解问题,如:在斜三角形中,用正弦定理求角时,若已知小角求大角,则有两解;若已知大角求小角,则只有一解,注意确定解的个数.
3. 如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.已知两角和一边或两边及夹角,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性.
4. 在解决三角形的问题中,面积公式最常用,因为公式中既有边又有角,容易和正弦定理、余弦定理联系起来.
| . .X.X. 学+ +
1.【2018天津部分区二模】已知的内角所对的边分别为,且.
(I)求和的值;
(II)求的值.
【答案】(I), (II)
【解析】分析:(I)根据题意,利用余弦定理和正弦定理,即可求得c和sinA的值;
(II)根据同角的三角函数关系和三角恒等变换,计算即可.
详解:(I)由余弦定理,得,
又,所以,解得
【名师点睛】解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.其基本步骤是:
第一步:定条件,即确定三角形中的已知和所求,在图形中标出来,然后确定转化的方向.
第二步:定工具,即根据条件和所求合理选择转化的工具,实施边角之间的互化.
第三步:求结果.
2.【2018天津河东区二模】在中,角A、B、C所对的边分别为,已知, ,,角A为锐角.
(I)求与的值;
(II)求的值及三角形面积.
【答案】(I) ;(II) .
【解析】 分析:第一问首先利用题中的条件,,利用倍角公式,结合A为锐角的条件,求得的值,之后可以借助于同角三角函数关系式求得的值,在求边长的时候,就利用正弦定理可以求得结果;第二问结合题中所给的条件,利用余弦定理建立边所满足的等量关系式,求得结果,之后应用面积公式求得三角形的面积.
详解:(I)由正弦定理,代入,,,解得,.∵角A为锐角,.
(II),代入为 ,解为,
.
【名师点睛】该题考查的是有关解三角形的问题,在解题的过程中,需要把握正弦定理、余弦定理、倍角公式、同角三角函数关系式以及三角形的面积公式,在做题的过程中,在求的时候,也可以应用倍角公式求解.
3.【2018天津河北区二模】在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若B=2C,2b=3c.
(I)求cosC的值;
(II)求sin(2C+)的值.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,,∴,
∴,.
∴.
【名师点睛】解三角形的问题和三角变换常常综合在一起考查,解题时要根据所给出的条件利用正弦定理、余弦定理将边角之间进行合理的转化,然后再根据题意进行求解,进行变换时要注意对所用公式的选择.
4.【2018天津市十二校二模】在锐角中,角,,的对边分别为,,,且.
(Ⅰ)求角的大小;
(Ⅱ)已知,的面积为,求边长的值.
【答案】(I);(II).
【解析】分析:(1)由,利用正弦定理得,结合两角和的正弦公式以及诱导公式可得,进而可得结果;(2)利用(I),由已知及正弦定理可得 ,结合的面积为,可得 ,由余弦定理可得结果
由余弦定理 ,得 .
【名师点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用,属于中档题. 正弦定理是解三角形的有力工具,其常见用法有以下三种:(1)知道两边和一边的对角,求另一边的对角(一定要注意讨论钝角与锐角);(2)知道两角与一个角的对边,求另一个角的对边;(3)证明化简过程中边角互化;(4)求三角形外接圆半径.学 - /
5.【2018四川南充三模】在中,内角的对边分别为,已知.
(Ⅰ)若,,求边;
(Ⅱ)若,求角.
【答案】(Ⅰ).(Ⅱ).
【解析】分析:(Ⅰ)利用正弦定理和余弦定理代入可得边;
(Ⅱ)由正弦定理得,将代入,结合可得的方程,解方程即可得解.
因为,所以.
【名师点睛】解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.其基本步骤是:
第一步:定条件,即确定三角形中的已知和所求,在图形中标出来,然后确定转化的方向.
第二步:定工具,即根据条件和所求合理选择转化的工具,实施边角之间的互化.
第三步:求结果.
6.【2018天津滨海新区七校模拟】锐角中, 分别为角的对边, ,
(I)若求的面积;
(II)求的值.
【答案】(I);(II).
【解析】试题分析:(I)由正弦定理化角,可得,再由角A的余弦定理,可求得,进一步求得三角形面积;(II)由正弦和角公式和倍角公式可求值.
试题解析:(I) , .
, , 是锐角, .
【名师点睛】(1)一般是根据正弦定理求边或列等式.余弦定理揭示的是三角形的三条边与其中的一个角之间的关系,若题目中给出的关系式是“平方”关系,此时一般考虑利用余弦定理进行转化.
(2)
在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更适合,或是两个定理都要用,要抓住能够利用某个定理的信息.一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.
(3)在解三角形的问题中,三角形内角和定理起着重要作用,在解题中要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号,防止出现增解或漏解.
7.【2018天津十二校重点模拟一】已知函数.
(I)求的单调递增区间;
(II)设的内角的对边分别为,且,若 ,求的面积.
【答案】(I);(II).
【解析】试题分析:(I)利用二倍角的余弦函数公式化简,整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,由正弦函数的单调增区间即可确定的单调递增区间;(II)根据,求出,利用正弦定理及余弦定理,结合题设条件即可求出, ,从而可求出的面积.
试题解析:(I) 由,得
∴由①②解得,.
8.【2018天津十二校重点模拟二】在中,角的对边分别为,,,
的面积为.
(I)求及的值;
(II)求的值.
【答案】(I);(II).
【解析】试题分析:(I)由,,的面积为可求得的值,利用余弦定理可求得,再利用正弦定理可求得的值;(II)利用(I)的结论,由同角三角函数之间的关系可求得,再利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角差的正弦公式可得的值.
试题解析:(I)由已知,,,且
, ,
在中,, .
(II),又,,,
.
9.【2018天津上学期期末考】在中,角的对边分别为,且满足.
(I)求;
(II)若,求的值.
【答案】(I);(II).
整理得,由余弦定理得,又,所以.
(II)由知为锐角,又,所以 ,
故 , ,
所以.
10.【2018天津红桥区学期期末考】在中,内角所对的边分别是,已知, , .
(I)求的值;
(II)求的值.
【答案】(I);(II).
【解析】试题分析:(I)由正弦定理可得a=3c,再由余弦定理可得b;(II)由已知得cosB和sinB,利用二倍角公式求得, ,将展开代入求解即可.
11.【2018天津静海一中模拟】已知a,b,c分别为三个内角A,B,C的对边,且满足.
(I)若,求的值;
(II)若的面积为3,求证为等腰三角形.
【答案】(I);(II)见解析.
那么,由此得,所以为等腰三角形.
【名师点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式,判断三角形形状问题,属于中档题.判断三角形状的常见方法是:(1)通过正弦定理和余弦定理,化边为角,利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断;(II)利用正弦定理、余弦定理,化角为边,通过代数恒等变换,求出边与边之间的关系进行判断;(3)根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.
12.【2018天津河西模拟】在中, , , 分别是角, , 的对边,若, .
(I)求的值.
(II)若,求的面积.
【答案】(I);(II).
【解析】试题分析:(I)由正弦定理求得,进而得,再由诱导公式和两角和的正弦公式可求得;(II)由已知计算出,再由(I)计算出,最后由三角形面积公式可得面积.
试题解析:(I)∵,∴,∵,∴,
.
(II)∵, ,∴,∵, ,∴,
∴.
13.【2018天津一中月考五】的内角、、的对边分别为、、,已知.
(I)求;
(II)如图,为外一点,若在平面四边形中,,且,,,求的长.
【答案】(1);(II).
【解析】分析:(I)直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理求出cosB的值.
(II)利用(I)的结论,进一步利用余弦定理求出结果.
(II)∵,∴,又在中,,,
∴由余弦定理可得 ,∴,
在中,,,,∴由余弦定理可得,
即,化简得,解得.故的长为.
【名师点睛】本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,正弦定理和余弦定理的应用.对公式灵活运用与结合是解题关键.
14.【2018天津耀华中学模拟】设函数,其中向量,,.
(I)求的最小正周期及单调减区间;
(II)若,求函数的值域;
(III)在中,,,,求与的值.
【答案】(I),;(II),.
【解析】试题分析:(I),,令即
所以单调减区间为:.
(II)当时.由(I)易知在上单调递增,上单调递减.∴.,,则.∴在上值域为.
(III).∴.
又∵,则,..
由余弦定理,得.即.∴,.
∴,得或(舍).∴,.