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- 2021-06-30 发布
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易失分点清零(十二) 解析几何(二)
1. 已知动点 P(x,y)满足 5 (x-1)2+(y-2)2=|3x+4y-11|,则 P 点的轨迹是
( ).
A.直线 B.抛物线
C.双曲线 D.椭圆
解析 由已知,得 (x-1)2+(y-2)2=|3x+4y-11|
5
,即动点 P(x,y)到定点(1,2)
和定直线 3x+4y-11=0 的距离相等,而定点(1,2)在直线 3x+4y-11=0 上,
所以P 点的轨迹是过点(1,2)且与直线 3x+4y-11=0 垂直的直线.
答案 A
2.“m>n>0”是“方程 mx2+ny2=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的
( ).[来源:学_科_网 Z_X_X_K]
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 要使 mx2+ny2=1,即x2
1
m
+y2
1
n
=1 是焦点在 y 轴上的椭圆须有Error!⇔
m>n>0,故互为充要条件.
答案 C
3.已知双曲线的方程为x2
a2
-y2
b2
=1(a>0,b>0),双 曲线的一个焦点到一条渐近线
的距离为 5
3 c(c 为双曲线的半焦距长),则双曲线的离心率为
( ).
A. 5
2 B.3
2 C.3 5
2 D.2
3
解析 双曲线的一个焦点为(c,0),一条渐近线方程为 y=b
ax,即 bx-ay=0,所
以焦点到渐近线的距离为 |bc|
b2+a2
= 5
3 c,整理得 b2=5
4a2,所以有 c2-a2=5
4a2,c2
=9
4a2,即 c=3
2a,离心率 e=3
2
,选 B.
答案 B
4.已知动点 P 在曲线 2 x2-y=0 上移动,则点 A(0,-1)与点 P 连线中点的轨迹
方程是
( ).
A.y=2x 2 B.y=8x2
C.2y=8x2-1 D.2y=8x2+1
解析 设 AP 中点为(x,y),则 P(2x,2y+1)在 2x2-y=0 上,即 2(2x) 2-(2y+1)=
0,∴2y=8x2-1.
答案 C
5.已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 与双曲线x2
12
-y2
4
=1 的一个焦点重合,直线 y
=x-4 与抛物线交于 A,B 两点,则|AB|等于
( ).
A.28 B.32 C.20 D.40
解析 双曲线 x2
12
-y2
4
=1 的焦点坐标为(±4,0),故抛物线的焦点 F 的坐标为(4,0),
因此 p=8,故抛物线方程为 y2=16x,易知直线y=x-4 过抛物线的焦点.所
以|AB|= 2p
sin2α
= 2 × 8
( 2
2 )2
=32(α 为直线 AB 的倾斜角).
答案 B
6.若点 O 和点 F(-2,0)分别为双曲线x2
a2
-y2=1(a>0)的中心和左焦点,点 P 为双
曲线右支上的任意一点,则OP→
·FP→
的取值范围为
( ).
A.[3-2 3,+∞) B.[3+2 3,+∞)
C.[-7
4
,+∞) D.[7
4
,+∞)
解析 由题意,得 22=a2+1,即 a= 3,设 P(x,y),x≥ 3,FP→
=(x+2,y),
则OP→
·FP→
=(x +2)x +y·y =x 2 +2x +x2
3
-1 =4
3(x+3
4)2 -7
4
,因为 x≥ 3,所以
OP→
·FP→
的取值范围为[3+2 3,+∞).
答案 B
7.“点 M 在曲线 y2=4x 上”是点 M 的坐标满足方程 y=-2 x的
( ).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
解析 点 M 在曲线 y2=4x 上,其坐标不一定满足方程 y=-2 x,但当点 M 的
坐标满足方程 y=-2 x时,则点 M 一定在曲线 y2=4x 上,如点 M(4,4)时,故
选 B.
答案 B
8.设 θ 是三角形的一个内角,且 sin θ+cos θ=1
5
,则方程 x2
sin θ
+ y2
cos θ
=1 所表示
的曲线为
( ).
A.焦点在 x 轴上的椭圆 B.焦点在 y 轴上的椭圆
C.焦点在 x 轴上的双曲线 D.焦点在 y 轴上的双曲线
解析 由条件知 sin θ·cos θ=- 12
25
,且 θ∈(0,π),从而 sin θ>0,cos θ<0,故
选 C.
答案 C
9.(2012·山东)已知双曲线 C 1:x2
a2
-y2
b2
=1(a>0,b>0)的离心率为 9.若抛物线 C2:
x2=2py(p>0)的焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2,则抛物线 C2 的方程为
( ).
A.x2=8 3
3 y B.x2=16 3
3 y
C.x2=8y D.x2=16y
解析 双曲线的渐近线方程为 y=±b
ax,由于c
a
= a2+b2
a2
= 1+(b
a )2=2,
所以b
a
= 3,所以双曲线的渐近线方程为 y=± 3x.抛物线的焦点坐标为(0,p
2),
所以
p
2
2
=2,所以 p=8,所以抛物线方程为 x2=16y.
答案 D
10.已知 F1、F2 为椭圆 E 的左、右焦点,抛物线 C 以 F1 为顶点,F2 为焦点,设
P 为椭圆与抛物线的一个交点,如果椭圆的离心率为 e,且|PF1|=e|PF2|,则 e
的值为
( ).
A. 2
2 B.2- 3 C. 3
3 D.2- 2
解析 设椭圆的中心在原点,焦距为 2c,则由题意,知抛物线的准线为 x=-
3c,由|PF1|=e|PF2|,得|PF1|
PF2
=e,由于 P 为椭圆与抛物线的一个公共点,设点
P 到抛物线的准线的距离为 d,则由抛物线的定义,知|PF1|
d
=e.又点 P 是椭圆
上的点,故抛物线的准线也是椭圆的左准线,所以a2
c
=3c,解得 e= 3
3 .
答案 C
11.已知椭圆x2
4
+y2
m
=1(m>0)的离心率等于 3
2
,则 m=________.
解析 (1)当椭圆的焦点在 x 轴上时,则由方程,得 a2=4,即 a=2.又 e=c
a
=
3
2
,
所以 c= 3,m=b2=a2-c2=22-( 3)2=1.
(2)当椭圆的焦点在 y 轴上时,椭圆的方程为y2
m
+x2
4
=1.
则由方程,得 b2=4,即 b=2.
又 e=c
a
= 3
2
,故 a2-b2
a
= 3
2
,解得b
a
=1
2
,即 a=2b,
所以 a=4.故 m=a2=16.
综上,m=1 或 16.[来源:Z&xx&k.Com]
答案 1 或 16
12.已知双曲线x2
a2
-y2
b2
=1(b>a>0),直线 l 过点 A(a,0)和 B(0,b),且原点到直线 l
的距离为 3
4 c(c 为半焦距),则双曲线的离心率为________.
解析 因为直线 l 过点 A(a,0)和 B(0,b),所以其方程为x
a
+y
b
=1,即 bx+ay-
ab=0.又原点到直线 l 的距离为 3
4 c,所以 ab
a2+b2
= 3
4 c.又 a2+b2=c2,所以 4ab
= 3c2,即 16a2(c2-a2)=3c4.所以 3e4-16e2+16=0,解得 e2=4 或 e2=4
3.又
b>a>0,e2=c2
a2
=a2+b2
a2 >a2+a2
a2
=2.所以 e2=4,故 e=2.
答案 2
13.已知 F(1,0),M 点在 x 轴上,P 点在 y 轴上,且MN→
=2MP→
,PM→
⊥PF→
.当点 P
在 y 轴上运动时,N 点的轨迹 C 的方程为________.
解析 ∵ MN→
=2 MP→
,故 P 为 MN 中点.又∵PM→
⊥PF→
,P 在 y 轴上,F 为
(1,0),故 M 在 x 轴的负半轴上,设 N(x,y),则 M(-x,0),P(0,y
2),(x>0),∴
PM→
=(-x,-y
2),PF→
=(1,-y
2),又∵PM→
⊥PF→
,∴PM→
·PF→
=0,即-x+y2
4
=
0,
∴y2=4x(x>0)是轨迹 C 的方程.[来源:学|科|网]
答案 y2=4x(x>0)
14.设 F1、F2 分别是椭圆x2
a2
+y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦点,若在直线 x=a2
c
上存在
点 P , 使 线 段 PF1 的 中 垂 线 过 点 F2 , 则 椭 圆 的 离 心 率 的 取 值 范 围 是
________.
解析 设点 P 的坐标为(a2
c
,y),则 F 1P 的中点 Q 的坐标为(b2
2c
,y
2).当 y≠0 时,
则 kF1P = cy
b2+2c2
, kQF2 = cy
b2-2c2
, 由 kF1P·kQF2 = - 1 , 得 y2 =
(b2+2c2)(2c2-b2)
c2
,y2>0,即 2c2-b2>0,即 3c2-a2>0,即 e2>1
3
,故 3
3 b>0),
Error!⇒Error!
所求椭圆的方程为x2
18
+y2
2
=1.
(2)解 ∵直线 l∥OM 且在 y 轴上的截距为 m,
∴直线 l 的方程为 y=1
3x+m.[来源:Zxxk.Com]
由Error!⇒2x2+6mx+9m2-18=0.
∵直线 l 交椭圆于 A,B 两点,
∴Δ=(6m)2-4×2×(9m2-18)>0⇒-2