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- 2021-06-30 发布
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2016-2017学年河南省郑州四十七中高二(下)第一次月考数学试卷(文科)
一、选择题(本大题共12小题,每题5分,共60分,每小题给出的4个选项中,只有一选项是符合题目要求的)
1.复数(﹣+i)2对应的点位于复平面的( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.按照下列三种化合物的结构式及分子式的规律,写出后一种化合物的分子式是( )
A.C4H9 B.C4H10 C.C4H11 D.C6H12
3.“z1与z2互为共轭复数”是“z1z2∈R”的( )条件.
A.充分不必要 B.必要不充分
C.充要条件 D.既不充分也不必要
4.下面的图示中,是流程图的是( )
A.①② B.③④ C.①②③ D.①②③④
5.《论语》云:“名不正,则言不顺;言不顺,则事不成;事不成,则礼乐不兴;礼乐不兴,则刑罚不中;刑罚不中,则民无所措手足;所以名不正,则民无所措手足.”上述推理用的是( )
A.合情推理 B.归纳推理 C.类比推理 D.演绎推理
6.若z∈C且|z+2﹣2i|=1,则|z﹣1﹣2i|的最小值是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
7.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说:“是乙或丙获奖.”乙说:“甲、丙都未获奖.”丙说:“我获奖了.”丁说:“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的,则获奖的歌手是( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
8.用反证法证明命题:“a,b,c,d∈R,a+b=1,c+d=1,且ac+bd>1,则a,b,c,d中至少有一个负数”时的假设为( )
A.a,b,c,d全都大于等于0 B.a,b,c,d全为正数
C.a,b,c,d中至少有一个正数 D.a,b,c,d中至多有一个负数
9.已知三条不重合的直线m、n、l与两个不重合的平面α、β,有下列命题:
①若m∥n,n⊂α,则m∥α;
②若l⊥α,m⊥β,且l∥m,则α∥β;
③若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β;
④若α⊥β,α∩β=m,n⊂β,n⊥m,则n⊥α.
其中正确的命题个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
10.已知具有线性相关的两个变量x,y之间的一组数据如下:
x
0
1
2
3
4
y
2.2
4.3
4.5
4.8
6.7
回归方程是=bx+a,其中b=0.95,a=﹣b.则当x=6时,y的预测值为( )
A.8.1 B.8.2 C.8.3 D.8.4
11.设函数f(x)=ex(sinx﹣cosx),若0≤x≤2014π,则函数f(x)的各极大值之和为( )
A. B.
C. D.
12.设A1,A2,A3,A4是平面直角坐标系中两两不同的四点,若(λ∈R),(μ∈R),且,则称A3,A4调和分割A1,A2,已知点C(c,0),D(d,O)(c,d∈R)调和分割点A(0,0),B(1,0),则下面说法正确的是( )
A.C可能是线段AB的中点
B.D可能是线段AB的中点
C.C,D可能同时在线段AB上
D.C,D不可能同时在线段AB的延长线上
二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.设x,y为实数,且,则x+y= .
14.某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此作了五次试验,得到的数据如下,由最小二乘法求得回归方程,现发有一个数据看不清,请你推断出该
零件个数x
10
20
30
40
50
加工时间y分钟
63
?
75
82
88
数据的值为 .
15.为了保证信息安全传输,有一种称为秘密密钥密码系统,其加密、解密原理如下图:
现在加密密钥为y=loga(x+2),如下所示:明文“6”通过加密后得到密文“3”,再发送,接受方通过解密密钥解密得明文“6”,问“接受方接到密文”4“,则解密后得到明文为 .
16.类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的性质,可推知正四体的下列的一些性质,
①各棱长相等,同一顶点上的两条棱的夹角相等;
②各个面都是全等的正三角形,相邻两个面所成的二面角相等;
③各个面都是全等的正三角形,同一顶点上的任何两条棱的夹角相等.
你认为比较恰当的是 .
三.解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.目前我省高考科目为文科考:语文,数学(文科),英语,文科综合(政治、历史、地理);理科考:语文,数学(理科),英语,理科综合(物理、化学、生物).请画出我省高考科目结构图.
18.当实数m为何值时,,
(1)为实数;
(2)为虚数;
(3)为纯虚数;
(4)复数z对应的点在复平面内的第二象限.
19.关于复数z的方程z2﹣(a+i)z﹣(i+2)=0(a∈R),
(1)若此方程有实数解,求a的值;
(2)用反证法证明:对任意的实数a,原方程不可能有纯虚根.
20.已知,且f(2)=1.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)若在数列{an}中,a1=1,,计算a2,a3,a4,并由此猜想通项公式an;
(Ⅲ)证明(Ⅱ)中的猜想.
21.北京时间4月14日,是湖人当家球星科比•布莱恩特的退役日,当天有大量网友关注此事.某网上论坛有重庆网友200人,四川网友300人.为了解不同地区对“科比退役”事件的关注程度,现采用分层抽样的方法,从中抽取100名网友,先分别统计他们在论坛的留言条数,再将留言条数分成5组:[40,50),[
50,60),[60,70),[70,80),[80,90),分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)从样本中留言不足50条的网友中随机抽取2人,求恰好抽到2名重庆市网友的概率;
(2)规定留言不少于60条为“强烈关注”,否则为“一般关注”.
网友
强烈关注
一般关注
合计
重庆市
a=
b=
四川省
c=
d=
合计
完成上表,并判断是否有90%以上的把握认为关注程度与网友所在地区有关?
附:临界值表及参考公式:K2=,n=a+b+c+d.
P(K2≥x0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
x0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
22.已知函数g(x)=,f(x)=g(x)﹣ax.
(Ⅰ)求函数g(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数f(x)在(1,+∞)上是减函数,求实数a的最小值;
(Ⅲ)若∀x1∈[e,e2],∃x2∈[e,e2],使g(x1)≤f′(x2)+2a成立,求实数a的取值范围.
2016-2017学年河南省郑州四十七中高二(下)第一次月考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共12小题,每题5分,共60分,每小题给出的4个选项中,只有一选项是符合题目要求的)
1.复数(﹣+i)2对应的点位于复平面的( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【考点】复数的代数表示法及其几何意义.
【分析】首先进行复数的乘方运算,把所得的结果整理成复数的代数形式的标准形式,写出复数对应的点的坐标,看出点的位置.
【解答】解:∵复数(﹣+i)2=﹣﹣,
∴复数在复平面上对应的点的坐标是(﹣)
∴对应的点位于复平面的第三象限,
故选C.
2.按照下列三种化合物的结构式及分子式的规律,写出后一种化合物的分子式是( )
A.C4H9 B.C4H10 C.C4H11 D.C6H12
【考点】类比推理.
【分析】由前三种化合物的结构式及分子式的规律可知,后一种化合物比前一种化合物多一个C两个H,即可选出答案.
【解答】解:由前三种化合物的结构式及分子式的规律可知,后一种化合物比前一种化合物多一个C两个H,
故后一种化合物的分子式是C4H10
故选B
3.“z1与z2互为共轭复数”是“z1z2∈R”的( )条件.
A.充分不必要 B.必要不充分
C.充要条件 D.既不充分也不必要
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】设z1=a+bi(a,b∈R),z1与z2互为共轭复数,z2=a﹣bi,可得z1z2∈R.反之不成立,举例即可说明.
【解答】解:设z1=a+bi(a,b∈R),z1与z2互为共轭复数,则z2=a﹣bi,
则z1z2=a2+b2∈R.
反之不成立:例如取z1=i,z2=2i,则z1z2=﹣2∈R.但是z1与z2不互为共轭复数.
∴“z1与z2互为共轭复数”是“z1z2∈R”的充分不必要条件.
故选:A.
4.下面的图示中,是流程图的是( )
A.①② B.③④ C.①②③ D.①②③④
【考点】程序框图.
【分析】本题考查的知识点是程序框图、工序流程图、结构图的定义,根据程序框图、工序流程图、结构图的定义我们对四个框图逐一进行判断,即可得到答案
【解答】解:∵流程图主要用来说明某一过程.
这种过程既可以是生产线上的工艺流程,
也可以是完成一项任务必需的管理过程.
结构图:指以模块的调用关系为线索,
用自上而下的连线表示调用关系并注明参数传递的方向和内容,
从宏观上反映事物层次结构的图形
故①②为流程图,
③④为结构图.
故①②是流程图
故选A
5.《论语》云:“名不正,则言不顺;言不顺,则事不成;事不成,则礼乐不兴;礼乐不兴,则刑罚不中;刑罚不中,则民无所措手足;所以名不正,则民无所措手足.”上述推理用的是( )
A.合情推理 B.归纳推理 C.类比推理 D.演绎推理
【考点】进行简单的演绎推理.
【分析】合情推理是指合乎情理的推理,在得到新结论之前,合情推理可以帮助我们猜测和发现结论,题目中所给的这种推理符合合情推理的形式.
【解答】解:合情推理是指合乎情理的推理,
在得到新结论之前,合情推理可以帮助我们猜测和发现结论,
题目中所给的这种推理符合合情推理的形式,
故选A.
6.若z∈C且|z+2﹣2i|=1,则|z﹣1﹣2i|的最小值是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【考点】复数求模.
【分析】根据两个复数差的几何意义,求得|z﹣1﹣2i|的最小值.
【解答】解:∵|z+2﹣2i|=1,∴复数z对应点在以C(﹣2,2)为圆心、以1为半径的圆上.
而|z﹣1﹣2i|表示复数z对应点与点A(1,2)间的距离,
故|z﹣1﹣2i|的最小值是|AC|﹣1=2,
故选:A.
7.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说:“是乙或丙获奖.”乙说:“甲、丙都未获奖.”丙说:“我获奖了.”丁说:“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的,则获奖的歌手是( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
【考点】进行简单的合情推理.
【分析】这是一个简单的合情推理题,我们根据“四位歌手的话只有两句是对的”,假设某一个人说的是真话,如果与条件不符,说明假设不成立,如果与条件相符,则假设成立的方法解决问题.
【解答】解:若甲是获奖的歌手,则都说假话,不合题意.
若乙是获奖的歌手,则甲、乙、丁都说真话,丙说假话,不符合题意.
若丁是获奖的歌手,则甲、丁、丙都说假话,乙说真话,不符合题意.
故获奖的歌手是丙
故先C
8.用反证法证明命题:“a,b,c,d∈R,a+b=1,c+d=1,且ac+bd>1,则a,b,c,d中至少有一个负数”时的假设为( )
A.a,b,c,d全都大于等于0 B.a,b,c,d全为正数
C.a,b,c,d中至少有一个正数 D.a,b,c,d中至多有一个负数
【考点】反证法.
【分析】用反证法证明数学命题时,应先假设结论的否定成立.
【解答】解:“a,b,c,d中至少有一个负数”的否定为“a,b,c,d全都大于等于0”,
由用反证法证明数学命题的方法可得,应假设“a,b,c,d全都大于等于0”,
故选:A.
9.已知三条不重合的直线m、n、l与两个不重合的平面α、β,有下列命题:
①若m∥n,n⊂α,则m∥α;
②若l⊥α,m⊥β,且l∥m,则α∥β;
③若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β;
④若α⊥β,α∩β=m,n⊂β,n⊥m,则n⊥α.
其中正确的命题个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.
【分析】①,由线面关系得出m∥α或m⊂α;②
,由垂直于同一直线的两个平面平行得到;③由面面平行的判定定理得到;④由面面垂直的性质定理得到.
【解答】解:对于①,若m∥n,n⊂α,则m∥α或m⊂α,①不正确;
对于②,若l⊥α,m⊥β且l∥m,则α∥β,显然成立;
对于③,若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β,
由面面平行的判定定理知它是不正确的;
对于④,若α⊥β,α∩β=m,n⊂β,n⊥m,则n⊥α,
由面面垂直的性质定理知它是正确的;综上所述,正确命题的个数为2,故选B.
10.已知具有线性相关的两个变量x,y之间的一组数据如下:
x
0
1
2
3
4
y
2.2
4.3
4.5
4.8
6.7
回归方程是=bx+a,其中b=0.95,a=﹣b.则当x=6时,y的预测值为( )
A.8.1 B.8.2 C.8.3 D.8.4
【考点】线性回归方程.
【分析】线性回归方程=0.95x+2.6,必过样本中心点(,),首先计算出横标和纵标的平均数,代入回归直线方程求出a即可得到回归直线的方程,代入x=6,可得y的预测值.
【解答】解:由题意可知: ==2, ==4.5,
由a=﹣b=4.5﹣0.95×2=2.6,
∴=0.95x+2.6,
∴当x=6, =0.95×6+2.6=8.3,
∴y的预测值为8.3,
故选C.
11.设函数f(x)=ex(sinx﹣cosx),若0≤x≤2014π,则函数f(x)的各极大值之和为( )
A. B.
C. D.
【考点】利用导数研究函数的极值.
【分析】先求出其导函数,利用导函数求出其单调区间,进而找到其极大值f(2kπ+π)=e2kπ+π,再利用数列的求和方法来求函数f(x)的各极大值之和即可.
【解答】解:∵函数f(x)=ex(sinx﹣cosx),
∴f′(x)=(ex)′(sinx﹣cosx)+ex(sinx﹣cosx)′=2exsinx,
∵x∈(2kπ,2kπ+π)时,f′(x)>0,x∈(2kπ+π,2kπ+2π)时,f′(x)<0,
∴x∈(2kπ,2kπ+π)时原函数递增,x∈(2kπ+π,2kπ+2π)时,函数f(x)=ex(sinx﹣cosx)递减,
故当x=2kπ+π时,f(x)取极大值,
其极大值为f(2kπ+π)=e2kπ+π[sin(2kπ+π)﹣cos(2kπ+π)]
=e2kπ+π×(0﹣(﹣1))
=e2kπ+π,
又0≤x≤2014π,
∴函数f(x)的各极大值之和
S=eπ+e3π+e5π+…+e2013π
=
=.
故选:B.
12.设A1,A2,A3,A4是平面直角坐标系中两两不同的四点,若(λ∈R),(μ∈R),且
,则称A3,A4调和分割A1,A2,已知点C(c,0),D(d,O)(c,d∈R)调和分割点A(0,0),B(1,0),则下面说法正确的是( )
A.C可能是线段AB的中点
B.D可能是线段AB的中点
C.C,D可能同时在线段AB上
D.C,D不可能同时在线段AB的延长线上
【考点】平面向量坐标表示的应用.
【分析】由题意可得到c和d的关系,,只需结合答案考查方程的解的问题即可.
A和B中方程无解,C中由c和d的范围可推出C和D点重合,由排除法选择答案即可.
【解答】解:由已知可得(c,0)=λ(1,0),(d,0)=μ(1,0),
所以λ=c,μ=d,代入得(1)
若C是线段AB的中点,则c=,代入(1)d不存在,故C不可能是线段AB的中点,A错误;同理B错误;
若C,D同时在线段AB上,则0≤c≤1,0≤d≤1,代入(1)得c=d=1,此时C和D点重合,与条件矛盾,故C错误.
故选D
二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.设x,y为实数,且,则x+y= 4 .
【考点】复数相等的充要条件.
【分析】利用复数除法的知识,将等式两边均化为a+bi的标准形式,再由复数相等列方程组求解即可.
【解答】解:,
而所以,
解得x=﹣1,y=5,
所以x+y=4.
故答案为:4
14.某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此作了五次试验,得到的数据如下,由最小二乘法求得回归方程,现发有一个数据看不清,请你推断出该
零件个数x
10
20
30
40
50
加工时间y分钟
63
?
75
82
88
数据的值为 67 .
【考点】线性回归方程.
【分析】根据表中所给的数据,做出横标和纵标的平均数,得到样本中心点,根据由最小二乘法求得回归方程=0.67x+54.9.代入样本中心点求出该数据的值.
【解答】解:设表中有一个模糊看不清数据为m.
由表中数据得: =30, =,
由于由最小二乘法求得回归方程=0.67x+54.9.
将x=30,y=代入回归直线方程,得m=67.
故答案为:67.
15.为了保证信息安全传输,有一种称为秘密密钥密码系统,其加密、解密原理如下图:
现在加密密钥为y=loga(x+
2),如下所示:明文“6”通过加密后得到密文“3”,再发送,接受方通过解密密钥解密得明文“6”,问“接受方接到密文”4“,则解密后得到明文为 14 .
【考点】通讯安全中的有关概念;信息的加密与去密.
【分析】根据题意中给出的解密密钥为y=loga(x+2),如上所示,明文“6”通过加密后得到密文“3”,我们不难求出底数a的值,若接受方接到密文为“4”,不妨解密后得明文为b,构造方程,解方程即可解答.
【解答】解:∵加密密钥为y=loga(x+2),
由其加密、解密原理可知,
当x=6时,y=3,从而a=2;
不妨设接受方接到密文为“4”的“明文”为b,
则有4=log2(b+2),
从而有b=24﹣2=14.
即解密后得明文为14
故答案为:14
16.类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的性质,可推知正四体的下列的一些性质,
①各棱长相等,同一顶点上的两条棱的夹角相等;
②各个面都是全等的正三角形,相邻两个面所成的二面角相等;
③各个面都是全等的正三角形,同一顶点上的任何两条棱的夹角相等.
你认为比较恰当的是 ①②③ .
【考点】类比推理.
【分析】本题考查的知识点是类比推理,在由平面几何的性质类比推理空间立体几何性质时,我们常用的思路是:由平面几何中点的性质,类比推理空间几何中线的性质;由平面几何中线的性质,类比推理空间几何中面的性质;由平面几何中面的性质,类比推理空间几何中体的性质;或是将一个二维平面关系,类比推理为一个三维的立体关系,故类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的性质,我们可以推断正四面体的相关性质.
【解答】
解:在由平面几何的性质类比推理空间立体几何性质时,我们常用的思路是:
由平面几何中点的性质,类比推理空间几何中线的性质;
由平面几何中线的性质,类比推理空间几何中面的性质;
由平面几何中面的性质,类比推理空间几何中体的性质;
或是将一个二维平面关系,类比推理为一个三维的立体关系,
故类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的性质,推断:
①各棱长相等,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等;
②各个面都是全等的正三角形,相邻两个面所成的二面角都相等;
③各个面都是全等的正三角形,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等.
都是恰当的
故答案为:①②③
三.解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.目前我省高考科目为文科考:语文,数学(文科),英语,文科综合(政治、历史、地理);理科考:语文,数学(理科),英语,理科综合(物理、化学、生物).请画出我省高考科目结构图.
【考点】结构图.
【分析】由已知可得高考科目分文理两科,文科考:语文,数学(文科),英语,文科综合(政治、历史、地理);理科考:语文,数学(理科),英语,理科综合(物理、化学、生物),可得我省高考科目结构图.
【解答】解:我省高考科目结构图,如下所示:
18.当实数m为何值时,,
(1)为实数;
(2)为虚数;
(3)为纯虚数;
(4)复数z对应的点在复平面内的第二象限.
【考点】复数的代数表示法及其几何意义;复数的基本概念.
【分析】(1)利用复数的虚部为0.求解即可.
(2)复数的虚部不为0,求解即可.
(3)复数的实部为0,虚部不为0,求解即可.
(4)列出不等式组求解即可.
【解答】解:,
(1)z为实数; 可得m2+5m+6=0,解得m=﹣2或m=﹣3(舍去).
(2)z为虚数; 可得m2+5m+6≠0,解得m≠﹣2且m≠﹣3.
(3)z为纯虚数; =0,m2+5m+6≠0,解得m=3.
(4)复数z对应的点在复平面内的第二象限,
可得:,
解得m∈(﹣∞,﹣3)∪(﹣2,3).
19.关于复数z的方程z2﹣(a+i)z﹣(i+2)=0(a∈R),
(1)若此方程有实数解,求a的值;
(2)用反证法证明:对任意的实数a,原方程不可能有纯虚根.
【考点】反证法与放缩法.
【分析】(1)若此方程有实数解,设z=m∈R,代入方程利用两个复数相等的充要条件,解方程求得a的值.
(2)假设原方程有纯虚根,令z=ni,n≠0,整理可得﹣n2+n﹣2+(﹣an﹣1)i=0,利用两个复数相等的充要条件
可得,由于①的判别式△<0,方程①无解,故方程组无解,从而得到结论.
【解答】解:(1)若此方程有实数解,设z=m∈R,代入方程可得 m2﹣(a+i)m﹣(i+2)=0,
即m2﹣am﹣2+(﹣m﹣1)i=0,∴m2﹣am﹣2=0,且﹣m﹣1=0,
∴m=﹣1,a=1.
(2)假设原方程有纯虚根,令z=ni,n≠0,则有 (ni)2﹣(a+i)ni﹣(i+
2)=0,
整理可得﹣n2+n+(﹣an﹣a﹣2)i=0,∴.
∴对于①,由于判别式△<0,∴方程①无解,故方程组无解,故假设不成立,
故原方程不可能有纯虚根.
20.已知,且f(2)=1.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)若在数列{an}中,a1=1,,计算a2,a3,a4,并由此猜想通项公式an;
(Ⅲ)证明(Ⅱ)中的猜想.
【考点】分析法和综合法;归纳推理.
【分析】(Ⅰ)因为,f(2)=1,可得=1,由此解得a的值.
(Ⅱ)根据在{an}中,a1=1,,令n=1、2、3,即可求得a2,a3,a4的值,由此猜想通项公式an.
(Ⅲ)由题意可得,即,根据等差数列的通项公式求出的通项公式,即可得到{an}的通项公式.
【解答】解:(Ⅰ)因为,f(2)=1,
所以=1,解得 a=2. …
(Ⅱ)在{an}中,因为a1=1,.
所以,,
,
所以猜想{an}的通项公式为.…
(Ⅲ)证明:因为a1=1,,
所以,即.
所以是以为首项,公差为的等差数列.
所以,所以通项公式.…
21.北京时间4月14日,是湖人当家球星科比•布莱恩特的退役日,当天有大量网友关注此事.某网上论坛有重庆网友200人,四川网友300人.为了解不同地区对“科比退役”事件的关注程度,现采用分层抽样的方法,从中抽取100名网友,先分别统计他们在论坛的留言条数,再将留言条数分成5组:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)从样本中留言不足50条的网友中随机抽取2人,求恰好抽到2名重庆市网友的概率;
(2)规定留言不少于60条为“强烈关注”,否则为“一般关注”.
网友
强烈关注
一般关注
合计
重庆市
a= 32
b= 8
40
四川省
c= 39
d= 21
60
合计
71
29
100
完成上表,并判断是否有90%以上的把握认为关注程度与网友所在地区有关?
附:临界值表及参考公式:K2=,n=a+b+c+d.
P(K2≥x0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
x0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【考点】独立性检验的应用.
【分析】(1)根据分层抽样原理,计算重庆、四川抽取的人数,求出样本中留言不足50条的网友中重庆、四川的人数,利用列举法求出基本事件数,计算对应的概率值;
(2)根据题意,填写列联表,计算观测值K2,对照临界值表得出正确的结论.
【解答】解:(1)根据分层抽样原理,重庆抽取100×=40人,
所以四川抽取60人;
样本中留言不足50条的网友中重庆有40×0.005×10=2人,记为A、B,
四川有60×0.01×10=6人,可记为c、d、e、f、g、h,
从中随机抽取2人,基本事件数为;
AB、Ac、Ad、Ae、Af、Ag、Ah、Bc、Bd、Be、Bf、Bg、Bh、
cd、ce、cf、cg、ch、de、df、dg、dh、ef、eg、eh、fg、fh、gh共28种,
恰好抽到2名重庆市网友的基本事件是AB,有1种,
故所求的概率为P=;
(2)规定留言不少于60条为“强烈关注”,否则为“一般关注”,填写列联表如下;
网友
强烈关注
一般关注
合计
重庆市
a=32
b=8
40
四川省
c=39
d=21
60
合计
71
29
100
根据列联表,计算观测值K2==≈2.623<2.706,
对照临界值表知,没有90%以上的把握认为关注程度与网友所在地区有关.
22.已知函数g(x)=,f(x)=g(x)﹣ax.
(Ⅰ)求函数g(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数f(x)在(1,+∞)上是减函数,求实数a的最小值;
(Ⅲ)若∀x1∈[e,e2],∃x2∈[e,e2],使g(x1)≤f′(x2)+2a成立,求实数a的取值范围.
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;导数的运算;利用导数研究函数的单调性.
【分析】(I)利用导数的运算法则可得g′(x),分别解出g′(x)>0,g′(x)<0,即可得出其单调区间;
(II)函数f(x)在(1,+∞)上是减函数,可得f′(x)≤0恒成立,即≤0恒成立.通过分离参数转化为.,再利用二次函数的单调性即可得出;
(III))由于∀x1∈[e,e2],∃x2∈[e,e2],使g(x1)≤f′(x2)+2a成立,可得
.分别利用导数和二次函数的单调性即可得出.
【解答】解:(I)(x>0且x≠1).
令g′(x)>0,解得,x>e,因此函数g(x)在区间(e,+∞)单调递增;
令g′(x)<0,解得0<x<e且x≠1,因此函数g(x)在区间(0,1),(1,e)单调递减.
(II)f(x)=g(x)﹣ax=(x>1).f′(x)=.
∵函数f(x)在(1,+∞)上是减函数,∴f′(x)≤0恒成立,即≤0恒成立.
∴.
∵x>1,∴lnx>0,
∴=≤,当lnx=2,即x=e2时取等号.
∴.
∴实数a的最小值是.
(III)∵∀x1∈[e,e2],∃x2∈[e,e2],使g(x1)≤f′(x2)+2a成立,
∴.
由(I)可知:g(x1)在[e,e2]上单调递增,∴g(x1)max=g(e2)=.
∵x∈[e,e2],∴1≤lnx≤2,∴.
令h(x)=f′(x)+2a=﹣a+2a==+≤a+.
∴+.
∴实数a的取值范围是.
2017年4月19日