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  • 2021-06-30 发布

数学理·江西省抚州市崇仁二中2016-2017学年高二上学期期中数学试卷(理科)+Word版含解析x

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‎2016-2017学年江西省抚州市崇仁二中高二(上)期中数学试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.完成下列两项调查:‎ ‎①一项对“小彩旗春晚连转四小时”的调查中有10 000人认为这是成为优秀演员的必经之路,有9 000人认为太残酷,有1 000人认为无所谓.现要从中随机抽取200人做进一步调查.‎ ‎②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况,宜采用的抽样方法依次是(  )‎ A.①简单随机抽样,②系统抽样 B.①分层抽样,②简单随机抽样 C.①系统抽样,②分层抽样 D.①②都用分层抽样 ‎2.容量100的样本数据,按从小到大的顺序分8组,如表:‎ 组号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 频数 ‎10‎ ‎13‎ x ‎14‎ ‎15‎ ‎13‎ ‎12‎ ‎9‎ 第三组的频数和频率分别是(  )‎ A.14和0.14 B.0.14和14 C.和0.14 D.和 ‎3.如图面积为4的矩形ABCD中有一个阴影部分,若往矩形ABCD投掷1000个点,落在矩形ABCD的非阴影部分中的点数为400个,试估计阴影部分的面积为(  )‎ A.2.2 B.2.4 C.2.6 D.2.8‎ ‎4.某学生在一门功课的22次考试中,所得分数茎叶图如图所示,则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为(  )‎ A.117 B.118 C.118.5 D.119.5‎ ‎5.某射手在一次训练中五次射击的成绩分别为9.4、9.4、9.4、9.6、9.7,则该射手成绩的方差是(  )‎ A.0.127 B.0.016 C.0.08 D.0.216‎ ‎6.已知条件p:|x﹣1|<2,条件q:x2﹣5x﹣6<0,则p是q的(  )‎ A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 ‎7.下列说法中错误的个数为(  )‎ ‎①一个命题的逆命题为真,它的否命题也一定为真;‎ ‎②若一个命题的否命题为假,则它本身一定为真;‎ ‎③是的充要条件;‎ ‎④与a=b是等价的;‎ ‎⑤“x≠3”是“|x|≠3”成立的充分条件.‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ ‎8.若向量(1,0,x)与向量(2,1,2)的夹角的余弦值为,则x为(  )‎ A.0 B.1 C.﹣1 D.2‎ ‎9.已知A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,﹣5),点P(x,﹣1,3)在平面ABC内,则x的值为(  )‎ A.﹣4 B.1 C.10 D.11‎ ‎10.有40件产品编号1至40,现从中抽取4件检验,用系统抽样的方法确定所抽编号为(  )‎ A.5,10,15,20 B.2,12,22,32 C.2,11,26,38 D.5,8,31,36‎ ‎11.已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,E是侧棱BB1的中点,则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为(  )‎ A.60° B.90° C.45° D.以上都不正确 ‎12.平面α的一个法向量=(1,﹣1,0),则y轴与平面α所成的角的大小为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎ ‎ 二、填空题(每小题5分,共4小题,满分20分)‎ ‎13.命题“∃x∈R,x2﹣x+2>0”的否定:  .‎ ‎14.已知向量=(cosθ,sinθ,1),=(,﹣1,2),则|2﹣|的最大值为  .‎ ‎15.若a是从区间[0,10]中任取的一个实数,则方程x2﹣ax+1=0无实解的概率是  .‎ ‎16.下列命题:‎ ‎①命题“∃x∈R,x2+x+1=0”的否定是“∃x∈R,x2+x+1≠0”;‎ ‎②若A={x|x>0},B={x|x≤﹣1},则A∩(∁RB)=A;‎ ‎③函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)是偶函数的充要条件是φ=kπ+(k∈Z);‎ ‎④若非零向量,满足=λ•, =λ(λ∈R),则λ=1.‎ 其中正确命题的序号有  .‎ ‎ ‎ 三、解答题(共6小题,满分70分)‎ ‎17.已知向量与向量=(2,﹣1,2)共线,且满足•=18,(k+)⊥(k﹣),求向量及k的值.‎ ‎18.一河南旅游团到安徽旅游.看到安徽有很多特色食品,其中水果类较有名气的有:怀远石榴、砀山梨、徽州青枣等19‎ 种,点心类较有名气的有:一品玉带糕、徽墨酥、八公山大救驾等38种,小吃类较有名气的有:符离集烧鸡、无为熏鸭、合肥龙虾等57种.该旅游团的游客决定按分层抽样的方法从这些特产中买6种带给亲朋品尝.‎ ‎(Ⅰ)求应从水果类、点心类、小吃类中分别买回的种数;‎ ‎(Ⅱ)若某游客从买回的6种特产中随机抽取2种送给自己的父母,‎ ‎①列出所有可能的抽取结果;‎ ‎②求抽取的2种特产均为小吃的概率.‎ ‎19.已知命题p:不等式|x﹣1|>m﹣1的解集为R,命题q:f(x)=﹣(5﹣2m)x是减函数,若p或q为真命题,p且q为假命题,求实数m的取值范围.‎ ‎20.如图,直三棱柱ABC﹣A1B1C1,底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M、N分别是A1B1、A1A的中点.‎ ‎(1)求的长;‎ ‎(2)求cos(•)的值;‎ ‎(3)求证A1B⊥C1M.‎ ‎21.设M={x|},N={x|x2+(a﹣8)x﹣8a≤0},命题p:x∈M,命题q:x∈N.‎ ‎(Ⅰ)当a=﹣6时,试判断命题p是命题q的什么条件;‎ ‎(Ⅱ)求a的取值范围,使命题p是命题q的一个必要但不充分条件.‎ ‎22.如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD.‎ ‎(Ⅰ)证明:平面PQC⊥平面DCQ ‎(Ⅱ)求二面角Q﹣BP﹣C的余弦值.‎ ‎ ‎ ‎2016-2017学年江西省抚州市崇仁二中高二(上)期中数学试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.完成下列两项调查:‎ ‎①一项对“小彩旗春晚连转四小时”的调查中有10 000人认为这是成为优秀演员的必经之路,有9 000人认为太残酷,有1 000人认为无所谓.现要从中随机抽取200人做进一步调查.‎ ‎②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况,宜采用的抽样方法依次是(  )‎ A.①简单随机抽样,②系统抽样 B.①分层抽样,②简单随机抽样 C.①系统抽样,②分层抽样 D.①②都用分层抽样 ‎【考点】分层抽样方法;简单随机抽样.‎ ‎【分析】①的总体数目较多,而且差异很大,符合分层抽样的适用范围;②的总体个数不多,而且差异不大,符合简单随机抽样的适用范围.‎ ‎【解答】解:①一项对“小彩旗春晚连转四小时”的调查中有10 000人认为这是成为优秀演员的必经之路,有9 000人认为太残酷,有1 000人认为无所谓.现要从中随机抽取200人做进一步调查,此项抽查的总体数目较多,而且差异很大,符合分层抽样的适用范围;‎ ‎②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况,此项抽查的总体个数不多,而且差异不大,符合简单随机抽样的适用范围.‎ ‎∴宜采用的抽样方法依次是:①分层抽样,②简单随机抽样.‎ 故选;B.‎ ‎ ‎ ‎2.容量100的样本数据,按从小到大的顺序分8组,如表:‎ 组号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 频数 ‎10‎ ‎13‎ x ‎14‎ ‎15‎ ‎13‎ ‎12‎ ‎9‎ 第三组的频数和频率分别是(  )‎ A.14和0.14 B.0.14和14 C.和0.14 D.和 ‎【考点】频率分布表.‎ ‎【分析】由容量100的样本数据知有100个数字,而其他组的数字个数都是已知,得到要求的结果,根据样本容量和本组数据的个数得到本组数据的频率.‎ ‎【解答】解:∵由容量100的样本数据知有100个数字,‎ 而其他组的数字个数都是已知,‎ ‎∴频数为100﹣(10+13+14+14+13+12+90)=14‎ 频率为.‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎3.如图面积为4的矩形ABCD中有一个阴影部分,若往矩形ABCD投掷1000个点,落在矩形ABCD的非阴影部分中的点数为400个,试估计阴影部分的面积为(  )‎ A.2.2 B.2.4 C.2.6 D.2.8‎ ‎【考点】几何概型.‎ ‎【分析】根据若往矩形ABCD投掷1000个点,落在矩形ABCD的非阴影部分中的点数为400个可估计落在阴影部分的概率,而落在阴影部分的概率等于阴影部分的面积与矩形的面积比,从而可求出所求.‎ ‎【解答】解:根据几何概率的计算公式可得,向距形内随机投掷1000个点,落在矩形ABCD的非阴影部分中的点数为400个,‎ 则落在矩形ABCD的阴影部分中的点数为600个,‎ 设阴影部分的面积为S,落在阴影部分为事件A,‎ ‎∴落在阴影部分的概率P(A)=,解得S=2.4.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎4.某学生在一门功课的22次考试中,所得分数茎叶图如图所示,则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为(  )‎ A.117 B.118 C.118.5 D.119.5‎ ‎【考点】茎叶图.‎ ‎【分析】求出22次考试分数最大为98,最小56,可求极差,从小到大排列,找出中间两数为76,76,可求中位数,从而可求此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和.‎ ‎【解答】解:22次考试分数最大为98,最小为56,所以极差为98﹣56=42,‎ 从小到大排列,中间两数为76,76,所以中位数为76.‎ 所以此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为42+76=118.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎5.某射手在一次训练中五次射击的成绩分别为9.4、9.4、9.4、9.6、9.7,则该射手成绩的方差是(  )‎ A.0.127 B.0.016 C.0.08 D.0.216‎ ‎【考点】极差、方差与标准差.‎ ‎【分析】先求出其平均值,再利用方差的计算公式即可得出.‎ ‎【解答】解:∵该射手在一次训练中五次射击的成绩的平均值==9.5;‎ ‎∴该射手成绩的方差s2=+(9.7﹣9.5)2]=0.016.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎6.已知条件p:|x﹣1|<2,条件q:x2﹣5x﹣6<0,则p是q的(  )‎ A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 ‎【考点】充要条件.‎ ‎【分析】通过解不等式,先化简条件p,q,再判断出条件p,q中的数构成的集合间的关系,判断出p是q的什么条件.‎ ‎【解答】解:条件p:|x﹣1|<2即﹣1<x<3,‎ 条件q:x2﹣5x﹣6<0即﹣1<x<6,‎ ‎∵{x|﹣1<x<6}⊃{x|﹣1<x<3},‎ ‎∴p是q的充分不必要条件.‎ 故选B ‎ ‎ ‎7.下列说法中错误的个数为(  )‎ ‎①一个命题的逆命题为真,它的否命题也一定为真;‎ ‎②若一个命题的否命题为假,则它本身一定为真;‎ ‎③是的充要条件;‎ ‎④与a=b是等价的;‎ ‎⑤“x≠3”是“|x|≠3”成立的充分条件.‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用.‎ ‎【分析】根据真假命题的判断方法和充要条件的定义逐个判断,确定个数.‎ ‎【解答】解:①一个命题的逆命题和它的否命题真假性相同.①正确 ‎②一个命题的否命题和他它本身真假性不一定相同.②错误 ‎③由不等式的基本性质,若则充分性成立,反之,取x=1,y=3,满足,但推不出,必要性不成立.③错误 ‎④⇒a=b,反之易知不成立.④错误 ‎⑤取x=﹣3,满足x≠3,但推不出“|x|≠3 错误⑤‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎8.若向量(1,0,x)与向量(2,1,2)的夹角的余弦值为,则x为(  )‎ A.0 B.1 C.﹣1 D.2‎ ‎【考点】空间向量的夹角与距离求解公式.‎ ‎【分析】本题可以有向量的数量积公式建立方程求参数,由于已知夹角的余弦值为,宜用数量积公式的变形形式建立方程求解.‎ ‎【解答】解:由题意=,∴1+x=,解得x=0‎ 故选A ‎ ‎ ‎9.已知A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,﹣5),点P(x,﹣1,3)在平面ABC内,则x的值为(  )‎ A.﹣4 B.1 C.10 D.11‎ ‎【考点】向量在几何中的应用.‎ ‎【分析】利用平面向量的共面定理即可得出.‎ ‎【解答】解:∵点P(x,﹣1,3)在平面ABC内,∴存在实数λ,μ使得等式成立,‎ ‎∴(x﹣4,﹣2,0)=λ(﹣2,2,﹣2)+μ(﹣1,6,﹣8),‎ ‎∴,消去λ,μ解得x=11.‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎10.有40件产品编号1至40,现从中抽取4件检验,用系统抽样的方法确定所抽编号为(  )‎ A.5,10,15,20 B.2,12,22,32 C.2,11,26,38 D.5,8,31,36‎ ‎【考点】系统抽样方法.‎ ‎【分析】根据题意可知,本题所说的用系统抽样的方法所确定的抽样编号间隔应该是=10,观察所给的四组数据即可得到答案.‎ ‎【解答】解:∵根据题意可知,系统抽样得到的产品的编号应该具有相同的间隔,‎ 且间隔是=10.‎ ‎∴只有B符合要求,即后面的数比前一个数大10.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎11.已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,E是侧棱BB1的中点,则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为(  )‎ A.60° B.90° C.45° D.以上都不正确 ‎【考点】直线与平面垂直的判定.‎ ‎【分析】根据本题的条件,E是BB1的中点且AA1=2,AB=BC=1,容易证明∠AEA1=90°,再由长方体的性质容易证明AD⊥平面ABB1A1,从而证明AE⊥平面A1ED1,是一个特殊的线面角.‎ ‎【解答】解:∵E是BB1的中点且AA1=2,AB=BC=1,‎ ‎∴∠AEA1=90°,‎ 又在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AD⊥平面ABB1A1,‎ ‎∴A1D1⊥AE,‎ ‎∴AE⊥平面A1ED1,‎ 故选B ‎ ‎ ‎12.平面α的一个法向量=(1,﹣1,0),则y轴与平面α所成的角的大小为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】用空间向量求直线与平面的夹角.‎ ‎【分析】设y轴与平面α所成的角的大小为θ,由在y轴上的单位向量和平面α的一个法向量,利用向量法能求出结果.‎ ‎【解答】解:设y轴与平面α所成的角的大小为θ,‎ ‎∵在y轴上的单位向量=(0,1,0),平面α的一个法向量=(1,﹣1,0),‎ ‎∴sinθ=|cos<,>|=||=,‎ ‎∴θ=.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ 二、填空题(每小题5分,共4小题,满分20分)‎ ‎13.命题“∃x∈R,x2﹣x+2>0”的否定: ∀x∈R,x2﹣x+2≤0 .‎ ‎【考点】命题的否定;特称命题.‎ ‎【分析】将量词与结论同时否定,即可得结论.‎ ‎【解答】解:将量词与结论同时否定,可得:∀x∈R,x2﹣x+2≤0‎ 故答案为:∀x∈R,x2﹣x+2≤0‎ ‎ ‎ ‎14.已知向量=(cosθ,sinθ,1),=(,﹣1,2),则|2﹣|的最大值为 4 .‎ ‎【考点】两角和与差的正弦函数;向量的模.‎ ‎【分析】运用向量的模的公式和数量积的坐标表示,求出向量a,b的模和数量积,再由|2﹣|=化简整理,即可得到最大值.‎ ‎【解答】解:∵向量=(cosθ,sinθ,1),=(,﹣1,2),‎ ‎∴||==,||==2,‎ ‎=cosθ﹣sinθ+2=2﹣2sin(θ﹣).‎ ‎∴|2﹣|===‎ ‎=,‎ 则sin(θ﹣)=1时,取最大值4.‎ 故答案为:4.‎ ‎ ‎ ‎15.若a是从区间[0,10]中任取的一个实数,则方程x2﹣ax+1=0无实解的概率是  .‎ ‎【考点】几何概型.‎ ‎【分析】根据题意先确定是几何概型中的长度类型,由方程x2﹣ax+1=0无实解,则必须有△<0,求出构成的区域长度,再求出在区间[0,10]上任取一个数a构成的区域长度,再求两长度的比值.‎ ‎【解答】解:方程x2﹣ax+1=0无实解,‎ 则:△=a2﹣4<0,‎ 即:(a﹣2)(a+2)<0,⇒﹣2<a<2,‎ 又a≥0,‎ ‎∴0≤a<2,其构成的区域长度为2,‎ 从区间[0,10]中任取的一个实数a构成的区域长度为10,‎ 则方程x2﹣ax+1=0无实解的概率是=‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎16.下列命题:‎ ‎①命题“∃x∈R,x2+x+1=0”的否定是“∃x∈R,x2+x+1≠0”;‎ ‎②若A={x|x>0},B={x|x≤﹣1},则A∩(∁RB)=A;‎ ‎③函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)是偶函数的充要条件是φ=kπ+(k∈Z);‎ ‎④若非零向量,满足=λ•, =λ(λ∈R),则λ=1.‎ 其中正确命题的序号有 ②③ .‎ ‎【考点】命题的否定;命题的真假判断与应用.‎ ‎【分析】①全称命题”的否定一定是“存在性命题”.①错误 ‎②直接求解A∩(CRB),验证.‎ ‎③利用正弦函数的图象与性质,得出应有f(0)=±1,代入求φ,判断正误.‎ ‎④根据向量的数乘运算,求出λ值,判断正误.‎ ‎【解答】解:①∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”.‎ 命题“∃x∈R,x2+x+1=0”的否定应是“∀x∈R,x2+x+1≠0”;①错误.‎ ‎②CRB={x|x>﹣1},A={x|x>0},∴A∩(CRB)={x|x>0}=A ②正确.‎ ‎③函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)是偶函数的充要条件是f(x)图象关于y轴对称,‎ 即有f(0)=±1,∴sinφ=±1,φ=kπ+(k∈Z).③正确.‎ ‎④由已知,非零向量,满足=λ•=λ•(λ)=λ2,λ2=1,λ=±1.④错误.‎ 故答案为:②③.‎ ‎ ‎ 三、解答题(共6小题,满分70分)‎ ‎17.已知向量与向量=(2,﹣1,2)共线,且满足•=18,(k+)⊥(k﹣),求向量及k的值.‎ ‎【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系.‎ ‎【分析】由已知得存在实数λ,使=λ,由此能求出=2=(4,﹣2,4).由(k+)⊥(k﹣),得(k2﹣4)||2=0,由此能求出k=±2.‎ ‎【解答】解:∵,共线,∴存在实数λ,使=λ,‎ ‎∴•=λ2=λ||2,解得λ=2.‎ ‎∴=2=(4,﹣2,4).‎ ‎∵(k+)⊥(k﹣),‎ ‎∴(k+)•(k﹣)=(k+2)•(k﹣2)=0,‎ 即(k2﹣4)||2=0,‎ 解得k=±2.‎ ‎ ‎ ‎18.一河南旅游团到安徽旅游.看到安徽有很多特色食品,其中水果类较有名气的有:怀远石榴、砀山梨、徽州青枣等19种,点心类较有名气的有:一品玉带糕、徽墨酥、八公山大救驾等38种,小吃类较有名气的有:符离集烧鸡、无为熏鸭、合肥龙虾等57种.该旅游团的游客决定按分层抽样的方法从这些特产中买6种带给亲朋品尝.‎ ‎(Ⅰ)求应从水果类、点心类、小吃类中分别买回的种数;‎ ‎(Ⅱ)若某游客从买回的6种特产中随机抽取2种送给自己的父母,‎ ‎①列出所有可能的抽取结果;‎ ‎②求抽取的2种特产均为小吃的概率.‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式.‎ ‎【分析】(Ⅰ)先做出各种特色食品的总数,即样本容量,用要抽取的种数6除以总数,得到每个个体被抽到的概率,用概率乘以各种特色食品的总数,得到结果;‎ ‎(Ⅱ)利用列举法列举出从买回的6种特产中随机抽取2种的所有方法,然后找出抽取的2种特产均为小吃的方法种数,直接利用古典概型的概率计算公式计算.‎ ‎【解答】(Ⅰ)因为19+38+57=114,所以从水果类、点心类、小吃类中分别抽取的数目为:‎ ‎,,.‎ 所以应从水果类、点心类、小吃类中分别买回的种数为1,2,3.‎ ‎(Ⅱ)①在买回的6种特产中,3种特色小吃分别记为A1,A2,A3,2种点心分别记为a,b,水果记为甲,‎ 则抽取的2种特产的所有可能情况为:‎ ‎{A1,A2},{A1,A3},{A1,a},{A1,b},{A1,甲},‎ ‎{A2,A3},{A2,a},{A2,b},{A2,甲},‎ ‎{A3,a},{A3,b},{A3,甲},‎ ‎{a,b},{a,甲},{b,甲},共15种.‎ ‎②记从买回的6种特产中抽取2种均为小吃为事件B,‎ 则事件B的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},共3种,‎ 所以.‎ ‎ ‎ ‎19.已知命题p:不等式|x﹣1|>m﹣1的解集为R,命题q:f(x)=﹣(5﹣2m)x是减函数,若p或q为真命题,p且q为假命题,求实数m的取值范围.‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用.‎ ‎【分析】由绝对值得意义知,p:即 m<1;由指数函数的单调性与特殊点得,q:即 m<2.从而求得当这两个命题有且只有一个正确时实数m的取值范围.‎ ‎【解答】解:不等式|x﹣1|>m﹣1的解集为R,须m﹣1<0,即p是真 命题,m<1‎ f(x)=﹣(5﹣2m)x是减函数,须5﹣2m>1即q是真命题,m<2,‎ 由于p或q为真命题,p且q为假命题,故p、q中一个真,另一个为假命题 ‎ 因此,1≤m<2.‎ ‎ ‎ ‎20.如图,直三棱柱ABC﹣A1B1C1,底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M、N分别是A1B1、A1A的中点.‎ ‎(1)求的长;‎ ‎(2)求cos(•)的值;‎ ‎(3)求证A1B⊥C1M.‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算;空间两点间的距离公式;异面直线及其所成的角.‎ ‎【分析】由直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,由于BCA=90°,我们可以以C为原点建立空间直角坐标系O﹣xyz.‎ ‎(1)求出B点N点坐标,代入空间两点距离公式,即可得到答案;‎ ‎(2)分别求出向量,的坐标,然后代入两个向量夹角余弦公式,即可得到,>的值;‎ ‎(3)我们求出向量,的坐标,然后代入向量数量积公式,判定两个向量的数量积是否为0,若成立,则表明A1B⊥C1M ‎【解答】解:如图,以C为原点建立空间直角坐标系O﹣xyz.‎ ‎(1)依题意得B(0,1,0),N(1,0,1),‎ ‎∴‎ ‎(2)依题意得A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2).‎ ‎∴,, ,,‎ ‎∴cos<‎ ‎(3)证明:依题意得C1(0,0,2),M=(﹣1,1,﹣2),=,‎ ‎∴=,‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎21.设M={x|},N={x|x2+(a﹣8)x﹣8a≤0},命题p:x∈M,命题q:x∈N.‎ ‎(Ⅰ)当a=﹣6时,试判断命题p是命题q的什么条件;‎ ‎(Ⅱ)求a的取值范围,使命题p是命题q的一个必要但不充分条件.‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.‎ ‎【分析】(Ⅰ)解分式不等式求出M={x|x<﹣3或x>5},当a=﹣6时,解一元二次不等式求出N={x|6≤x≤8},由此能够得到命题p是命题q的必要不充分条件.‎ ‎(Ⅱ)由M={x|x<﹣3或x>5},N={x|(x﹣8)(x+a)≤0},命题p是命题q的必要不充分条件,分类讨论能够求出a的取值范围.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)M={x|}={x|x<﹣3或x>5},‎ 当a=﹣6时,N={x|x2+(a﹣8)x﹣8a≤0}={x|x2﹣14x+48≤0}={x|6≤x≤8},‎ ‎∵命题p:x∈M,命题q:x∈N,‎ ‎∴q⇒p,p推不出q,‎ ‎∴命题p是命题q的必要不充分条件.‎ ‎(Ⅱ)∵M={x|x<﹣3或x>5},N={x|(x﹣8)(x+a)≤0},‎ 命题p是命题q的必要不充分条件,‎ 当﹣a>8,即a<﹣8时,N={x|8<x<﹣a},此时命题成立;‎ 当﹣a=8,即a=﹣8时,N={8},命题成立;‎ 当﹣a<8,即a>﹣8时,此时N={﹣a<x<8},故有﹣a>5,解得a<﹣5,‎ 综上所述,a的取值范围是{a|a<﹣5}.‎ ‎ ‎ ‎22.如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD.‎ ‎(Ⅰ)证明:平面PQC⊥平面DCQ ‎(Ⅱ)求二面角Q﹣BP﹣C的余弦值.‎ ‎【考点】与二面角有关的立体几何综合题;平面与平面垂直的判定;向量语言表述面面的垂直、平行关系;用空间向量求平面间的夹角.‎ ‎【分析】首先根据题意以D为坐标原点,线段DA的长为单位长,射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz;‎ ‎(Ⅰ)根据坐标系,求出、、的坐标,由向量积的运算易得•=0, •=0;进而可得PQ⊥DQ,PQ⊥DC,由面面垂直的判定方法,可得证明;‎ ‎(Ⅱ)依题意结合坐标系,可得B、、的坐标,进而求出平面的PBC的法向量与平面PBQ法向量,进而求出cos<,>,根据二面角与其法向量夹角的关系,可得答案.‎ ‎【解答】解:如图,以D为坐标原点,线段DA的长为单位长,射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz;‎ ‎(Ⅰ)依题意有Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0);‎ 则=(1,1,0),=(0,0,1),=(1,﹣1,0),‎ 所以•=0, •=0;‎ 即PQ⊥DQ,PQ⊥DC,‎ 故PQ⊥平面DCQ,‎ 又PQ⊂平面PQC,所以平面PQC⊥平面DCQ;‎ ‎(Ⅱ)依题意,有B(1,0,1),‎ ‎=(1,0,0),=(﹣1,2,﹣1);‎ 设=(x,y,z)是平面的PBC法向量,‎ 则即,‎ 因此可取=(0,﹣1,﹣2);‎ 设是平面PBQ的法向量,则,‎ 可取=(1,1,1),‎ 所以cos<,>=﹣,‎ 故二面角角Q﹣BP﹣C的余弦值为﹣.‎ ‎ ‎ ‎2016年11月20日