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2016-2017学年重庆市云阳县江口中学高三(下)第一次月考数学试卷(理科)
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知i为虚数单位,复数z满足(1+i)z=(1﹣i)2,则|z|为( )
A. B.1 C. D.
2.已知集合A={x|0<x<2},B={x|1﹣x2>0},则A∩(∁RB)=( )
A.{x|0≤x≤1} B.{x|1≤x<2} C.{x|﹣1<x≤0} D.{x|0≤x<1}
3.执行如图的程序框图,如果输入的x的值为1,则输出的x的值为( )
A.4 B.13 C.40 D.121
4.数列{an}中,a2=2,a6=0且数列{}是等差数列,则a4=( )
A. B. C. D.
5.已知直线m、l与平面α、β、γ满足β∩γ=l,l∥α,m⊂α,m⊥γ,则下列命题一定正确的是( )
A.α⊥γ且l⊥m B.α⊥γ且m∥β C.m∥β且l⊥m D.α∥β且α⊥γ
6.已知a>0,b>0,则的最小值是( )
A.2 B. C.4 D.5
7.如图,某几何体的三视图中,正视图和侧视图都是半径为的半圆和相同的正三角形,其中三角形的上顶点是半圆的中点,底边在直径上,则它的表面积是( )
A.6π B.8π C.10π D.11π
8.函数y=cos(2x+φ)(﹣π≤φ<π)的图象向右平移个单位后,与函数的图象重合,则φ的值为( )
A. B. C. D.
9.已知O为原点,点A、B的坐标分别为(a,0),(0,a)其中常数a>0,点P在线段AB上,且=t(0≤t≤1),则•的最大值为( )
A.a B.2a C.3a D.a2
10.若变量x,y满足|x|﹣ln=0,则y关于x的函数图象大致是( )
A. B. C. D.
11.设F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,点P在双曲线的右支上,且|PF2|=|1FF2|,F2到直线PF1
的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
12.已知函数f(x)满足下列条件:①定义域为[1,+∞);②当1<x≤2时f(x)=4sin(x);③f(x)=2f(2x).若关于x的方程f(x)﹣kx+k=0恰有3个实数解,则实数k的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分.
13.(ax+)3的展开式中x3项的系数为20,则实数a= .
14.已知变量x,y满足,则的取值范围是 .
15.从圆x2+y2=4内任取一点p,则p到直线x+y=1的距离小于的概率 .
16.空间四个点P、A、B、C在同一球面上,PA、PB、PC两两垂直,且PA=PB=PC=a,那么这个球面的面积是 .
三.解答题(共8题,共70分)
17.设数列{an}满足a1=2,a2+a5=14,且对任意n∈N*,函数f(x)=an+1x2﹣(an+2+an)x满足f′(1)=0.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=,记数列{bn}的前n项和为Sn,求证Sn<.
18.由于当前学生课业负担较重,造成青少年视力普遍下降,现从某高中随机抽取16名学生,经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶)如图:
(Ⅰ)指出这组数据的众数和中位数;
(Ⅱ)若视力测试结果不低丁5.0,则称为“好视力”,求校医从这16人中随机选取3人,至多有1人是“好视力”的概率;
(Ⅲ)以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据,若从该校(人数很多)任选3人,记ξ表示抽到“好视力”学生的人数,求ξ的分布列及数学期望.
19.如图,如图,在四棱锥S﹣ABCD中,底面梯形ABCD中,BC∥AD,平面SAB⊥平面ABCD,△SAB是等边三角形,已知.
(I)求证:平面SAB⊥平面SAC;
(II)求二面角B﹣SC﹣A的余弦值.
20.已知椭圆C:的离心率为e=,过点(,)
(I)求椭圆C的方程;
(II)过A(﹣a,0)且互相垂直的两条直线l1、l2与椭圆C的另一个交点分别为P、Q.问:直线PQ是否经过定点?若是,求出该定点;否则,说明理由.
21.已知a∈R,函数f(x)=ln(x+a)﹣x,曲线y=f(x)与x轴相切.
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)是否存在实数m使得恒成立?若存在,求实数m的值;若不存在,说明理由.
四、解答题(共1小题,满分10分)
22.已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直l的参数方程是(t是参数)
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)若直线l与曲线C相交于A、B两点,且|AB|=,求直线的倾斜角α的值.
五、解答题(共1小题,满分0分)
23.已知函数f(x)=|2x+1|﹣|x|﹣2
(Ⅰ)解不等式f(x)≥0
(Ⅱ)若存在实数x,使得f(x)≤|x|+a,求实数a的取值范围.
2016-2017学年重庆市云阳县江口中学高三(下)第一次月考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知i为虚数单位,复数z满足(1+i)z=(1﹣i)2,则|z|为( )
A. B.1 C. D.
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出.
【解答】解:(1+i)z=(1﹣i)2,∴(1﹣i)(1+i)z=﹣2i(1﹣i),2z=﹣2﹣2i,即z=1﹣i.
则|z|==.
故选:A.
2.已知集合A={x|0<x<2},B={x|1﹣x2>0},则A∩(∁RB)=( )
A.{x|0≤x≤1} B.{x|1≤x<2} C.{x|﹣1<x≤0} D.{x|0≤x<1}
【考点】交、并、补集的混合运算.
【分析】先分别求出集合A,B,从而得到CRB,由此能求出A∩(∁RB).
【解答】解:∵集合A={x|0<x<2},
B={x|1﹣x2>0}={x|﹣1<x<1},
∴CRB={x|x≤﹣1或x≥1},
∴A∩(∁RB)={x|1≤x<2}.
故选:B.
3.执行如图的程序框图,如果输入的x的值为1,则输出的x的值为( )
A.4 B.13 C.40 D.121
【考点】程序框图.
【分析】模拟执行程序框图,依次写出得到的x,n的值,即可得出结论.
【解答】解:模拟执行程序框图,可得
x=4,n=2
满足条件n≤3,x=13,n=3,
满足条件n≤3,x=40,n=4,
不满足条件n≤3,
输出x的值为40.
故选:C.
4.数列{an}中,a2=2,a6=0且数列{}是等差数列,则a4=( )
A. B. C. D.
【考点】等差数列的性质.
【分析】先求出数列{}的公差,进而可得的值,进而求出a4的值.
【解答】解:设数列{}的公差为d,
由4d=﹣得d=,
∴=+2×,解得a4=.
故选A
5.已知直线m、l与平面α、β、γ满足β∩γ=l,l∥α,m⊂α,m⊥γ,则下列命题一定正确的是( )
A.α⊥γ且l⊥m B.α⊥γ且m∥β C.m∥β且l⊥m D.α∥β且α⊥γ
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.
【分析】利用线面平行和线面垂直的判定定理和性质定理判断即可.
【解答】解:设底面ABCD为平面γ,平面CDEF为平面α,平面ABFE为平面β,
∵m⊥γ,m⊂α,
∴α⊥γ.(面面垂直的判定定理)
设α∩γ=b,
∵l∥α,l⊂β,α∩γ=b,
∴l∥b,(线面平行的性质定理)
又∵m⊥γ,b⊂γ,
∴m⊥b,(线面垂直的性质)
又∵l∥b,
∴l⊥m.
故选A.
6.已知a>0,b>0,则的最小值是( )
A.2 B. C.4 D.5
【考点】基本不等式.
【分析】a>0,b>0,即,给出了基本不等式使用的第一个条件,而使用后得到的式子恰好可以再次使用基本不等式.
【解答】解:因为
当且仅当,且,即a=b时,取“=”号.
故选C.
7.如图,某几何体的三视图中,正视图和侧视图都是半径为的半圆和相同的正三角形,其中三角形的上顶点是半圆的中点,底边在直径上,则它的表面积是( )
A.6π B.8π C.10π D.11π
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;由三视图求面积、体积.
【分析】由已知中的三视图,可得该几何体是一个半球挖去一个圆锥所得的组合体,进而可得几何体的表面积.
【解答】解:由已知中的三视图,可得该几何体是一个半球挖去一个圆锥所得的组合体,
由正视图和侧视图都是半径为的半圆和相同的正三角形,
故半球的半径为,
圆锥的底面半径为1,母线长为2,
故组合体的表面积S=+(﹣π•12)+π•1•2=10π,
故选:C
8.函数y=cos(2x+φ)(﹣π≤φ<π)的图象向右平移个单位后,与函数的图象重合,则φ的值为( )
A. B. C. D.
【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换;y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义.
【分析】利用诱导公式将y=f(x)=cos(2x+φ)转化为f(x)=sin[+(2x+φ)],再利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换即可求得φ的值.
【解答】解:∵f(x)=cos(2x+φ)=sin[+(2x+φ)]=sin(2x++φ),
∴f(x﹣)=sin[2(x﹣)++φ)]=sin(2x﹣+φ),
又f(x﹣)=sin(2x+),
∴sin(2x﹣+φ)=sin(2x+),
∴φ﹣=2kπ+,
∴φ=2kπ+,又﹣π≤φ<π,
∴φ=.
故选:A.
9.已知O为原点,点A、B的坐标分别为(a,0),(0,a)其中常数a>0,点P在线段AB上,且=t(0≤t≤1),则•的最大值为( )
A.a B.2a C.3a D.a2
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】首先分析题目已知A、B的坐标,点P在线段AB上,且=t(0≤t≤1),求•的最大值.故可考虑根据向量的坐标及加减运算表示出与.然后根据平面向量的数量乘积运算求出结果即可.
【解答】解:因为点A、B的坐标分别为(a,0),(0,a)
所以, =(a,0)
又由点P在线段AB上,且=t=(﹣at,at)
所以=+=(a,0)+(﹣at,at)=(﹣at+a,at)
则•=(a,0)•(﹣at+a,at)=﹣a2t+a2,
当t=0时候取最大为a2.
故选D.
10.若变量x,y满足|x|﹣ln=0,则y关于x的函数图象大致是( )
A. B. C. D.
【考点】对数函数的图象与性质.
【分析】由条件可得 y=,显然定义域为R,且过点(0,1),当x>0时,y=,是减函数,从而得出结论.
【解答】解:若变量x,y满足|x|﹣ln=0,则得 y=,显然定义域为R,且过点(0,1),故排除C、D.
再由当x>0时,y=,是减函数,故排除A,
故选B.
11.设F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,点P在双曲线的右支上,且|PF2|=|1FF2|,F2到直线PF1
的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系,得出a与b之间的等量关系,即可得到答案.
【解答】解:依题意|PF2|=|F1F2|,可知三角形PF2F1是一个等腰三角形,F2在直线PF1的投影是其中点,由勾股定理知:
可知|PF1|=2=4b;
根据双曲定义可知4b﹣2c=2a,整理得c=2b﹣a,代入c2=a2+b2整理得3b2﹣4ab=0,求得=.
∴该双曲线的离心率e====.
故选:B.
12.已知函数f(x)满足下列条件:①定义域为[1,+∞);②当1<x≤2时f(x)=4sin(x);③f(x)=2f(2x).若关于x的方程f(x)﹣kx+k=0恰有3个实数解,则实数k的取值范围是( )
A. B. C. D.
【考点】根的存在性及根的个数判断.
【分析】直线y=k(x﹣1)过定点M(1,0),画出y=f(x)在(1,+∞)上的函数图象,再结合函数的图象根据题意求出参数k的范围即可.
【解答】解:画出y=f(x)在(1,+∞)上的部分图象如图,
∵关于x的方程f(x)﹣kx+k=0恰有3个实数解,
∴y=f(x)与直线y=kx﹣k有3个交点,
当y=kx﹣k经过点(8,)时,两图象恰有3个交点,此时k=,
当直线经过点(4,1)时,两图象恰有2个交点,此时k=.
∴k的范围是[,).
故选:A.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分.
13.(ax+)3的展开式中x3项的系数为20,则实数a= .
【考点】二项式系数的性质.
【分析】二项式展开式的通项公式求出展开式中x3
项的系数,列出方程求出a的值.
【解答】解:(ax+)3的展开式的通项公式为:
Tr+1=•(a)3﹣r•,
令3﹣r=3,
解得r=0;
所以展开式中x3项的系数为:
•a3=a3=20,
解得a=.
故答案为:.
14.已知变量x,y满足,则的取值范围是 [,] .
【考点】简单线性规划.
【分析】作出可行域,变形目标函数可得=1+表示可行域内的点与A(﹣2,﹣1)连线的斜率与1的和,数形结合可得.
【解答】解:作出所对应的区域(如图阴影),
变形目标函数可得==1+,
表示可行域内的点与A(﹣2,﹣1)连线的斜率与1的和,
由图象可知当直线经过点B(2,0)时,目标函数取最小值1+=;
当直线经过点C(0,2)时,目标函数取最大值1+=;
故答案为:[,]
15.从圆x2+y2=4内任取一点p,则p到直线x+y=1的距离小于的概率 .
【考点】几何概型.
【分析】利用点到直线的距离公式求出满足条件的点的弧长、几何概型的计算公式即可得出.
【解答】解:由点到直线的距离公式得点O到直线x+y=1的距离为=,
故到直线x+y=1距离为的点在直线x+y=0和x+y+2=0上,
满足P到直线x+y=1的距离小于的点位于两直线之间的弧上,且两段弧度和为90°.
故概率P==.
故答案为:
16.空间四个点P、A、B、C在同一球面上,PA、PB、PC两两垂直,且PA=PB=PC=a,那么这个球面的面积是 3πa2 .
【考点】球内接多面体.
【分析】PA、PB、PC可看作是正方体的一个顶点发出的三条棱,所以过空间四个点P、A、B、C的球面即为棱长为a的正方体的外接球,球的直径即是正方体的对角线,求出对角线长,即可求出球的表面积.
【解答】解:空间四个点P、A、B、C在同一球面上,PA、PB、PC两两垂直,且PA=PB=PC=a,则PA、PB、PC可看作是正方体的一个顶点发出的三条棱,所以过空间四个点P、A、B、C的球面即为棱长为a的正方体的外接球,球的直径即是正方体的对角线,长为,所以这个球面的面积.
故答案为:3πa2
三.解答题(共8题,共70分)
17.设数列{an}满足a1=2,a2+a5=14,且对任意n∈N*,函数f(x)=an+1x2﹣(an+2+an)x满足f′(1)=0.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=,记数列{bn}的前n项和为Sn,求证Sn<.
【考点】数列的求和;数列递推式.
【分析】(1)求出函数的导数,由条件可得2an+1=an+2+an,由等差数列的性质可得数列{an}为等差数列,设公差为d,运用等差数列的通项公式,可得d=2,即可得到通项公式;
(2)由bn==(﹣),运用裂项相消求和,由不等式的性质,即可得证.
【解答】(1)解:函数f(x)=an+1x2﹣(an+2+an)x的导数为f′(x)=2an+1x﹣(an+2+an),
由f′(1)=0,可得2an+1=an+2+an,
由等差数列的性质可得数列{an}为等差数列,设公差为d,
则a1=2,a2+a5=2a1+5d=14,
解得d=2,
即有an=a1+2(n﹣1)=2n.
(2)证明:bn===(﹣),
则Sn=(1﹣+﹣+…+﹣)
=(1﹣)<.
则Sn<.
18.由于当前学生课业负担较重,造成青少年视力普遍下降,现从某高中随机抽取16名学生,经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶)如图:
(Ⅰ)指出这组数据的众数和中位数;
(Ⅱ)若视力测试结果不低丁5.0,则称为“好视力”,求校医从这16人中随机选取3人,至多有1人是“好视力”的概率;
(Ⅲ)以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据,若从该校(人数很多)任选3人,记ξ表示抽到“好视力”学生的人数,求ξ的分布列及数学期望.
【考点】茎叶图;众数、中位数、平均数;离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差.
【分析】
(1)根据所给的茎叶图看出16个数据,找出众数和中位数,中位数需要按照从小到大的顺序排列得到结论.
(2)由题意知本题是一个古典概型,至多有1人是“好视力”包括有一个人是好视力和有零个人是好视力,根据古典概型公式得到结果.
(3)由于从该校任选3人,记ξ表示抽到“好视力”学生的人数,得到变量的可能取值是0、1、2、3,结合变量对应的事件,算出概率,写出分布列和期望.
【解答】解:(Ⅰ)∵4.6和4.7都出现三次,
∴众数:4.6和4.7;中位数:4.75
(Ⅱ)由题意知本题是一个古典概型,
设Ai表示所取3人中有i个人是“好视力”,
至多有1人是“好视力”记为事件A,包括有一个人是好视力和有零个人是好视力,
∴.
(Ⅲ)ξ的可能取值为0、1、2、3
∴分布列为
∴Eξ=1×+2×+3×=0.75
19.如图,如图,在四棱锥S﹣ABCD中,底面梯形ABCD中,BC∥AD,平面SAB⊥平面ABCD,△SAB是等边三角形,已知
.
(I)求证:平面SAB⊥平面SAC;
(II)求二面角B﹣SC﹣A的余弦值.
【考点】二面角的平面角及求法;平面与平面垂直的判定.
【分析】(Ⅰ)证明AC⊥平面SAB,由此能证明平面SAB⊥平面SAC;
(II)建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角B﹣SC﹣A的余弦值.
【解答】(Ⅰ)证明:在△BCA中,由于AB=2,CA=4,BC=2,
∴AB2+AC2=BC2,故AB⊥AC.…
又平面SAB⊥平面ABCD,平面SAB∩平面ABCD=AB,…
∴AC⊥平面SAB
又AC⊂平面SAC,故平面SAB⊥平面SAC …
(II)解:如图建立A﹣xyz空间直角坐标系,A(0,0,0),B(2,0,0),S(1,0,),C(0,4,0),=(1,﹣4,),=(﹣2,4,0),=(0,4,0)…
设平面SBC的法向量=(x,y,z),
由,则=(2,1,).…
设平面SCA的法向量=(a,b,c),
由,∴=(﹣,0,1)…
∴cos<,>=﹣…
∴二面角B﹣SC﹣A的余弦值为…
20.已知椭圆C:的离心率为e=,过点(,)
(I)求椭圆C的方程;
(II)过A(﹣a,0)且互相垂直的两条直线l1、l2与椭圆C的另一个交点分别为P、Q.问:直线PQ是否经过定点?若是,求出该定点;否则,说明理由.
【考点】直线与椭圆的位置关系.
【分析】(I)利用椭圆的离心率公式求得a与c的关系,则b2=a2﹣c2=3c2,将点代入椭圆方程,即可求得a和b的值,求得椭圆方程;
(II)由A点坐标,当直线PQ斜率不存在时,代入椭圆方程,求得交点坐标,当直线的斜率存在时,代入椭圆方程,利用韦达定理,向量数量积的坐标运算,即可求得定点.
【解答】解:(I)椭圆的离心率e==,则a=2c,
由b2=a2﹣c2=3c2,
将(,)代入=1,解得:c=1,
则a=2,b=,
∴椭圆方程为:;
(II)由(I)知A(﹣2,0),设P(x1,y1),Q(x2,y2),
①当Q⊥x轴时,不妨设l1、l2的斜率分别为1,﹣1,则l1:y=x+2,
,解得:x1=﹣,同理x2=﹣,
此时直线PQ与x轴交于点M(﹣,0)…
②当直线PQ与x轴不垂直时,设线PQ方程为y=k(x﹣m),(k≠0),
代入,整理得:(4k2+3)x2﹣8k2mx+(4k2m2﹣12)=0,
∴x1+x2=,x1x2=,…
∵AP⊥AQ, =(x1+2,y1),=(x2+2,y2),∴•=(x1+2)(x2+2)+y1y2=0,
即(x1+2)(x2+2)+k2(x1﹣m)(x2﹣m)=0,
∴(k2+1)x1x2+(2﹣k2m)(x1+x2)+k2m2=0…
∴(k2+1)×+(2﹣k2m)×+k2m2=0.
化简得7m2+16m+4=0,解得m=﹣或m=﹣2,…
当m=﹣2时,直线PQ与x轴交点与A重合,不合题意.
∴直线PQ与x轴交于点M(﹣,0),…
综上所述,直线PQ经过定点M(﹣,0).…
21.已知a∈R,函数f(x)=ln(x+a)﹣x,曲线y=f(x)与x轴相切.
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)是否存在实数m使得恒成立?若存在,求实数m的值;若不存在,说明理由.
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.
【分析】(Ⅰ)设出切点坐标,由即可求得a值,把a值代入函数解析式,得到当x变化时,f′(x)与f(x)的变化情况表,由图表可得f(x)的单调区间;
(Ⅱ)等价于,或,令g(x)=f(x)﹣mx(1﹣ex)=ln(x+1)﹣x﹣mx(1﹣ex),x∈(﹣1,+∞),求其二阶导数,然后对m分类讨论得答案.
【解答】解:(Ⅰ)设切点为(x0,0),则f′(x)=,
依题意,即,
解得.
∴f(x)=ln(x+1)﹣x,f′(x)=.
当x变化时,f′(x)与f(x)的变化情况如下表:
x
(﹣1,0)
0
(0,+∞)
f′(x)
+
0
﹣
f(x)
单调递增
极大值
单调递减
∴f(x)在(﹣1,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减;
(Ⅱ)存在m=,理由如下:
等价于,或.
令g(x)=f(x)﹣mx(1﹣ex)=ln(x+1)﹣x﹣mx(1﹣ex),x∈(﹣1,+∞),
则g′(x)=,g″(x)=,
①若m=,
当﹣1<x<0时,﹣<﹣1,m(x+2)ex<1,∴g″(x)<0;
当x>0时,﹣>﹣1,m(x+2)ex>1,∴g″(x)>0,
∴g′(x)在单调递减区间为(﹣1,0),单调递增为(0,+∞),
又g′(0)=0,∴g′(x)≥0,当且仅当x=0时,g′(x)=0,
从而g(x)在(﹣1,+∞)上单调递增,又g(0)=0,
∴或,即>m(1﹣ex)成立.
②若m,∵g″(0)=2m﹣1>0,
g″()=<﹣4m2+m()<0,
∴存在x1∈(,0),使得g″(x1)=0,
∵g″(x)在(﹣1,0)上单调递增,
∴当x∈(x1,0)时,g″(x)>0,g′(x)在(x1,0)上递增,
又g′(0)=0,∴当x∈(x1,0)时,g′(x)<0,
从而g(x)在(x1,0)上递减,又g(0)=0,
∴当x∈(x1,0)时,g(x)>0,
此时>m(1﹣ex)不恒成立;
③若m<,同理可得>m(1﹣ex)不恒成立.
综上所述,存在实数m=.
四、解答题(共1小题,满分10分)
22.已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直l的参数方程是(t是参数)
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)若直线l与曲线C相交于A、B两点,且|AB|=,求直线的倾斜角α的值.
【考点】参数方程化成普通方程.
【分析】本题(1)可以利用极坐标与直角坐标 互化的化式,求出曲线C的直角坐标方程;
(2)先将直l的参数方程是(t是参数)化成普通方程,再求出弦心距,利用勾股定理求出弦长,也可以直接利用直线的参数方程和圆的普通方程联解,求出对应的参数t1,t2的关系式,利用|AB|=|t1﹣t2|,得到α的三角方程,解方程得到α的值,要注意角α范围.
【解答】解:(1)∵ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,
∴曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ可化为:
ρ2=4ρcosθ,
∴x2+y2=4x,
∴(x﹣2)2+y2=4.
(2)将代入圆的方程(x﹣2)2+y2=4得:
(tcosα﹣1)2+(tsinα)2=4,
化简得t2﹣2tcosα﹣3=0.
设A、B两点对应的参数分别为t1、t2,
则,
∴|AB|=|t1﹣t2|==,
∵|AB|=,
∴=.
∴cos.
∵α∈[0,π),
∴或.
∴直线的倾斜角或.
五、解答题(共1小题,满分0分)
23.已知函数f(x)=|2x+1|﹣|x|﹣2
(Ⅰ)解不等式f(x)≥0
(Ⅱ)若存在实数x,使得f(x)≤|x|+a,求实数a的取值范围.
【考点】绝对值不等式的解法.
【分析】(Ⅰ)化简函数的解析式,分类讨论,求得不等式的解集.
(Ⅱ)不等式即|x+|﹣|x|≤+1①,由题意可得,不等式①有解.根据绝对值的意义可得|x+|﹣|x|∈[﹣,],故有+1≥﹣,由此求得a的范围.
【解答】解:(Ⅰ)函数f(x)=|2x+1|﹣|x|﹣2=,
当x<﹣时,由﹣x﹣3≥0,可得x≤﹣3.
当﹣≤x<0时,由3x﹣1≥0,求得 x∈∅.
当x≥0时,由x﹣1≥0,求得 x≥1.
综上可得,不等式的解集为{x|x≤﹣3 或x≥1}.
(Ⅱ)f(x)≤|x|+a,即|x+|﹣|x|≤+1①,由题意可得,不等式①有解.
由于|x+|﹣|x|表示数轴上的x对应点到﹣对应点的距离减去它到原点的距离,故|x+|﹣|x|∈[﹣,],
故有+1≥﹣,求得a≥﹣3.