2018届高三数学一轮复习： 第7章 第6节 空间向量及其运算 11页

第六节　空间向量及其运算 ‎ [考纲传真]　1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．‎ ‎1．空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 方向相反且模相等的向量 共线向量(或平行向量)‎ 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 ‎2.空间向量的有关定理 ‎(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.‎ ‎(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.‎ ‎(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底．‎ ‎3．两个向量的数量积 ‎(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．‎ ‎(2)空间向量数量积的运算律：‎ ‎①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；‎ ‎②交换律：a·b＝b·a；‎ ‎③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.‎ ‎4．空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).‎ 向量表示 坐标表示 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3‎ 共线 a＝λb ‎(b≠0，λ∈R)‎ a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3‎ 垂直 a·b＝0‎ ‎(a≠0，b≠0)‎ a1b1＋a2b2＋a3b3＝0‎ 模 ‎|a|‎ 夹角 cos〈a，b〉‎ ‎(a≠0，b≠0)‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)空间中任意两非零向量a，b共面．(　　)‎ ‎(2)对任意两个空间向量a，b，若a·b＝0，则a⊥b.(　　)‎ ‎(3)若a·b＜0，则〈a，b〉是钝角．(　　)‎ ‎(4)若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0.(　　)‎ ‎[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2．(教材改编)如图761所示，在平行六面体ABCDA1B‎1C1D1中，M为A‎1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)‎ 图761‎ A．－a＋b＋c B.a＋b＋c C．－a－b＋c D.a－b＋c A　[＝＋＝＋(－)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.]‎ ‎3．(2017·福州模拟)O为空间任意一点，若＝＋＋，则A，B，C，P四点(　　)‎ A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．无法判断 B　[由＋＋＝1知，A，B，C，P四点共面．]‎ ‎4．(2014·广东高考)已知向量a＝(1,0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是(　　)‎ A．(－1,1,0)　　　　　 B.(1，－1,0)‎ C．(0，－1,1) D.(－1,0,1)‎ B　[各选项给出的向量的模都是，|a|＝.‎ 对于选项A，设b＝(－1,1,0)，则cos 〈a，b〉＝＝＝－.因为0°≤〈a，b〉≤180°，所以〈a，b〉＝120°.‎ 对于选项B，设b＝(1，－1,0)，则cos 〈a，b〉＝＝＝.因为0°≤〈a，b〉≤180°，所以〈a，b〉＝60°，正确．‎ 对于选项C，设b＝(0，－1,1)，则cos 〈a，b〉＝＝＝－.因为0°≤〈a，b〉≤180°，所以〈a，b〉＝120°.‎ 对于选项D，设b＝(－1,0,1)，则cos 〈a，b〉＝＝ ‎＝－1.因为0°≤〈a，b〉≤180°，所以〈a，b〉＝180°.故选B.]‎ ‎5．已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，则(a＋b)·(a－b)的值为________．‎ ‎－13　[(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝42＋(－2)2＋(－4)2－[62＋(－3)2＋22]＝－13.]‎ 空间向量的线性运算 ‎　如图762所示，在空间几何体ABCDA1B‎1C1D1中，各面为平行四边形，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：‎ ‎(1)；‎ ‎(2)＋.‎ ‎ 【导学号：01772268】‎ 图762‎ ‎[解]　(1)因为P是C1D1的中点，‎ 所以＝＋＋＝a＋＋ ‎＝a＋c＋＝a＋c＋b.5分 ‎(2)因为M是AA1的中点，‎ 所以＝＋＝＋ ‎＝－a＋＝a＋b＋c.7分 因为N是BC的中点，‎ 则＝＋＝＋ ‎＝＋＝c＋a，10分 所以＋＝＋ ‎＝a＋b＋c.12分 ‎[规律方法]　1.(1)选择不共面的三个向量作为基向量，这是利用空间向量基本定理求解立体几何问题的前提．‎ ‎(2)用已知基向量表示指定向量时，应结合已知和所求向量观察图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则进行运算．‎ ‎2．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则．‎ ‎[变式训练1]　‎ 如图763所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别为OA，BC的中点，点G在线段MN上，且＝2，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝________.‎ 图763‎ 　[连接ON，设＝a，＝b，＝c，‎ 则＝－＝(＋)－ ‎＝b＋c－a，‎ ＝＋＝＋ ‎＝a＋＝a＋b＋c.‎ 又＝x＋y＋z，所以x＝，y＝，z＝，‎ 因此x＋y＋z＝＋＋＝.]‎ 共线向量与共面向量定理的应用 ‎　(1)(2017·佛山模拟)已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，且a与b反向，则λ＋μ＝________.‎ ‎ (2)如图764所示，已知斜三棱柱ABCA1B‎1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足＝k，＝k(0≤k≤1)．‎ ‎①向量是否与向量，共面？‎ ‎②直线MN是否与平面ABB1A1平行？‎ 图764‎ ‎(1)－　[∵a∥b，且a与b反向，‎ ‎∴(6,2μ－1,2λ)＝k(λ＋1,0,2)，k<0.‎ ‎∴解得或 当λ＝2，μ＝时，k＝2不合题意，舍去．‎ 当λ＝－3，μ＝时，a与b反向．‎ 因此λ＋μ＝－3＋＝－.]‎ ‎(2)①因为＝k，＝k.‎ 所以＝＋＋＝k＋＋k ‎＝k(＋)＋＝k(＋)＋ ‎＝k＋＝－k＝－k(＋)＝(1－k)－k，‎ 所以由共面向量定理知向量与向量，共面.6分 ‎②当k＝0时，点M，A重合，点N，B重合，MN在平面ABB‎1A1内；‎ 当0