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- 2021-06-30 发布
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【高考地位】
近几年高考降低了对三角变换的考查要求,而加强了对三角函数的图象与性质的考查,因为函数的性质是研究函数的一个重要内容,是学习高等数学和应用技术学科的基础,又是解决生产实际问题的工具,因此三角函数的性质是高考的重点和难点。要充分运用数形结合的思想,把图象与性质结合起来,同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象,这样既有利于掌握函数的图象与性质,又能熟练地运用数形结合的思想方法。在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题,其试题难度属中档题.
【方法点评】
类型一 求三角函数的单调区间
使用情景:一般三角函数类型
解题模板:第一步 先将函数式化为基本三角函数的标准式,要特别注意参数的正负;
第二步 利用三角函数的辅助角公式一般将其化为同名函数,且在同一单调区间;
第三步 运用三角函数的图像与性质确定其单调区间.
例1 【全国名校大联考2017-2018年度高三第二次联考数学(文)试题】 设向量, .
(1)求的最小正周期;
(2)求在区间上的单调递减区间.
【答案】(1) ;(2) .
【变式演练1】函数的单调递增区间是( )
A.[kπ+,kπ+π] B.[kπ-π,kπ+]
C.[2kπ+,2kπ+π] D.[2kπ-π,2kπ+](以上k∈Z)
【答案】B.
考点:三角函数单调性.
【变式演练2】已知函数的图象关于点对称,且在区间上是单调函数,则的值为__________.
【答案】
【解析】函数的图象关于点对称,故 , 在区间上是单调函数,故得到: 两者取交集得到 的值为。
故答案为: 。
点睛:这个题目考查了三角函数的图像和性质;这种题目一般应用图像的对称性,轴对称性和点对称性,再就是单调性,由单调性就可以得到周期的大概范围,解决这类题目还要注意结合函数的图像的整体性质。
类型二 由的图象求其函数式
使用情景:一般函数求其函数式
解题模板:第一步 观察所给的图像及其图像特征如振幅、周期、与轴交点坐标等;
第二步 利用特殊点代入函数解析式计算得出参数中一个或两个或三个;
第三步 要从图象的升降情况找准第一个零点的位置,并进一步地确定参数;
第四步 得出结论.
例2【安徽省十大名校2018届高三11月联考数学(文)试题】已知函数的部分图象如图所示,其中分别是函数的图象的一个最低点和一个最高点,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【变式演练3】已知函数(其中)的部分图象如图所示,则
的解析式为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
考点:由的部分图像确定解析式
【变式演练4】函数的图象如图所示,则y的表达式为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
考点:三角函数图像及性质
【变式演练5】已知函数 的图象如图所示,则该函数的解析式是( )
(A) (B)
(C) (D)
【答案】D
考点:的图像
【变式演练6】函数在一个周期内的图象如下,此函数的解析式为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析:因,故,借助图象可以看出,所以,将代入可得,故,应选C.
考点:三角函数的图象和性质及运用.
【变式演练7】如图所示,是函数(,,)的图象的一部分,则函数解析式是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
类型三 求三角函数的周期
使用情景:一般三角函数类型
解题模板:第一步 利用恒等变换将其化成“、”的形式;
第二步 运用周期的计算公式直接计算可得所求.
第三步 得出结论.
例3 若函数在上的图象与直线恰有两个交点.则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可知,在存在两个最大值,
则,所以,故选A。
【点评】三角函数的图象问题利用图象辅助解题,由题意可知,在存在两个最大值,则在图象上得到第二个最大值和第三个最大值,因为在恰有两个最大值,则得到,解得答案。
【变式演练8】设函数,,若在区间上单调,且,则的最小正周期为( )
A. B.2π C.4π D.π
【答案】D
的对称轴和对称中心,则.选D.
考点:三角函数图象与性质.
【方法点睛】根据三角函数的图象在某区间的单调性可判断的范围,根据函数值相等可判断函数图象的对称轴,根据函数值互为相反数可判断函数图像的对称中心,有了函数图像的对称轴和对称中心可判断函数的周期.
【变式演练9】已知 ,则下列结论中正确的是( )
A. 函数 的周期为
B. 将 的图像向左平移个单位后得到 的图像
C. 函数的最大值为
D. 的一个对称中心是
【答案】D
【变式演练10】已知函数 (其中)的最小正周期为.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ) 将函数的图象向左平移个单位,再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数的图象.求函数在上零点.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) 和.
考点:1、两角差的正弦函数;2、倍角公式;3、三角函数图象的平移伸缩变换;4、正弦函数的图象与性质.
【变式演练11】已知函数.
(1)求函数的最小正周期和单调增区间;
(2)中,锐角满足,,,求的值.
【答案】(1) 的最小正周期为;单调增区间为;(2) .
【解析】
试题分析:(1)由二倍角公式及两角和与差公式化简函数的解析式得,由可求该函数的最小正周期,由可求函数的单调递增区间;(2)由先求出角,再利用正弦定理即可求.
【高考再现】
1.【2017全国II文,3】函数的最小正周期为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意,故选C.
【考点】正弦函数周期
2.【2017全国I卷理,8】已知曲线,,则下面结论正确的是()
A.把上各点的横坐标伸长到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线
B.把上各点的横坐标伸长到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线
C.把上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,
得到曲线
D.把上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线
D
,
首先曲线、统一为一三角函数名,可将用诱导公式处理.
.横坐标变换需将变成,
即
.
注意的系数,在右平移需将提到括号外面,这时平移至,
根据“左加右减”原则,“”到“”需加上,即再向左平移.
3.【2017全国III理,3】设函数,则下列结论错误的是( )
A.的一个周期为 B.的图像关于直线对称
C.的一个零点为 D.在单调递减
【答案】D
4.【2017全国I卷文,8】函数的部分图像大致为
A. B.
C. D.
【答案】C
5.【2017山东,文7】函数 最小正周期为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【考点】三角变换及三角函数的性质
【名师点睛】求三角函数周期的方法:①利用周期函数的定义.②利用公式:y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为,y=tan(ωx+φ)的最小正周期为.③对于形如
的函数,一般先把其化为的形式再求周期.
6.【2017天津理,7】设函数,,其中,.若,,且的最小正周期大于,则
(A), (B), (C), (D),
【答案】 【解析】由题意,其中,所以,又,所以,所以,,由得,故选A.
【考点】求三角函数的解析式
【名师点睛】有关问题,一种为提供函数图象求解析式或某参数的范围,一般先根据图象的最高点或最低点确定,再根据周期或周期或周期求出,最后再利用最高点或最低点坐标满足解析式,求出满足条件的值,另一种时根据题目用文字形容的函数图象特点,如对称轴或曲线经过的点的坐标,根据题意自己画出图象,再寻求待定的参变量,题型很活,求或的值或最值或范围等.
7. 【2016高考新课标1卷】已知函数 为的零点,为图像的对称轴,且在单调,则的最大值为( )
(A)11 (B)9 (C)7 (D)5
【答案】B
考点:三角函数的性质
【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,叙述方式新颖,是一道考查能力的好题.注意本题解法中用到的两个结论:①的单调区间长度是半个周期;②若的图像关于直线 对称,则 或.
8. 【2016高考新课标2理数】若将函数的图像向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为( )
(A) (B)
(C) (D)
【答案】B
【解析】
试题分析:由题意,将函数的图像向左平移个单位得,则平移后函数的对称轴为,即,故选B.
考点: 三角函数的图象变换与对称性.
【名师点睛】平移变换和伸缩变换都是针对x而言,即x本身加减多少值,而不是依赖于ωx加减多少值.
9. 【2016高考浙江理数】设函数,则的最小正周期( )
A.与b有关,且与c有关 B.与b有关,但与c无关
C.与b无关,且与c无关 D.与b无关,但与c有关
【答案】B
10. 【2016年高考北京理数】将函数图象上的点向左平移() 个单位长度得到点,若位于函数的图象上,则( )
A.,的最小值为B. ,的最小值为
C.,的最小值为D.,的最小值为
【答案】A
【解析】
试题分析:由题意得,,故此时所对应的点为,此时向左平移个单位,故选A.
考点:三角函数图象平移
【名师点睛】三角函数的图象变换,有两种选择:一是先伸缩再平移,二是先平移再伸缩.特别注意平移变换时,当自变量x的系数不为1时,要将系数先提出.翻折变换要注意翻折的方向;三角函数名不同的图象变换问题,应先将三角函数名统一,再进行变换
11. 【2016高考山东理数】函数f(x)=(sin x+cos x)(cos x –sin x)的最小正周期是( )
(A) (B)π (C) (D)2π
【答案】B
12.【2015高考浙江,文11】函数的最小正周期是 ,最小值是 .
【答案】
【考点定位】1.三角函数的图象与性质;2.三角恒等变换.
【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质以及三角恒等变换.主要考查学生利用恒等变换化简三角函数,利用整体代换判断周期与最值的能力.本题属于容易题,主要考查学生的基本运算能力以及整体代换的运用.
13.【2015高考陕西,文14】如图,某港口一天6时到18时的谁深变化曲线近似满足函数y=3sin(x+Φ)+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为____________.
【答案】8
【考点定位】三角函数的图像和性质.
【名师点睛】1.本题考查三角函数的图像和性质,在三角函数的求最值中,我们经常使用的是整理法,从图像中知此题时,取得最小值,继而求得的值,当时,取得最大值.2.本题属于中档题,注意运算的准确性.
14.【2015高考上海,文1】函数的最小正周期为 .
【答案】
【考点定位】函数的周期,二倍角的余弦公式.
【名师点睛】本题先用二倍角的余弦公式把函数转化为,再根据求周期. 二倍角的余弦公式可正用、逆用以及变形运用.
15.【2015高考湖南,文15】已知>0,在函数y=2sinx与y=2cosx的图像的交点中,距离最短的两个交点的距离为2,则 =_____.
【答案】
【考点定位】三角函数图像与性质
【名师点睛】正、余弦函数的图像既是中心对称图形,又是轴对称图形. 应把三角函数的对称性与奇偶性结合,体会二者的统一.这样就能理解条件“距离最短的两个交点” 一定在同一个周期内,本题也可从五点作图法上理解.
16.【2015高考天津,文14】已知函数,,若函数在区间内单调递增,且函数的图像关于直线对称,则的值为 .
【答案】
【考点定位】本题主要考查三角函数的性质.
【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,叙述方式新颖,是一道考查能力的好题.注意本题解法中用到的两个结论:①的单调区间长度是半个周期;②若
的图像关于直线 对称,则 或.
17.【2017山东,理16】设函数,其中.已知.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数的图象,求在上的最小值.
【答案】(Ⅰ).(Ⅱ)得最小值.
从而.
根据得到,进一步求最小值.
试题解析:(Ⅰ)因为,
所以
即时,取得最小值.
【考点】1.两角和与差的三角函数.2.三角函数图象的变换与性质.
【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目,可谓相当经典.解答本题,关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质,本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应,二是忽视设定角的范围.难度不大,能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.
18.【2017北京文,16】已知函数.
(I)f(x)的最小正周期;
(II)求证:当时,.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)详见解析.
【解析】
试题分析:(Ⅰ)首先根据两角差的余弦公式化简,再根据辅助角公式化简为
,根据公式求周期;(Ⅱ)当时,先求的范围再求函数的最小值.
19.【2017江苏,16】已知向量
(1)若a∥b,求x的值;
(2)记,求的最大值和最小值以及对应的的值.
【答案】(1)(2)时,取得最大值,为3; 时,取得最小值,为.
【解析】解:(1)因为,,a∥b,
(2).
因为,所以,
从而.
于是,当,即时,取到最大值3;
当,即时,取到最小值.
【考点】向量共线,数量积
【名师点睛】(1)向量平行:,,
(2)向量垂直:,
(3)向量加减乘:
20. 【2016高考天津理数】已知函数f(x)=4tanxsin()cos()-.
(Ⅰ)求f(x)的定义域与最小正周期;
(Ⅱ)讨论f(x)在区间[]上的单调性.
【答案】(Ⅰ),(Ⅱ)在区间上单调递增, 在区间上单调递减.
解:令函数的单调递增区间是
由,得
设,易知.
所以, 当时, 在区间上单调递增, 在区间上单调递减.
考点:三角函数性质,诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式
【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数,因此解三角函数题,首先从角进行分析,善于用已知角表示所求角,即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数关系、两角和与差公式、二倍角公式、配角公式等,选用恰当的公式,是解决三角问题的关键,明确角的范围,对开方时正负取舍是解题正确的保证. 对于三角函数来说,常常是先化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式,再利用三角函数的性质求解.三角恒等变换要坚持结构同化原则,即尽可能地化为同角函数、同名函数、同次函数等,其中切化弦也是同化思想的体现;降次是一种三角变换的常用技巧,要灵活运用降次公式.
21.【2015高考北京,文15】已知函数.
(I)求的最小正周期;
(II)求在区间上的最小值.
【答案】(I);(II).
(Ⅱ)∵,∴.
当,即时,取得最小值.
∴在区间上的最小值为.
考点:倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、三角函数的最值.
【名师点晴】本题主要考查的是降幂公式、辅助角公式、三角函数的最小正周期和三角函数的最值,属于中档题.解题时要注意重要条件“”,否则很容易出现错误.解本题需要掌握的知识点是降幂公式、辅助角公式、三角函数的最小正周期和三角函数的图象,即,,函数(,)的最小正周期是.
【反馈练习】
1.【广西贺州市桂梧高中2018届高三上学期第四次联考数学(理)试题】若函数与的图象有一条相同的对称轴,则称这两个函数互为同轴函数.下列四个函数中,与互为同轴函数的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可得, 的图象都关于直线对称,所以与的图象都关于直线对称.选D.
2.【豫西南部分示范性高中2017-2018年高三年级第一学期联考文科数学试题】已知定义在上的函数在区间上单调递减, 的图象关于直线对称,若是钝角三角形中两锐角,则和的大小关系式( )
A. B.
C. D. 以上情况均有可能
【答案】B
3.【全国名校大联考2017-2018年度高三第二次联考数学(文)试题】若将函数的图象向左平移个单位长度,所得的图象所对应的函数解析式是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意知,将函数的图象向左平移个单位长度得
,故选D.
点睛:此题主要考查三角函数图象的变换平移,属于中低档题,也是常考考点.在此类问题中,由函数沿着轴向左平移个单位时“左加”,向右平移个单位时“右减”,即可得函数的图象;沿着轴向上平移个单位时“上加”,向下平移个单位时“下减”,即可得函数的图象.
4.【山东省德州市2017-2018学年高三年级上学期期中预测数学(文科)试题】的图象如图所示,为了得到f(x)的图象,则只要将g(x)=cos2x的图象( )
A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度
【答案】A
5.【山西省山大附中等晋豫名校2018届高三年级第四次调研诊断考试数学理试题】把函数图象上各点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变),再将图象向右平移个单位,那么所得图象的一条对称轴方程为( )
A. B. C. D.
【答案】A
6.【南宁市2018届高三毕业班摸底联考数学(理)】如图,函数(,)的图象过点,则的函数解析式为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得A=2,f(0)=由所以,,选B.
7.【辽宁省鞍山市第一中学2018届高三上学期第一次模拟考试数学(文)试题】函数的周期为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由,所以函数的周期,故选C.
8.【江西省2018届高三年级阶段性检测考试(二)文科数学试题】已知函数图象的一个对称中心为,且,要得到函数的图象可将函数的图象( )
A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
【答案】C
9.【安徽省马鞍山含山2017-2018学年度高三联考 数学(联考)试题】将函数
的图象向右平移个单位后得到函数的图象,若的图象关于直线对称,则__________.
【答案】
【解析】函数的解析式:
据此可得: ,
则: ,
结合三角函数的性质可得: ,
令可得: ,
故: ,
.
点睛:重视三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、变式”;变角:对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角;变名:尽可能减少函数名称;变式:对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时,一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异,再选择适当的三角公式恒等变形.
10.【山东省德州市2017-2018学年高三年级上学期期中预测数学(文科)试题】设函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<)的图象关于直线对称,它的周期为π,则下列说法正确是 ______ .(填写序号)
①f(x)的图象过点;
②f(x)在上单调递减;
③f(x)的一个对称中心是;
④将f(x)的图象向右平移|φ|个单位长度得到函数y=2sinωx的图象.
【答案】③
∴
当时, ,即图象过点,故①错误;
由得
∴在上单调递减,故②错误;
由得,故当时, 的对称点为,故③正确;
将的图象向右平移个单位长度得,故④错误;
故答案为③
11.【豫西南部分示范性高中2017-2018年高三年级第一学期联考文科数学试题】已知函数 的图象关于直线对称,且图象上相邻两个最高点的距离为.
(1)求和的值;
(2)当时,求函数的值域.
【答案】(1), ;(2)